CHAMPS SCALAIRES ET CHAMPS DE VECTEURS

Formulaire d’opérateurs différentiels

CHAMPS SCALAIRES ET CHAMPS DE VECTEURS

Les formules encadrées sont à savoir par cœur.

1 – Opérateur « nabla »

Opérateur différentiel « nabla » : _{x y} u_z

u z u y

x . . .



 





∂ + ∂









∂ + ∂



 





∂

= ∂

∇ en coordonnées cartésiennes

Gradient du champ scalaire f(x,y,z) : gradf ou ∇f Divergence du champ de vecteurs A : divA ou ∇.A Rotationnel du champ de vecteurs A : rot. A ou ∇∧A Laplacien du champ scalaire f : ^∆.f=div.

(

^grad.f

)

du champ de vecteurs A : ∆.A=

(

∆Ax

)

.ux+

(

∆Ay

)

.uy+

⁽

∆Az

⁾

.uz

2 – Formulaire des systèmes de coordonnées 2.1 – Coordonnées cartésiennes

z y

x u

z u f y u f x f f

grad . . .

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

z A y A x A A

div ^{x y z}

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

z y x

z y x x

z y u

y A x A x u

A z u A z A y A A

rot. . . .











∂

−∂

∂ + ∂



 





∂

−∂

∂ + ∂













∂

−∂

∂

= ∂

2 2 2 2 2 2

z f y

f x f f

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

∆

z z y y x

x.e A .e A .e A

A=∆ +∆ +∆

∆

( )

z . A y A . A x A . A A

z . A y A . A x A . A A

z . A y A . A x A . A A A . grad . A

z z y z

x z

y z y y y x

z x y x

x x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

=

Formulaire d’opérateurs différentiels 2.2 – Coordonnées cylindriques

z

r u

z u f f u r r f f

grad 1. . .

. ∂

+∂

∂ + ∂

∂

=∂ _θ

θ

( )

z A A r r A r A r

div ^{r z}

∂ +∂

∂ + ∂

∂

= ∂

θ . θ 1 . .

1

r z z

r r

z A u

r r A r u r r A z u A z A A A r

rot . 1. .

1. . .

1.

. 



 





∂

− ∂

∂ + ∂



 





∂

−∂

∂ + ∂



 





∂

−∂

∂

= ∂

θ θ

θ θ θ

2 2 2 2 2

. 1 1.

z f f r r

r f r f r

∂ +∂

∂ + ∂



 





∂

∂

∂

= ∂

∆ θ

z

r 2 2

2 2 r r

A

. A r

2 r A A

. A r

2 r A A

A

∆

θ

∂ + ∂

−

∆

θ

∂

− ∂

−

∆

=

∆ _θ ^θ

θ

( )

z . A A A r . A r . A A

r A . A z . A A A r . A r . A A

r A z . A A A r . A r . A A

A . grad . A

z z z r z

z r r

r 2 r z

r r

∂ + ∂ θ

∂ + ∂

∂

∂

∂ + + ∂ θ

∂ + ∂

∂

∂

∂ − + ∂ θ

∂ + ∂

∂

∂

=

θ

θ θ θ

θ θ

θ θ

2.3 – Coordonnées sphériques

ϕ

θ θ ϕ

θ ^u

f u r

f u r r f f

grad _r . .

sin . . 1 1.

. ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

=∂

( ) ^{( )}

ϕ θ θ

θ θ

θ ϕ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ A

r A r

r A r r A

div ^r

sin .

1 .

. sin sin .

1 . .

1 ²

2

( )

θ ϕ θ

θ ϕ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ θ

θ A u

r A r u r r A A r u r

A A A r

rot _r ^r . ^r .

1. . .

sin . . 1 . 1 .

. sin sin .

. 1 



 





∂

−∂

∂ + ∂









∂

−∂

∂ + ∂









∂

−∂

∂

= ∂

2 2 2 2 2

2 2

. f sin . r

1 . f

sin . sin . r

1 r . f r r . r f 1

ϕ

∂

∂ + θ



 



 θ

∂ θ∂ θ

∂

∂ + θ



 





∂

∂

∂

= ∂

∆ ou

( )

r.f ...

r r. f 1

2 2

∂ +

= ∂

∆

( )

r an cot . A A r

A . A A sin . r

A . A

r A r . A A

r an cot . A r

A . A A sin . r A A r . A r . A A

r A A A

sin . . r A A r . A r . A A

A . grad . A

r r

2 r r

2 2 r r

r r

− θ ϕ +

∂

∂ + θ θ

∂ + ∂

∂

∂

− θ ϕ +

∂

∂ + θ θ

∂ + ∂

∂

∂

− + ϕ

∂

∂ + θ θ

∂ + ∂

∂

∂

=

ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ ϕ

ϕ

θ ϕ ϕ θ

θ θ θ

θ ϕ θ ϕ













− θ ϕ

∂

∂ + θ ϕ

∂

∂ θ

−

∆













ϕ

∂

∂ θ

− θ θ θ −

∂

− ∂

∆













ϕ

∂

∂ + θ θ

∂ θ

∂ + θ

−

∆

=

∆

θ ϕ ϕ

θ ϕ θ

θ ϕ

sin . 2 A A tan .

1 . A sin . r A 2

A . sin

cos sin . 2 A A . r A 2

A sin . sin 1 . . A sin A 1 . r A 2

A

r 2

2 2 r 2 2 r r

Formulaire d’opérateurs différentiels

3 – Formules intrinsèques

(

fg

)

fgradg ggrad f grad . = . . + . .

( )

^{f A fdivA Agrad f}

div . = . + . .

(

^{A B}

)

^{BrotA ArotB}

div ∧ = . . − . .

( )

^{fA frotA A gradf}

rot . = . . − ∧

( ) ( )

(

^Bgrad

)

^A

A rot B

B grad A B rot A B A grad

. . .

. . . .

+

∧ +

+

∧

=

( ) ( ) ( )

(

^divA

) (

^{B Bgrad}

)

^A

B grad A A B div B A rot

. . .

. . .

+

−

−

=

∧

(

^gradf

)

^f

div =∆

0 .gradf= rot

(

^rot.A

)

⁼⁰

div

(

^rotA

)

^{grad.divA A}

rot = −∆

(

fg

)

=f∇g+g∇f

∇ . . .

( )

^{f A=f∇A+A∇f}

∇ . . .

(

^A∧B

)

^{=B∇∧A−A∇∧B}

∇ . .

( ) (

^{f A=f ∇∧A}

)

^−A∧∇f

∇ . . .

( ) ( ) ( )

(

^A

) ( )

^{B A}

B B A B A B A

∇ +

∧

∇

∧ +

∇ +

∧

∇

∧

=

∇

.

. .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{.AB B. A}

B . A A B . B A

∇ +

∇

−

∇

−

∇

=

∧

∧

∇

( )

^{∇f =∇ f =∆f}

∇ ²

=0

∇

∧

∇ f

( )

⁰

.∇∧ =

∇ A

(

^∇∧A

) ( )

^{=∇∇A−∆A}

∧

∇ .

Propriété du produit mixte :

(

^A∧B

) (

^{.C= C∧A}

) (

^{.B= B∧C}

)

^.A

Double produit vectoriel : ^A∧

(

^B∧C

) ( ) ( )

^{=B.A.C −C.A.B}

(

^∧

)

^{+ ∧}

(

^∧

)

^{+ ∧}

(

^∧

)

⁼⁰

∧ B C C A B B C A A

4 – Relations intégrales Théorème de Green-Ostrogradski :

∫∫

⁼

∫∫∫

S V

dV A div dS

A. .

où S est la surface fermée limitant V Théorème de Stokes-Ampère :

∫

⁼

∫∫

C S

dS A rot dM

A. . .

où S est la surface limitée par la courbe fermée C

Formule du gradient :

∫∫

⁼

∫∫∫

V S

dV f grad dS

f. .

Formule du rotationnel :

∫∫

^{∧ =}

∫∫∫

S V

dV A rot dS A

n . . .