Math2 – Chapitre 4 Champs scalaires et champs de vecteurs

Math2 – Chapitre 4

Champs scalaires et champs de vecteurs

4.1 – Champs et fonctions

4.2 – Champs scalaires

4.3 – Champs de vecteurs

4.4 – Champs conservatifs

4.5 – Champs incompressibles

4.1 – Champs et fonctions

Dans cette section:

‚ Rep` eres et referentiels

‚ D´ ependance des rep` eres

‚ Loi de transformation d’un champ

‚ Dessin d’un champ

Rep` eres et referentiels

En physique, le referentiel est l’ensemble des grandeurs et de leurs unit´ e de mesure. En math´ ematiques, le referentiel est repr´ esent´ e par un rep` ere pO, ~ e

₁

, ..., ~ e

_n

q de R

ⁿ

, o` u:

‚ la direction des vecteurs ~ e

_i

represente les grandeurs,

‚ la longueur des vecteurs ~ e

_i

represente l’unit´ e de mesure,

‚ l’origine O donne la valeur z´ ero des grandeurs.

Pour tout ~ x P R

ⁿ

, les coordonn´ ees px

1

, ..., x

n

q telles que

~ x “ ř

x

_i

~ e

_i

repr´ esentent les mesures des grandeurs ~ e

_i

. Exemple – Dans un gaz parfait, la loi PV “ nRT d´ ecrit la relation entre la pression P, le volume V et la temperature T . Les isothermes (courbes ` a temperature

constante), sont dessin´ ees dans l’espace

R

²

o` u l’on fixe le rep` ere pO , ~ e

_V

, ~ e

_P

q pour

repr´ esenter le referentiel pV , P q.

Lois d´ ependantes du changement de rep` ere

Id´ ee – Une fonction et un champ sont des lois qui associent ` a

~ x P R

ⁿ

une valeur ~ y P R

^m

. La diff´ erence entre fonctions et champs est dans la d´ ependance des rep` eres sur R

ⁿ

et R

^m

:

les fonctions sont ind´ ependantes des changement de rep` eres, les champs en d´ ependent.

Exemple – On veut se ranger en file indienne devant la porte:

x = grandeur qui d´ ecrit chaque personne de cette salle P pxq “ x

10 = position dans la file ` a partir de la porte Si on change l’unit´ e de mesure de x, la position dans la file ne change pas, mais comment se transforme-t-elle la loi P pxq qui repr´ esente cette position?

On donne deux exemples: une loi qui ne d´ epend pas du

changement de referentiel, et une qui en d´ epend.

Loi de transformation des fonctions

‚Loi bas´ee sur l’age –

x = age en ann´ees etPpxq “ x

10 en m`etres.

Siu = age en mois, la mˆeme position est donn´ee par ˜Ppuq “ u 120. Par exemple, vu queu“12x, on a:

Pp10q “10

10 “1 et Pp120q “˜ 120 120 “1.

Quelle est la relation entre ˜PpuqetPpxq?

Le changement de variable estx“hpuq “ u

12, et on a Ppxq “P`

hpuq˘

“P´u 12

¯

“ u

120 “Ppuq˜ c’est-`a-dire P˜ “P˝h .

C’est la loi de transformation des fonctions par changement de coordonn´ees.

Loi de transformation des champs

‚Loi bas´ee sur la distance –

x = distance du tableau en m`etres, alorsPpxq “ x

10 est en m`etres.

Siu = distance en centim`etres, la position dans la file ne change pas, mais elle est exprim´ee en centim`etres et on a ˜Ppuq “ u

10. Par exemple, vu queu“100x, on a:

Pp10q “10

10 “1m et Pp1000q “˜ 1000

10 “100cmp“1mq.

Quelle est donc, cette fois, la relation entrePpxqet ˜Ppuq?

Le changement de variable estx“hpuq “ u

100, et on a Ppxq “P`

hpuq˘

“P´ u 100

¯

“ u 1000 “

Ppuq˜

100 donc ˜P‰P˝h!

La bonne loi de transformation est P˜ “H˝P˝h , o`u hpuq “ u

100 et Hpzq “100z “h^´1pzq.

Champs de R

ⁿ

` a valeurs dans R

^m

Definition – Un champ de R

ⁿ

` a valeurs dans R

^m

est une loi F : R

ⁿ

ÝÑ R

^m

, ~ x ÞÑ F p~ xq

qui se transforme, par changement de coordonn´ ees ~ x “ hp~ uq, comme

F ˜ p~ uq “ H ` F p~ xq ˘

“ H ` F `

hp~ uq ˘˘

, pour tout ~ u P R

ⁿ

, c’est-` a-dire comme

F ˜ “ H ˝ F ˝ h

Rⁿ R^m Rⁿ R^m h

F

F˜

H

o` u H : R

^m

ÝÑ R

^m

est un changement de rep` ere sur R

^m

d´ etermin´ e

par l’application h.

Dessin d’un champs

Remarque – Si F : R

ⁿ

ÝÑ R

^m

, ~ x ÞÑ F p~ xq est un champ, le rep` ere utilis´ e pour d´ ecrire la valeur F p~ xq P R

^m

n’est pas libre, mais d´ epend de celui utilis´ e pour d´ ecrire ~ x P R

ⁿ

.

Ainsi, un champ ne peut ˆ etre represent´ e par un graphe Γ Ă R

ⁿ

ˆR

^m

comme si c’´ etait une fonction (pour laquelle les rep` ere de R

ⁿ

et R

^m

sont ind´ ependants).

D´ efinition – La repr´ esentation graphique, ou dessin, du champ F est l’ensemble des dessins de la valeur F p~ xq P R

^m

au-dessus de chaque point ~ x P R

ⁿ

(c’est-` a-dire dans un rep` ere de R

^m

centr´ e au point ~ x),

R^m

Rⁿ un seul rep`ere pour le graphe

d’une fonction vectorielle

R^m

‚ R^m

‚ R^m

‚ Rⁿ union de rep`eres pour le dessin

d’un champ de vecteurs

4.2 – Champs scalaires

Dans cette section:

‚ Champs scalaires de R

³

‚ Surfaces de niveau

‚ Le potentiel gravitationnel V et le potentiel de Coulomb φ

Champs scalaires de R

³

Definition – Un champ scalaire sur R

³

est un champ φ : R

³

ÝÑ R , ~ x ÞÑ φp~ xq ` a valeurs dans les nombres.

‚Si~x“hp~uq, `a priori on a ˜φp~uq “H` φp~xq˘

, o`uH:RÑRest un changement de rep`ere dansRd´etermin´e par h.

‚DansRil y a une seule direction~ı, doncH n’affecte que l’unit´e de mesure. Sans unit´es de mesure, on peut supposerHpyq “y.

En maths, un champ scalaire est assimil´ e ` a une fonction φ : R

³

ÝÑ R , ~ x ÞÑ φpxq,

qui se transforme comme φp~ ˜ uq “ φp~ xq si ~ x “ hp~ uq et se repr´ esente avec un graphe usuel.

Rⁿ

R R

dessin d’un champ scalaire

R

Rⁿ graphe d’un champ scalaire

comme fonction r´eelle

‚ Attention en physique, quand l’unit´ e de mesure change!

Exemples de champs scalaires sur R

³

Exemples –

‚ La temperature T et la pression P sont des champs scalaires en physique statistique.

‚ L’altitude n’est pas un champ mais une fonction

(car la d´et´ermination de l’endroit o`u on la mesure n’affecte pas le r´esultat)

.

‚ Le volume V n’est pas un champ scalaire

(car il n’est pas d´efini sur les points deR³mais pour des objets ´etendus)

.

La densit´ e volumique ν est le champ scalaire qui permet de calculer le volume d’un objet (par int´ egration).

‚ La distance depuis l’origine: d px, y, zq “ a

x

²

`y

²

`z

²

En coordonn´ ees sph´ eriques: d pr , ϕ, θq “ r

Ceci montre la signification de la variable r .

Exemples: potentiel gravitationnel et de Coulomb

‚ Le potentiel gravitationnel engendr´ e par une masse M situ´ ee ` a l’origine O :

V px, y, zq “ ´ G M a x

²

` y

²

` z

²

o` u

G “6,673ˆ10^´11m³{kg s²

est la constante gravitationnelle.

En coordonn´ ees sph´ eriques: V pr, ϕ, θq “ ´ G M

r .

‚ Le potentiel ´ electrostatique ou potentiel de Coulomb engendr´ e par une charge immobile Q situ´ ee ` a l’origine O:

φpx, y, zq “ 1 4π

Q

a x

²

` y

²

` z

²

, o` u

“8.854ˆ10¹²A s{V m

est la permittivit´ e di´ electrique.

En coordonn´ ees sph´ eriques: φpr, ϕ, θq “ 1 4π

Q

r .

Surfaces de niveau

D´ efinition – Soit φ : R

³

ÝÑ R un champ scalaire.

‚ Comme une fonction f , φ est caract´ eris´ e par son domaine de d´ efinition D

_φ

Ă R

³

, et il est de classe C

^k

s’il est diff´ erentiable jusqu’` a l’ordre k.

‚ Pour tout a P R , l’analogue des lignes de niveau L

_a

pf q d’une fonction f de deux variables est la surface de niveau a de φ:

S

_a

pφq “

!

px, y, zq P D

_φ

| φpx, y , zq “ a )

.

a b

c c

Dφ

N.B. – En g´ en´ eral on ne sait pas tracer le graphe de φ, qui est

dans R

⁴

.

Exercice: potentiels gravitationnel et de Coulomb

´ Enonc´ e – Pour le potentiel gravitationnel V et pour le potentiel de Coulomb φ, trouver les surfaces de niveau et dessiner le graphe comme fonctions de r .

R´ eponse – En coordonn´ ees sph´ eriques, on a:

V pr, ϕ, θq “ ´ G M

r et φpr, ϕ, θq “ 1 4π

0

Q r .

‚ Pour a P R, les surfaces de niveau a sont donn´ ees par:

r “ ´ G M

a si a ă 0 et r “ 1 4π

Q

a si a ą 0 et sont donc des sph` eres centr´ ees en l’origine

‚ M

´10´1 SapVq

‚ Q

`10`1 Sapφq

Exercice (suite)

‚ La diff´ erence entre le potentiel gravitationnel V et celui de Coulomb φ est dans le sens croissant des niveaux correspondants aux sph` eres: le graphe des potentiels

V pr, ϕ, θq “ ´ G M

r et φpr, ϕ, θq “ 1 4π

0

Q r dans la seule variable r ą 0 est:

r

Vprq

´10

´1

r

´10 φprq

´1

4.3 – Champs de vecteurs

Dans cette section:

‚ Champs de vecteurs

‚ Rep` eres mobiles

‚ Lois de transformations en coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques

‚ Champ axial et champ central

‚ Lignes de champ

‚ Le champ ´ electrique Ý Ñ

E et le champ gravitationnel Ý Ñ G

Champs de vecteurs de R

³

D´ efinition – Un champ de vecteurs ou champ vectoriel de R

³

est un champ

Ý

Ñ V : R

³

ÝÑ R

³

, ~ x ÞÝÑ Ý Ñ V p~ xq

` a valeur dans les vecteurs de R

³

. Exemples –

‚ La position ~ x des points, une force Ý Ñ

F , les champs gravitationnel Ý

Ñ G , ´ electrique Ý Ñ

E et magn´ etique Ý Ñ

B , ou encore le potentiel magn´ etique Ý Ñ

A , sont des champs vectoriels.

‚ La vitesse d’´ ecoulement des points d’un fluide est un champ de vecteurs. La vitesse de d´ eplacement d’un corps ponctuel est un champ vectoriel, d´ efini sur la trajectoire du corps.

‚ La vitesse de d´ eplacement d’un objet ´ etendu qu’on ne peut pas

identifier ` a son baricentre n’est pas un champ vectoriel, car elle

n’est pas d´ efinie sur des points.

Composantes cartesiennes d’un champ de vecteurs

D´ efinition – Soit ~ x ÞÝÑ Ý Ñ

V p~ xq un champ de vecteurs de R

³

.

‚ Si ~ x “ px, y, zq est donn´ e en coordonn´ ees cartesiennes, on a Ý

Ñ V p~ xq “ V

x

p~ xq ~ ı ` V

y

p~ xq ~  ` V

z

p~ xq ~ k , o` u `

~ ı ,~  ,~ k ˘

est le rep` ere cartesien de R

³

centr´ e au point ~ x, et V

_x

, V

_y

, V

_z

: R

³

Ñ R sont des fonctions r´ eelles qui s’appellent coefficients ou composantes de Ý Ñ

V .

‚ Le domaine de Ý Ñ

V est l’ensemble DÝ Ñ

V “

!

~ x P R

³

| ~ x P D

Vx

, ~ x P D

Vy

, ~ x P D

Vz

) .

‚ Le champ est de classe C

^k

si ses coefficients le sont.

‚ Le dessin de Ý Ñ

V consiste des vecteurs Ý Ñ

V p~ xq appliqu´ es

aux points ~ x:

‚

‚

~x ÝÑ Vp~xq

~y Ý ÑVp~yq

Loi de transformation d’un champ vectoriel

Remarque – Soit Ý Ñ

V un champ vectoriel de R

³

.

‚ Mˆ eme si on ne consid` ere pas les unit´ es de mesure, un chmt de variables ~ x “ hp~ uq peut modifier le rep` ere pour Ý Ñ

V p~ xq, dans la direction des vecteurs.

‚ En g´ en´ eral, si ~ x “ hp~ uq, le champ Ý Ñ

V p~ xq se transforme en

˜ Ý

Ñ V p~ uq “ H ` Ý Ñ V `

hp~ uq ˘˘

“ V ˜

x

p~ uq Hp ~ ı q ` V ˜

y

p~ uq Hp ~  q ` V ˜

z

p~ u q Hp ~ k q o` u V ˜

_x

p~ u q “ V

_x

`

hp~ uq ˘

(mˆ eme chose pour ˜ V

_y

et ˜ V

_z

), et Hp ~ ı q, Hp ~  q, Hp ~ k q sont les vecteurs ~ ı ,~  et ~ k exprim´ es dans le nouveau rep` ere de R

³

d´ etermin´ e par h, c’est-` a-dire le rep` ere `

~ e

₁

, ~ e

₂

, ~ e

₃

˘

qui permet de d´ ecrire

~ u “ u ~ e

₁

` v ~ e

₂

` w ~ e

₃

par les coordonn´ ees pu, v , w q.

Rep` eres mobiles

D´ efinition – Un rep` ere mobile est un rep` ere centr´ e en tout point P variable, et qui d´ epend de la repr´ esentation en coordonn´ ees de P : les vecteurs indiquent la direction de variation des coordonn´ ees de P .

En particulier:

‚ rep` ere cartesien:

p ~ ı ,~  ,~ k q

‚ rep` ere cylindrique:

` e ~

_ρ

, ~ e

_ϕ

,~ k ˘

‚ rep` ere sph´ erique:

` e ~

_r

, ~ e

_ϕ

, ~ e

_θ

˘

y z

x

‚

‚ r

θ

ρ ϕ

~er

~eϕ

~ eθ

~j

~k

~i

~eρ

~eϕ

Attention – Les vecteurs ~ ı , ~  , ~ k ne changent pas de direction

quand P bouge, mais les autres vecteurs si !

Transformations des rep` eres cartesien, cylindrique et sph´ erique

Proposition – Les transformations H entre les rep` eres cartesien, cylindrique et sph´ erique, sont les suivantes:

‚ cartesien – cylindrique:

Si px, y, z q “ hpρ, ϕ, zq, avec

$

&

%

x “ ρ cos ϕ y “ ρ sin ϕ z “ z

, on a

» –

~

e

_ρ

“ cos ϕ ~ ı ` sin ϕ ~  e ~

ϕ

“ ´ sin ϕ ~ ı ` cos ϕ ~ 

~ k “ ~ k

et

» –

~ ı “ cos ϕ ~ e

_ρ

´ sin ϕ ~ e

_ϕ

~  “ sin ϕ ~ e

ρ

` cos ϕ ~ e

ϕ

~ k “ ~ k

Preuve – La premi`ere formule vient de la d´efinition des vecteurse~ρ,e~ϕ, et la deuxi`eme formule s’obtient en inversant le syst`eme donn´e par la premi`ere.

Transformations des rep` eres cartesien, cylindriques et sph´ eriques

‚ cartesien – sph´ erique:

Si px, y, z q “ hpr, ϕ, θq, avec

$

&

%

x “ r cos ϕ sin θ y “ r sin ϕ sin θ z “ r cos θ

, on a

» –

~

e

r

“ cos ϕ sin θ ~ ı ` sin ϕ sin θ ~  ` cos θ ~ k

~

e

_ϕ

“ ´ sin ϕ ~ ı ` cos ϕ ~ 

~

e

_θ

“ cos ϕ cos θ ~ ı ` sin ϕ cos θ ~  ´ sin θ ~ k

et »

–

~ ı “ cos ϕ sin θ ~ e

_r

´ sin ϕ ~ e

_ϕ

` cos ϕ cos θ ~ e

_θ

~  “ sin ϕ sin θ ~ e

r

` cos ϕ ~ e

ϕ

` sin ϕ cos θ ~ e

θ

~ k “ cos θ ~ e

r

´ sin θ ~ e

θ

Preuve – La premi`ere formule vient de la d´efinition des vecteurse~r,e~ϕ,

~

e_θ et la deuxi`eme formule s’obtient en inversant le syst`eme donn´e par la premi`ere.

Champ vectoriel en coordonn´ ees

Conclusion – Un champ vectoriel Ý Ñ

V p~ xq de R

³

s’´ ecrit dans le rep` ere mobile de sa variable ~ x:

‚ en coordonn´ ees cartesiennes px, y, z q:

Ý

Ñ V “ V

x

~ ı ` V

y

~  ` V

z

~ k ,

‚ en coordonn´ ees cylindriques pρ, ϕ, z q:

Ý

Ñ V “ V

ρ

e ~

ρ

` V

ϕ

e ~

ϕ

` V

z

~ k ,

‚ en coordonn´ ees sph´ eriques pr , ϕ, θq:

Ý

Ñ V “ V

r

e ~

r

` V

ϕ

e ~

ϕ

` V

_θ

e ~

_θ

,

o` u les coefficients V

x

, etc, sont des fonctions R

³

ÝÑ R.

La transformation d’une forme ` a une autre est donn´ ee par le

changement de coordonn´ ees usuel sur les coefficients, et par le

changement de rep` ere d´ ecrit ci-dessus sur les vecteurs.

Champ axial et champ central

D´ efinition – Un champ de vecteurs Ý Ñ

V de R

³

s’appelle:

‚ Axial s’il ne d´ epend que de la distance ρ d’un axe (supposons ~ k ) et est dirig´ e dans la direction radiale (par rapport au “radius” ρ).

En coordonn´ ees cylindrique, il s’´ ecrit Ý Ñ

V pρq “ f pρq e ~

_ρ

‚ Central s’il ne d´ epend que de la distance r d’un point (supposons l’origine) et est dirig´ e dans la direction radiale (par rapport au “radius” r ).

En coordonn´ ees sph´ eriques, il s’´ ecrit Ý Ñ

V pr q “ f prq e ~

r

Exemples de champs vectoriels

Exemples –

‚ Le vecteur position est le champ central

~ x “ x~ ı ` y~  ` z ~ k

“ ρ ~ e

ρ

` z ~ k

“ r e ~

r

y z

x

‚

‚

‚

‚

‚ La vitesse d’´ ecoulement d’un fluide:

Exemples de champs vectoriels

‚Lechamp gravitationnelengendr´e par une masseM est le champ central

Ý

ÑGprq “ ´GM r² e~r

Une massemsitu´e `a distancer deM est soumise `a laforce gravitationnelle

Ý

ÑFprq “mÝÑ

Gprq “ ´GMm r² e~_r.

‚

R²

M

‚Lechamp ´electriqueengendr´e par une chargeQ est le champ central

Ý

ÑEprq “ 1 4π

Q r² e~r

Une chargeqsitu´ee `a distancer deQest soumise `a laforce de Coulomb

Ý

ÑFprq “qÝÑ

Eprq “ 1 4π

Qq r² e~r.

‚

R²

Q

Exercices

´ Enonc´ e – Trouver le domaine des champs de vecteurs suivants, les dessiner en un point g´ en´ erique de R

³

(ou R

²

) et en deux ou trois points particuliers au choix. Enfin, exprimer ces champs en les autres coordonn´ ees.

‚ Ý Ñ

V px, yq “ p´y, xq “ ´y ~ ı ` x ~  R´ eponse –

Domaine = R

²

.

x y

‚

En coord. polaires:

Ý

ÑVpρ, ϕq “ ´ρsinϕ`

cosϕ ~e_ρ´sinϕ ~e_ϕ˘

`ρcosϕ`

sinϕ ~e_ρ`cosϕ ~e_ϕ˘

“ρ`

´sinϕcosϕ`cosϕsinϕ˘

~ e_ρ`ρ`

sin²ϕ`cos²ϕ˘

~ e_ϕ

“ ρ ~eϕ .

Exercices

‚ Ý Ñ

V pρ, ϕq “ ρ ~ e

ρ

` ϕ ~ e

ϕ

R´ eponse – ρ ą 0 et ϕ P r0, 2πr, ainsi D

V

“ R

_`^˚

ˆ r0, 2πr.

x y

‚

‚

‚

~eρ 1

2~eρ`<sup>π</sup><sub>2</sub>~eϕ ~eρ`^π₆~eϕ

En coord. cartesiennes:

Ý

Ñ V px, yq “ ρ

´

cos ϕ~ ı `sin ϕ~ 

¯

` ϕ

´

´ sin ϕ~ ı `cos ϕ~ 

¯

“

´

ρ cos ϕ´ϕ sin ϕ

¯

~ ı `

´

ρ sin ϕ`ϕ cos ϕ

¯

~ 

“

´

x ´ arctan

^y_x

?

^y

x²`y²

¯

~ ı

`

´

y ` arctan

^y_x

?

^x

x²`y²

¯

~  si x ‰ 0 et y ą 0.

Lignes de champ

D´efinition – Leslignes de champoucourbes int´egralesd’un champ vectoriel ÝÑ

V sont les courbes γ qui ont ÝÑ

Vp~xq comme vecteur tangent en tout point~xPγ.

γ ÝÑ

V

‚Siγest unecourbe param´etr´eepar ~xptq “`

xptq,yptq,zptq˘ , avec tPR, levecteur tangent `aγ au point~xptqest le vecteur des d´eriv´ees

~xptq “ p9 xptq,9 yptq,9 z9ptqq.

‚Alorsγ est une ligne de champ pourÝÑ

V “V_x~ı`V<sub>y</sub>~`V_z~k si et seulement si, pour toutt, on a:

~xptq “9 ÝÑ

Vp~xptqq c-`a-d

$

’&

’%

xpt9 q “Vx

`xptq,yptq,zptq˘ ypt9 q “Vy

`xptq,yptq,zptq˘ z9ptq “V<sub>z</sub>`

xptq,yptq,zptq˘

‚Par tout point fix´e~x₀“~xpt₀qil passe une seule ligne de champ.

Exercice

´Enonc´e – Trouver et dessiner les lignes de champ des champs de vecteurs suivants.

‚ ÝÑ

Vpx,y,zq “ p´y,x,0q “ ´y~ı`x~

R´eponse – ~xptq “ pxptq,yptq,zptqqd´ecrit une ligne de champ si:

~xptq9 “`

x9ptq,y9ptq,zpt9 q˘

“ÝÑ V`

xptq,yptq,zptq˘

“`

´yptq,xptq,0˘

c.-`a-d.

$

&

%

xptq “ ´yptq9 ypt9 q “xptq z9ptq “0

.

Ainsi xpt9 qxptq`y9ptqyptq “d dt

`xptq<sup>2</sup>`yptq²˘

“0, et donc

# xptq²`yptq²est constant zptqest constant . Au final,γ decrit un cercle sur un plan horizontal centr´e sur l’axeOz.

y z

x

Exercice

‚Champ gravitationnel: ÝÑ

Gprq “ ´GM r² e~r. R´eponse – Les lignes de champ deÝÑ

G donnent latrajectoired’un corps sousmis `a la force gravitationnelle exerc´ee par la masseM.

‚En coord. sph´eriques, une courbe param´etr´eeγ est donn´ee par rptq P s0,8r, ϕptq P r0,2πr et θptq P s0, πr.

‚Les points de la courbe sont donn´es par les vecteurs positions

~xptq “rptqe~_rptq,

o`u le vecteure~r d´epend aussi det car il change de direction avec le point

~xptq(contrairement `a~ı,~ et~k).

‚Le vecteur tangent `aγ au point~xptqest donc

~xpt9 q “r9ptqe~rptq `rptqe~9rptq.

‚Pour trouver les lignes de champ, il nous faut un petit lemme.

D´ eriv´ ee d’un vecteur ` a norme constante

Lemme – Soit ~ u “ ~ uptq un vecteur param´ etr´ e par t P R .

Si ~ u a norme constante non nulle, c-` a-d ||~ upt q|| “ c ‰ 0, alors le vecteur d´ eriv´ e ~ u est toujours orthogonal ` 9 a ~ u, c-` a-d

~ uptq ¨ ~ uptq “ 9 0 pour tout t (produit scalaire).

Preuve – On ´ ecrit || ~ uptq|| “ a

~ uptq ¨ ~ uptq et on d´ erive:

´

||~ uptq||

¯

1

“

´ a

~

u ptq ¨ ~ uptq

¯

1

“

~ uptq ¨ 9 ~ uptq ` ~ u ptq ¨ ~ uptq 9 2 a

~ uptq ¨ ~ uptq

“ 2 ~ uptq ¨ ~ upt 9 q 2 a

~ uptq ¨ ~ u ptq “ ~ uptq ¨ ~ uptq 9

|| ~ uptq||

On a donc

||~ uptq|| “ c ô

´

||~ uptq||

¯

₁

“ 0 ô ~ uptq ¨ ~ uptq “ 9 0. l

Exercice (suite)

‚ Resum´ e: pour une courbe γ en coordonn´ ees sph´ erique

~ xptq “ r ptq e ~

r

pt q, le vecteur tangent est

~ xptq “ 9 rptq 9 e ~

_r

ptq ` r ptq e ~ 9

_r

ptq,

et, puisque e ~

_r

pt q a norme constante 1, le vecteur e ~ 9

_r

ptq est

orthogonal ` a e ~

r

ptq, c-` a-d avec seulement des composantes dans les directions e ~

ϕ

ptq et e ~

_θ

ptq.

‚ Alors γ est une ligne de champ de Ý Ñ G si

~ xptq 9 “ rptq 9 e ~

_r

ptq ` rptq e ~ 9

_r

ptq

“ Ý Ñ G `

~ xptq ˘

“ ´ GM r ptq

²

e ~

r

ptq

c’est-` a-dire si

$

&

%

r 9 ptq “ ´ GM rpt q

²

p1q

~ 9

e

r

ptq “ 0 p2q

.

Exercice (suite)

‚ p2q dit que e ~

r

ptq est constant.

Donc les lignes de champ sont des droites radiales centr´ ees en M .

‚ p1q donne la distance rptq de M:

‚ R³ M

r 9 ptq “ ´ GM

rptq

²

ñ r ptq

²

r 9 ptq “ 1 3

d dt

` rptq

³

˘

“ ´GM ñ r ptq

³

“ ´3GM t ` r

₀³

ñ rptq “

³

b

r

₀³

´ 3GM t o` u r

0

“ rp0q est la distance initiale du corps de M.

Pour que rptq soit positif, il faut que t ď r

₀³

{3GM .

‚ En somme, un corps qui se trouve distance r

₀

de M est attir´ e

par la masse (car rptq diminue quand t augmente), et la touche ` a

l’instant t “ r

₀³

{3GM. Les lignes de champ sont orient´ ee vers M :

le champ gravitationnel est attractif.

Exercice (suite)

‚ Champ ´ electrique: Ý Ñ

E prq “ 1 4π

Q r

²

e ~

r

R´ eponse br` eve – Les lignes de champ sont aussi des droites radiales, passant par la position de la charge Q qui engendre le champ.

Cette fois, les lignes de champs sont orient´ ee vers l’ext´ erieur: le champ ´ electrique est r´ epulsif.

‚ R³ Q

4.4 – Champs conservatifs

Dans cette section:

‚ Gradient

‚ Potentiel scalaire et champs conservatifs

‚ Rotationnel

‚ Champs irrotationnels

‚ Ensembles connexes, simplement connexes, contractiles

‚ Lemme de Poincar´ e (cas simplement connexe)

‚ Calcul du potentiel scalaire

‚ Le champ ´ electrique Ý Ñ

E et le champ gravitationnel Ý Ñ G

Gradient d’un champ scalaire

D´ efinition – Soit φ : D Ă R

³

ÝÑ R un champ scalaire. Le gradient de φ est le champ de vecteurs Ý Ñ ∇ φ “ ÝÝÑ

grad φ sur D donn´ e par les expressions:

ÝÝÑ grad φ “

^Bφ_Bx

~ ı `

^Bφ_By

~  `

^Bφ_Bz

~ k ÝÝÑ grad φ “

^Bφ_Bρ

e ~

ρ

`

¹_{ρ Bϕ}^Bφ

e ~

ϕ

`

^Bφ_Bz

~ k ÝÝÑ grad φ “

^Bφ_Br

e ~

r

`

_rsin¹ _θ ^Bφ_Bϕ

e ~

ϕ

`

¹_r ^Bφ_Bθ

e ~

_θ

.

Exemple – Le gradient de φpr, ϕ, θq “rϕsinθ est Ý

Ñ∇φpr, ϕ, θq “ ^Bprϕ_Br^sinθq e~r`<sub>rsin</sub><sup>1</sup><sub>θ</sub><sup>Bprϕsin</sup><sub>Bϕ</sub> <sup>θq</sup> e~ϕ`¹_r ^Bprϕ_Bθ^sinθq e~θ

“ϕsinθ ~er`<sup>r</sup><sub>r</sub><sup>sinθ</sup><sub>sinθ</sub> e~ϕ`^rϕcos_r ^θ e~θ

“ϕsinθ ~er`e~ϕ`ϕcosθ ~eθ

Propri´ et´ es du gradient

Proposition – Le gradient ÝÝÑ

grad φ est orthogonal aux surfaces de niveau de φ en tout point, et indique le sens de plus forte

croissance de φ.

Sapφq

∇φ

Proposition – Le gradient Ý Ñ ∇ “ ÝÝÑ

grad est un op´ erateur lin´ eaire agissant sur les champs scalaires (ici f et g ):

Ý

Ñ ∇ pλ f ` µ g q “ λ Ý Ñ ∇ f ` µ Ý Ñ ∇ g , pour tout λ, µ P R . Sur un produit, il agit par la r` egle de Leibniz:

Ý

Ñ ∇ pf g q “

´ Ý Ñ ∇ f

¯ g ` f

´ Ý Ñ ∇g

¯

.

Potentiel scalaire et champ conservatif

D´ efinition –

‚ On appelle champ de gradient tout champ vectoriel Ý Ñ

V qui est le gradient d’un champ scalaire φ, c’est-` a-dire de la forme

Ý

Ñ V “ ÝÝÑ grad φ.

‚ Une force Ý Ñ

F est conservative si, quand elle agit sur un syst` eme isol´ e, l’´ en´ ergie m´ ecanique du syst` eme est conserv´ ee.

Si on voit Ý Ñ

F comme un champ de force, cela arrive s’il existe un champ scalaire φ tel que

Ý

Ñ F “ ´ ÝÝÑ grad φ.

Dans ce cas, le champ φ s’appelle potentiel (scalaire) de Ý Ñ F .

‚ Donc le potentiel de Ý Ñ

V “ Ý Ñ ∇ φ est le champ ´φ!

Exemples de forces conservatives

Exemples –

‚ La force gravitationnelle Ý Ñ

F prq “ m Ý Ñ G prq et la force de Coulomb Ý

Ñ F pr q “ q Ý Ñ

E prq sont conservatives.

Justement: quel est leur potentiel?

‚ La force de Lorentz (due ` a un champ magn´ etique Ý Ñ B ), la pression, le frottement ou un choc sont des forces non-conservatives.

Questions –

‚ Comment savoir si une force Ý Ñ

F est conservative?

‚ Si elle l’est, comment trouver son potentiel?

Rotationnel d’un champ vectoriel

D´ efinition – Soit Ý Ñ

V : D Ă R

³

ÝÑ R

³

un champ de vecteurs. Le rotationnel de Ý Ñ

V est le champ de vecteurs sur D, not´ e Ý Ñ

rot Ý Ñ

V “ Ý Ñ ∇ ˆ Ý Ñ

V (produit vectoriel, en France ^), donn´ e par:

Ý Ñ rot Ý Ñ

V “

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

~ ı ~  ~ k

B Bx B

By B Bz

V

x

V

y

V

z

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

“

´

BVz

By

´

^BV_Bz^y

¯

~ ı ` `

_BVx

Bz

´

^BV_Bx^z

˘

~  `

´

BVy

Bx

´

^BV_By^x

¯ ~ k

Ý Ñ rot Ý Ñ

V “

´

1 ρ

BVz

Bϕ

´

^BV_Bz^ϕ

¯

~ e

ρ

`

´

BVρ

Bz

´

^BV_Bρ^z

¯

~ e

ϕ

`

¹_ρ

´

BpρVϕq Bρ

´

^BV_Bϕ^ρ

¯ ~ k

Ý Ñ rot Ý Ñ

V “

_rsin¹ _θ

´

BpsinθVϕq Bθ

´

^BV_Bϕ^θ

¯

~ e

_r

`

¹_r

´

BprVθq Br

´

^BV_Bθ^r

¯

~ e

_ϕ

`

¹_r

´

1 sinθ

BVr

Bϕ

´

^BprV_Br^ϕq

¯

e ~

θ

Exemples de rotationnel

Exemples – En coordonn´ ees cartesiennes:

‚ Ý Ñ

V px, y , zq “ ´y ~ ı ` x ~  Ý Ñ

rot Ý Ñ

V px, y, zq “

´

B0 By

´

^Bx_Bz

¯ ~ i `

´

Bp´yq Bz

´

_Bx^B0

¯ ~ j `

´

Bx

Bx

´

^Bp´yq_By

¯ ~ k

“ 0~ ı ` 0~  ` p1 ` 1q ~ k “ 2 ~ k .

‚ Ý Ñ

V px, y , zq “ x

²

~ ı ` 2xy ~  ` z ~ k Ý Ñ

rot Ý Ñ

V px, y, zq “ 0~ ı ` 0~  ` p2yq ~ k

“ 2y ~ k .

Exemples de rotationnel

Exemples – En coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques:

‚ Ý Ñ

V pρ, ϕ, zq “ sin ϕ ~ e

_ρ

` ρ~ k Ý Ñ

rot Ý Ñ

V pρ, ϕ, zq “

´

1 ρ

Bρ Bϕ

´

^B0_Bz

¯ e ~

ρ

`

´

Bsinϕ Bz

´

^Bρ_Bρ

¯ e ~

ϕ

`

¹_ρ

´

Bpρ¨0q

Bρ

´

^Bsin_Bϕ^ϕ

¯ ~ k

“ ´ e ~

_ϕ

´

^cos_ρ^ϕ

~ k .

‚ Ý Ñ

V pr, ϕ, θq “ sin ϕ ~ e

_r

` r e ~

_θ

Ý Ñ

rot Ý Ñ

V pr , ϕ, θq “

_{r sin}¹ _θ

´

Bpsinθ¨0q Bθ

´

_Bϕ^Br

¯ e ~

r

`

¹_r

´

Br²

Br

´

^Bsin_Bθ^ϕ

¯ e ~

ϕ

`

¹_r

´

1 sinθ

Bsinϕ Bϕ

´

^Bpr¨0q_Br

¯

~ e

_θ

“ 0 e ~

r

`

^2r_r

e ~

ϕ

`

_r^cos_sin^ϕ_θ

e ~

θ

“ 2 e ~

ϕ

`

_r^cos_sin^ϕ_θ

e ~

θ

.

Champs irrotationnels

Proposition – Le rotationnel est un op´ erateur lin´ eaire agissant sur les champs de vecteurs (ici Ý Ñ

U et Ý Ñ V ):

Ý Ñ rot pλ Ý Ñ

U ` µ Ý Ñ

V q “ λ Ý rot Ñ Ý Ñ

U ` µ Ý rot Ñ Ý Ñ

V , pour tout λ, µ P R et satisfait l’identit´ e

Ý Ñ rot p ÝÝÑ

grad φq “ 0, pour tout champ scalaire φ.

D´ efinition – Un champ de vecteurs Ý Ñ

V se dit irrotationnel si Ý Ñ

rot Ý Ñ V “ 0.

‚ Donc tout champ de gradient Ý Ñ

V “ ÝÝÑ

grad φ est irrotationnel.

‚ Mais un champ irrotationnel n’est pas toujours un gradient!

Pour savoir s’il l’est, il existe un crit` ere bas´ e sur les propriet´ es

topologiques du domaine D du champ.

Ensembles simplement connexes et contractiles

D´efinition – Un sous-ensembleD deR²ou deR³ s’appelle:

‚Connexesi tous les points deD peuvent ˆetre joint par une courbe contenue dansD.

connexe connexe non connexe

‚Simplement connexes’il est connexe et toute courbe ferm´ee dansD peut ˆetre d´eform´ee en un point.

simpl. connexe γ

non simpl. connexe

γ Rⁿsimpl. connexe

R²rpoint,R³rdroite non simpl. connexe

‚Contractilesi on peut d´eformer l’espace entierD en un point.

contractile

‚ non contractile

simpl. connexe non contractile non simpl. connexe

‚ contractile

Lemme de Poincar´ e (cas simplement connexe)

Th´ eor` eme – Soit Ý Ñ

V un champ de vecteurs sur R

³

et soit D Ă R

³

un ensemble simplement connexe. Alors:

Ý

Ñ V “ ÝÝÑ

grad φ sur D ðñ Ý rot Ñ Ý Ñ

V “ 0 sur D.

‚ Ainsi, si Ý Ñ

F est un champ de force sur D Ă R

³

: Si D est simplement connexe:

Ý

Ñ F est conservative

(a un potentiel scalaire) ðñ Ý

Ñ F est un champ irrotationnel

‚ Attention – On ne peut rien dire sur Ý Ñ

F si D n’est pas

simplement connexe: tout peut arriver!

Calcul du potentiel scalaire

Probl`eme – SoitÝÑ

V un champ vectoriel deR³tel queÝrotÑÝÑ

V “0, d´efini sur un domaine D simplement connexe.

Trouver son potentiel scalaireφ, tel queÝÑ V “ ´ÝÑ

∇φ.

M´ethode – Pour simplifier, on cherche l’oppos´e deφ: une fonction f :DÝÑRtelle queÝÑ

V “ÝÑ

∇f. En coordonn´ees cartesiennes:

p1q Bf

Bx “Vx, p2q Bf

By “Vy, p3q Bf Bz “Vz.

‚On int`egrep1qet on trouve fpx,y,zq “

ż

Vxpx,y,zqdx`gpy,zq. p4q

‚On d´erivef par rapport `ay, on trouve <sup>Bg</sup><sub>By</sub> avecp2qet on l’int`egre:

gpy,zq “ ż Bg

Bypy,zqdy`hpzq. p5q

‚On metp5qdansp4qpour obtenir `a nouveauf. On d´erivef par rapport `az et on utilise p3qpour trouverh¹pzqet donchpzq.

‚A rebour, on ins`` ere hpzqdans p5qpour avoirgpy,zq, qu’on met dans p4q, et on obtient enfinfpx,y,zq.

Exemple: calcul du potentiel scalaire

Exemple – Soit ÝÑ

Vpx,y,zq “2xy~ı` px<sup>2</sup>`zq~`y~k.

‚D’abord on v´erifie que ÝrotÑÝÑ V “0.

‚PuisqueÝÑ

V est d´efini sur toutR³, qui est simplement connexe, par le Lemme de Poincar´e on sait queÝÑ

V est un champ de gradient.

‚Cherchons la fonctionf telle queÝÑ V “ÝÝÑ

gradf. On a

p1q ^Bf_Bx “2xy, p2q ^Bf_By “x²`z, p3q ^Bf_Bz “y.

‚ p1qdonne fpx,y,zq “ ż

2xy dx`gpy,zq “x<sup>2</sup>y`gpy,zq.

‚ p2qdonne ^Bf_By “x²`<sup>Bg</sup><sub>By</sub> “x<sup>2</sup>`z, d’o`u suit ^Bg_By “z, ensuite gpy,zq “

ż

z dy`hpzq “zy `hpzq et enfin fpx,y,zq “x²y`zy`hpzq.

‚ p3qdonne ^Bf_Bz “y`h<sup>1</sup>pzq “y, d’o`u h¹pzq “0 et hpzq “c.

‚On a alors fpx,y,zq “x²y`zy`c .

Exemple: potentiel du champ gravitationnel

Exemple – Soit ÝÑ

Gprq “ ´GM

r² e~r le champ gravitationnel.

‚D’abord, v´erifions qu’il admet un potentiel:

ÝÑ rotÝÑ

Gprq “ ´¹_{r Bθ}^B `

´^GM_r2

˘e~ϕ`<sub>rsin</sub><sup>1</sup><sub>θ Bϕ</sub><sup>B</sup> `

´^GM_r2

˘e~θ“0.

‚Le champÝÑ

G est d´efini surD“ tpr, ϕ, θq |r ą0u “R³zorigine, qui est simplement connexe. Par le Lemme de Poincar´e,ÝÑ

G admet donc un potentiel scalaire.

‚En coordonn´ees sph´eriques: cherchons une fonctionφpr, ϕ, θqtelle que Ý

ÑG “ ´ÝÝÑ

gradφ, c’est-`a-dire

´^Bφ_Br e~_r´_rsinθ^{1 Bφ}_Bϕe~_ϕ´¹_r ^Bφ_Bθe~_θ“ ´^GM_r2 e~_r, Cela donne les ´equations

p1q ^Bφ_Br “^GM_r2 , p2q _Bϕ^Bφ “0, p3q ^Bφ_Bθ “0.

‚ p2qetp3qdisent queφne d´epend pas deϕet de θ.

‚ p1qdevient alors φ¹prq “^GM_r2 , d’o`u suit φprq “ ´^GM_r “Vprq.

4.5 – Champs incompressibles

Dans cette section:

‚ Divergence

‚ Champs ` a divergence nulle (incompressibles, sol´ eno¨ıdaux)

‚ Potentiel vectoriel

‚ Lemme de Poincar´ e (cas contractile)

‚ Calcul du potentiel vectoriel

‚ Le champ magn´ etique Ý Ñ

B et son potentiel Ý Ñ

A

Divergence

D´ efinition – Soit Ý Ñ

V : D Ă R

³

ÝÑ R

³

un champ de vecteurs. La divergence de Ý Ñ

V est le champ scalaire sur D, not´ e div Ý Ñ

V “ Ý Ñ ∇ ¨ Ý Ñ

V (produit scalaire), donn´ e par:

div Ý Ñ

V “

^BV_Bx^x

`

^BV_By^y

`

^BV_Bz^z

div Ý Ñ

V “

¹_ρ ^Bpρ_Bρ^Vρq

`

¹_ρ ^BV_Bϕ^ϕ

`

^BV_Bz^z

div Ý Ñ

V “

_r¹2

Bpr²Vrq

Br

`

_rsin¹ _θ ^BV_Bϕ^ϕ

`

_rsin¹ _θ ^Bpsin_Bθ^θVθq Exemples –

‚ÝÑ

Vpx,yq “ ´y~ı `x~ ùñ divÝÑ

Vpx,yq “0.

‚ÝÑ

Vpx,y,zq “x²~ı `2xy~ `z~k ùñ divÝÑ

Vpx,y,zq “2x`2x`1

“4x`1 .

‚ÝÑ

Eprq “ Q 4π

1

r²e~r ùñ divÝÑ

Eprq “ Q 4π

1 r²

B Br

ˆr² r²

˙

“0

Propri´ et´ es de la divergence

Proposition – La divergence est un op´ erateur lin´ eaire agissant sur les champs de vecteurs (ici Ý Ñ

U et Ý Ñ V ):

div pλ Ý Ñ U ` µ Ý Ñ

V q “ λ div Ý Ñ

U ` µ div Ý Ñ

V , pour tout λ, µ P R et satisfait aux identit´ es suivantes:

div pφ Ý Ñ

V q “ φ div Ý Ñ

V ` ÝÝÑ grad φ ¨ Ý Ñ

V div p Ý Ñ

U ^ Ý Ñ

V q “ Ý rot Ñ p Ý Ñ U q ¨ Ý Ñ

V ´ Ý Ñ

U ¨ Ý rot Ñ p Ý Ñ V q div p ÝÝÑ

grad φq “ ∆φ (= Laplacien) ÝÝÑ grad pdiv Ý Ñ

V q “ ∆ Ñ Ý

V ` Ý rot Ñ Ý rot Ñ Ý Ñ

V (∆ Ý Ñ

V = Laplacien vectoriel) div p Ý rot Ñ Ý Ñ

V q “ 0

pour tout champ scalaire φ.

Champs ` a divergence nulle, incompressibles, sol´ eno¨ıdaux

D´ efinition –

‚ Un champ vectoriel Ý Ñ

V est ` a divergence nulle si div Ý Ñ V “ 0.

‚ Un fluide est incompressible si son volume reste constant quand il est sousmis ` a une pression.

(Par exemple, un liquide est consider´e incompressible, un gaz non.)

Cela arrive si le champ Ý Ñ

V qui d´ ecrit la vitesse d’´ ecoulement du fluide a divergence nulle.

‚ Un champ de vecteurs Ý Ñ

V qui d´ ecrit un courant de mati` ere est dit sol´ eno¨ıdal (

du gr`equesˆolen = tuyau

) si le volume de mati` ere transport´ ee est constant

(comme s’il ´etait contraint dans un tuyau)

: cela arrive si div Ý Ñ

V “ 0.

Exemple – Un champ de gradient ÝÝÑ

grad φ est sol´ eno¨ıdal si div p ÝÝÑ

grad φq “ ∆φ “ 0,

c’est-` a-dire si la fonction φ est harmonique.

Potentiel vectoriel et invariance de jauge

D´ efinition – Soit Ý Ñ

V un champ de vecteurs. On appelle potentiel vectoriel de Ý Ñ

V un champ Ý Ñ

U tel que Ý Ñ

V “ Ý rot Ñ Ý Ñ U . Proposition –

‚ Si le champ Ý Ñ

V admet un potentiel vectoriel, alors Ý Ñ V est ` a divergence nulle.

(Car ÝÑ

V “ÝrotÑÝÑ

U et divÝrotÑÝÑ U “0.)

‚ Si Ý Ñ

U est un potentiel de Ý Ñ

V , alors Ý Ñ

U ` ÝÝÑ

grad φ l’est aussi, quelconque soit le champ scalaire φ.

(En effet, on a ÝÑ rot´ÝÑ

U`ÝÝÑ gradφ¯

“ÝrotÑÝÑ U “ÝÑ

V, car ÝrotÑÝÝÑ

gradφ“0 pour toutφ.)

D´ efinition – Le remplacement Ý Ñ

U Ñ Ý Ñ

U ` ÝÝÑ

grad φ s’appelle transformation de jauge, la libert´ e dans le choix du potentiel vectoriel est due ` a l’invariance de jauge du champ Ý Ñ

V et le choix

d’un potentiel s’appelle choix de jauge.

Lemme de Poincar´ e (cas contractile)

Remarque – Si Ý Ñ

V “ Ý rot Ñ Ý Ñ

U alors div Ý Ñ

V “ 0, mais si div Ý Ñ V “ 0 alors Ý Ñ

V n’est pas toujours = Ý rot Ñ Ý Ñ U ! Th´ eor` eme – Soit Ý Ñ

V un champ de vecteurs sur R

³

et soit D Ă R

³

un ensemble contractile. Alors:

Ý

Ñ V “ Ý rot Ñ Ý Ñ

U sur D ðñ div Ý Ñ

V “ 0 sur D.

‚ Ainsi, si Ý Ñ

V est un champ de vecteurs sur D Ă R

³

: Si D est contractile:

Ý

Ñ V admet un potentiel vectoriel

ðñ Ý Ñ

V est ` a divergence nulle (incompressible / sol´ eno¨ıdal)

‚ Attention – On ne peut rien dire sur Ý Ñ

V si D n’est pas

contractile: tout peut arriver!

Calcul du potentiel vectoriel

Probl` eme – Soit Ý Ñ

V un champ vectoriel de R

³

tel que div Ý Ñ V “ 0, d´ efini sur un ensemble contractile. Trouver son potentiel vectoriel Ý

Ñ U , tel que Ý Ñ

V “ Ý rot Ñ Ý Ñ U .

M´ ethode – En coordonn´ ees cartesiennes, le potentiel vectoriel de Ý

Ñ V est un champ Ý Ñ

U “ f ~ ı ` g ~  ` h ~ k d´ efini sur D tel que Ý

Ñ V “ Ý rot Ñ Ý Ñ

U , c’est-` a-dire p1q Bh

By ´ Bg

Bz “ V

_x

, p2q Bf Bz ´ Bh

Bx “ V

_y

, p3q Bg Bx ´ Bf

By “ V

_z

.

‚ Il s’agit de trouver les trois fonctions f , g et h ` a travers leurs d´ eriv´ ees partielles (9 en tout) ` a partir de seulement 3 ´ equations diff´ erentielles du 1er ordre qui les relient.

‚ Ce syst` eme se r´ esout par int´ egrations successives (comme pour le

potentiel scalaire), mais n’a pas de r´ eponse unique: mis ` a part les

constantes, il y a en plus 6 p“ 9 ´ 3q choix ` a faire!

Cas particulier de champ et de potentiel

Cas particulier – Si Ý Ñ

V “ V

z

~ k (c-` a-d V

x

“ V

y

“ 0), avec div Ý Ñ

V “ BV

z

Bz “ 0,

et on choisit h “ 0 (ce qui fixe 3 conditions sur les 6 libres), il ne reste qu’un potentiel de la forme Ý Ñ

U “ f ~ ı ` g ~  sousmis aux

´ equations p1q Bg

Bz “ 0, p2q Bf

Bz “ 0, p3q Bg Bx ´ Bf

By “ V

z

.

‚ p1q et p2q assurent que f et g ne d´ ependent pas de z .

‚ Pour resoudre p3q, il faut encore fixer arbitrairement

_Bx^Bf

et

^Bg_By

(2

conditions), plus l’une des deux d´ eriv´ ees

^Bf_By

ou

^Bg_Bx

(derni` ere

condition libre).

Exemple: calcul de potentiel vectoriel

Exemple – Soit Ý Ñ

V px, y, z q “ pxy

²

´ x

³

y q ~ k .

‚ D’abord, v´ erifions qu’il admet un potentiel vectoriel:

div Ý Ñ

V px, y , z q “ Bpxy

²

´ x

³

yq Bz “ 0.

‚ Puisque DÝ Ñ

V “ R

³

est contractile, par le Lemme de Poincar´ e Ý Ñ V admet un potentiel vectoriel Ý Ñ

U d´ efini sur tout R

³

.

‚ Cherchons Ý Ñ

U sous la forme Ý

Ñ U px , y, z q “ f px, y q~ ı ` g px, yq~  (h “ 0 et donc

^Bf_Bz

“

^Bg_Bz

“ 0) tel que

p3q Bg Bx ´ Bf

By “ xy

²

´ x

³

y.

Exemple (suite)

Solution 1: on choisit

Bg

Bx “xy² ñ gpx,yq “ ż

xy²dx`Gpyq “ 1

2x²y²`Gpyq

Bf

By “x³y ñ fpx,yq “ ż

x³y dy`Fpxq “1

2x³y²`Fpxq o`uFpxqetGpyqsont des fonctions arbitraires. On a donc

Ý

ÑU₁px,y,zq “ ˆ1

2x³y²`Fpxq

˙

~ı ` ˆ1

2x²y²`Gpyq

˙

~.

Solution 2: on choisit

Bg

Bx “0 ñ gpx,yq “G¹pyq

Bf

By “x³y´xy² ñ fpx,yq “ ż

px³y´xy²qdy`F¹pxq

“ ¹₂x³y²´¹₃xy³`F<sup>1</sup>pxq o`uF¹pxqetG¹pyqsont des fonctions arbitraires. On a alors

Ý

ÑU2px,y,zq “ ˆ1

2x³y²´1

3xy³`F¹pxq

˙

~ı `G¹pyq~.

Exemple (suite)

Transformation de jauge – La diff´ erence entre les deux solutions trouv´ ees est donn´ ee par le gradient d’une fonction: en posant toutes les fonctions F , G , F

¹

et G

¹

´ egales ` a z´ ero,

on a Ý

Ñ U

1

px, y, zq ´ Ý Ñ

U

2

px , y, z q “

¹₃

xy

³

~ ı `

¹₂

x

²

y

²

~ 

“ ÝÝÑ grad `

₁

6

x

²

y

³

` c ˘

.

Exercice: le champ magn´ etique

´ Enonc´ e – Un courant d’intensit´ e I qui passe dans un fil droit plac´ e sur l’axe ~ k engendre le champ magn´ etique (statique)

Ý

Ñ B px, y , z q “ µ I 2π

´

´ y

x

²

` y

²

~ ı ` x x

²

` y

²

~ 

¯ , o` u µ est la permeabilit´ e magn´ etique. La force que Ý Ñ

B exerce sur une charge q plac´ ee en position px, y, zq en mouvement avec vitesse ~ v est donn´ ee par

Ý

Ñ F px, y, zq “ q ~ v ^ Ý Ñ

B px, y, z q et s’appelle force de Lorentz.

1q Trouver le domaine de d´ efinition de Ý Ñ

B , son expression en coordonn´ ees cylindriques et en dessiner quelques valeurs.

R´ eponse –

‚

^D~B “ px,y,zq PR³|x²`y²‰0(

“ R³ priv´e de l’axe~k

Donc D

~B

n’est pas simplement connexe (et pas contractile).

Exercice: le champ magn´ etique

‚ L’expression de Ý Ñ

B px, y , z q “

^µ_2π^I

´

´

_x2`y^{y 2}

~ ı `

_x2`y^{x 2}

~ 

¯ en coordonn´ ees cylindriques est:

Ý

Ñ B pρ, ϕ, zq “

^µ_2π^I

´

´

^ρsin_ρ2^ϕ

~ ı `

^ρcos_ρ2^ϕ

~ 

¯

“ µ I 2π

1

ρ e ~

_ϕ

.

‚ Le dessin de Ý Ñ

B est alors:

~k

Ý ÑB

~k

Ý ÑB

Exercice: le champ magn´ etique

2qLe champÝÑ

B “^µ_2π^{I 1}_ρe~_ϕ est-il conservatif?

Autrement dit, admet-il un potentiel scalaire?

R´eponse –

‚On a ÝÑ rotÝÑ

B “ µ₀I 2π

„

´ B Bz

ˆ1 ρ

˙

~ e_ρ`1

ρ B Bρ

ˆ ρ1

ρ

˙

~k



“0.

Par le lemme de Poincar´e alors, on sait qu’un potentiel scalaireφexiste sur tout sous-ensembleDĂD~B simplement connexe,

par exemple surD“R³ priv´e du demi-planϕ“0.

‚Calculonsφtel queÝÑ

B “ ´ÝÝÑ

gradφsur unDsimplement connexe:

p1q ´Bφ

Bρ “0 p2q ´1 ρ

Bφ Bϕ “ µ₀I

2π 1

ρ p3q ´Bφ

Bz “0 p1qetp3qdisent queφne d´epend pas deρet dez.

p2qs’´ecrit ^Bφ_Bϕ“ ´^µ_2π^0I ùñ φpϕq “ ´^µ_2π^0Ipϕ`ϕ0q .