Formes normales de champs de vecteurs

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To cite this version:

Patrick Bernard. Formes normales de champs de vecteurs . Gazette des Mathématiciens, Société Mathématique de France, 2016. �hal-01435605�

Formes normales de champs de vecteurs

• P.Bernard

Pour étudier la dynamique d’un champ de vec- teurs au voisinage d’un point fixe, il est naturel de chercher des coordonnées dans lesquelles ce champ a une expression aussi simple que possible.

On va décrire une méthode générale pour le faire qui remonte à Lindstedt (1854–1939), Poincaré (1854-1912), Dulac (1870-1955), Birkhoff (1884- 1944) et d’autres. On rappelle que tout champ de vecteurs se ramène à un champ constant dans les bonnes coordonnées au voisinage d’un point régu- lier (point non fixe). Du point de vue de l’étude locale, seuls les points fixes présentent donc une difficulté.

On s’intéresse aux champs de vecteurs de‘ⁿ qui sont définis etC^∞dans un voisinage de 0 et nuls en 0. On noteX cet espace de champs. On noteæ_∗Xl’action usuelle du difféomorphisme local æsur le champX:

æ_∗X(x) =dæ_æ−1(x)·X(æ⁻¹(x)),

c’est l’expression deXdans les nouvelles coordon- nées données paræ. On noteGle groupe des dif- féomorphismes locaux de‘ⁿen 0 qui fixent 0. Le groupeGpréserveX, c’est-à-dire queæ_∗X∈ X si X∈ X etæ∈ G. Pour tout champX∈ X, le flotï¹_Xau temps 1 est défini au voisinage de 0, c’est un élé- ment deG. L’une des opérations essentielles dans ce texte est le crochet de Lie [X,Y] des champs de vecteurs. Il est défini par

[X,Y](x) =dY_x·X(x)−dX_x·Y(x), et il est caractérisé par la propriété

D_[X,Y]=D_XD_Y−D_YD_X

en notantD_Xl’opérateur sur les fonctionsC^∞qui à la fonctionfassocie la fonctionx7−→df_x·X(x). Il est utile pour les applications de travailler avec des classes restreintes de champs de vecteurs. On se donne pour ceci une sous-algèbre de LieY1⊂gl(‘ⁿ) (l’espace des endomorphismes de‘ⁿ, muni du cro- chet de commutation), c’est-à-dire un sous-espace vectoriel stable par crochet de commutation. On considère alors le sous-espaceY ⊂ Xdes champs

Xtels quedX_x∈ Y1 pour toutxvoisin de 0. C’est une sous-algèbre de Lie deX, c’est-à-dire qu’il est stable par crochet de Lie.

Quelques exemples classiques sont les champs de divergence nulle, les champs holomorphes sur

‚ⁿ =‘²ⁿ, les champs Hamiltoniens sur‘²ⁿ (les champs de la formeX(x) =J∇H(x), oùJest la ma- trice de la multiplication paridans l’identification standard entre‘²ⁿet‚ⁿ, et oùHest une fonction).

On notera [X]^k le développement à l’ordre k du champX ∈ X en 0, [X]_k ouX_k le terme homo- gène de degrék de ce développement. On note Y^k:={[Y]^k,Y∈ Y}etYk:={[Y]_k,Y∈ Y}, ce sont les espaces de champs polynomiaux (resp. homogènes) de degrékqui appartiennent àY.

Dans la suite, nous dirons qu’une matrice est diagonalisable si elle est‚-diagonalisable (le terme semi-simple est aussi employé dans la littérature).

Toute matrice carréeAadmet une unique décom- position de JordanA=A_s+A_n, oùA_sest diagona- lisable (dans‚),A_nest nilpotente, etA_sA_n=A_nA_s. SiAest réelle,A_setA_nle sont aussi (maisA_sn’est pas forcément diagonalisable dans‘). Cette dé- composition est aussi appelée décomposition de Dunford.

Le but de ce texte est de discuter et de démon- trer en détails le résultat suivant, dit théorème de forme normale :

Théorème.Soit X∈ Y un champ de vecteurs de li- néarisé A. Considérons une matrice B qui est, soit la partie diagonalisable de A dans sa décomposi- tion de Jordan, soit une matrice qui a la propriété d’appartenir àY1et d’être l’adjointe de A pour un produit scalaire sur‘ⁿ. Il existe alors une suite Y_i,i >2d’éléments de Yi qui a la propriété que, pour tout k >2, le développement de Taylor de (ï¹_Y2+···+Yk)_∗X−A à l’ordre k commute avec B.

On verra que le champ (ï¹_Y2+···+Yk)_∗Xest un élé- ment deY.

Comme le champY₂+···+Y_kn’a pas de terme linéaire, le linéarisé de (ï¹_Y

2+···+Yk)_∗Xest égal au li- néarisé AdeX. Un champ de linéarisé Aest dit

mute avecB. Le théorème permet donc de mettre un champ de vecteurs sous forme normale à tout ordre par un changement de variables. Comme il y a plusieurs choix possibles pour la matriceB, il n’y a pas une unique notion de forme normale (mais, dans le cas oùAest diagonalisable, c’est en général le choixB =Aqui est fait).

L’utilité de ce théorème est d’autant plus grande que la condition de commuter avecB est restric- tive. Dans les meilleurs cas (voir ci-dessous), cette condition impose à la forme normale d’être linéaire ; dans les pires cas, par exemple siA= 0, (et donc B= 0), elle ne donne aucune information..

LorsqueY est l’ensemble des singularités de champs de vecteurs holomorphes sur ‚ⁿ, ce ré- sultat est appelé théorème de forme normale de Poincaré-Dulac. Dans ce cas, on interprète le linéa- riséAcomme une matricen×ncomplexe (et non comme une matrice 2n×2nréelle). La matricen×n complexeB est l’adjointe deAen tant qu’endomor- phisme de‘²ⁿpour un produit scalaire sur‘²ⁿsi et seulement si c’est l’adjointe deApour un produit hermitien sur‚ⁿ.

LorsqueY est l’ensemble des singularités de champs de vecteurs Hamiltoniens sur‘²ⁿ, ce ré- sultat est appelé théorème de forme normale de Poincaré-Birkhoff.

Les énoncés initiaux de ces théorèmes de formes normales n’avaient pas une forme aussi simi- laire que ceux que nous venons de donner. Dans le cas du théorème de Poincaré-Birkhoff, par exemple, les changements de variables canoniques (ceux qui préservent la structure Hamiltonienne des champs de vecteurs) n’étaient pas cherchés initialement comme flots de champs de vecteurs Hamiltoniens, comme ci-dessus, mais à l’aide de fonctions généra- trices. Ceci masquait partiellement l’analogie entre les deux énoncés. L’objectif du présent texte est justement de donner une présentation aussi uni- fiée que possible des différents résultats de forme normale.

C’est surtout le cas oùAest diagonalisable et B = A qui a été considéré au départ, ou le cas B =A_s. Les variantes oùB est l’adjoint deA, qui sont plus précises dans le cas non diagonalisable, mais aussi moins canoniques, sont plus récentes, voir [2] et ses références.

Pour interpréter la conclusion du théorème, il faut décrire les champs qui commutent avec B. On se contente ici de mentionner les cas les plus simples oùAest diagonalisable et oùB=A.

de Poincaré-Dulac, c’est-à-dire celui des champs de vecteurs holomorphes. SoientÝ₁, . . . , Ý_nles valeurs propres du linéariséA(interprété comme un élé- ment degl(‚ⁿ)). Une relation de résonance est une relation de la forme

Ý_i=m₁Ý₁+···+m_nÝ_n avecm_i∈et´

m_i>2. S’il n’existe aucune rela- tion de résonance entre les valeurs propres deA, alors tout champ polynomial commutant avecAest linéaire. La conclusion du théorème de forme nor- male dans ce cas est donc que pour toutkil existe un difféomorphisme holomorpheætel queæ_∗X=A à l’ordrek.

La condition de non résonance est toutefois trop restrictive, notamment dans le contexte de Poincaré-Birkhoff. Dans ce contexte,−Ýest une va- leur propre du linéarisé Adès queÝ en est une.

Il existe donc toujours des résonances du type Ý= 2Ý+ (−Ý). Le théorème de Poincaré-Birkhoff ne permet jamais de conjuguer un champ à son li- néarisé. Décrivons les formes normales dans le cas emblématique où les valeurs propres de linéariséA sont imaginaires pures, de la forme±ié_j,16j6n.

Ce choix correspond à l’étude denoscillateurs non linéaires couplés. Supposons qu’il n’y a pas d’autre résonance (de type Poincaré-Dulac) que celles qui sont inévitables, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de rela- tion non triviale de la forme

m₁é₁+···+m_né_n= 0

avecm_j∈™. Ces relations sont dites résonances de Poincaré-Birkhoff. On peut se ramener par un chan- gement de variables linéaires au cas oùA=J∇Q, avecQ=é1I₁+é2I₂+···+énI_n, oùI_j= (q_j+p_j)²/2.

Au vu de la condition de non résonance, un argu- ment de densité montre que tout champ qui com- mute avec A commute en fait avec chacun des champs linéairesA_j =J∇Ij. Les champs Hamilto- niens vérifiant cette condition sont ceux de la forme X =J∇Hoù H=f(I₁, . . . ,I_n). Ces champs ont une dynamique particulièrement simple, dite intégrable, au cours de laquelle les quantitésI_jsont préservées.

Dans le cas sans résonances de Poincaré-Birkhoff, le théorème de forme normale permet donc de conjuguer le champ de vecteur initial à une forme normale intégrable à un reste près d’ordre arbitrai- rement petit.

Pour illustrer le cas où An’est pas diagonali- sable, considérons un champ Hamiltonien sur‘² dont le linéarisé est donné par la matrice

A=

"

0 1 0 0

# .

Cette matrice est associée au HamiltonienH(q,p) = p²/2, en notant (q,p) les points de‘². On peut alors appliquer le théorème avec

B=

"

0 0 1 0

# .

Un champ Hamiltonien commute avecB si et seule- ment si son Hamiltonien est indépendant dep. Les formes normales dans ce contexte sont donc en- gendrées par les hamiltoniens de la formeH(q,p) = p²/2 +f(q) oùfest une fonction dont le développe- ment d’ordre 2 en 0 est nul. Au delà de la satisfac- tion de retrouver la forme d’un Hamiltonien clas- sique (énergie cinétique plus énergie potentielle), cette forme normale n’est pas d’une grande utilité dynamique car les systèmes Hamiltoniens sur‘² ont une structure assez simple pour être étudiés directement. Toutefois, il y a des variantes de cet exemple pour lesquelles la forme normale donne des informations décisives, comme la singularité dite 0²ié, voir [2].

L’énoncé général du théorème de forme nor- male soulève une autre question naturelle. Peut- on trouver un difféomorphismeæ∈ Gtel queæ_∗X commute avecB dans un voisinage de 0 ? Cette question donne lieu à de nombreux développements classiques et récents. La réponse est négative en général, ce qui traduit le fait que les propriétés dy- namiques particulières des champs sous forme nor- male (par exemple l’intégrabilité) ne sont pas tou- jours satisfaites par le champ de vecteurs initial.

Une des erreurs célèbres de Poincaré est d’avoir dans un premier temps négligé ce fait, voire [4].

Il existe malgré tout des cas où une telle conjugai- sonæexiste. Les méthodes algébriques que nous al- lons exposer pour démontrer le théorème de forme normale ne suffisent toutefois pas pour obtenir de telles conclusions. Une approche naturelle consiste à étudier la convergence de la sérieY₂+Y₃+···, ou celle de la série´[ï¹_Y2+···+Yk]_k.

Le livre [1], chapitre 5, est une bonne introdution à ces sujets, on peut aussi citer [3, 2].

Ce texte a profité de la relecture attentive et des suggestions profitables de Thomas Dedieu. Il a aussi profité des lumières en matière de formes

normales de Gérard Iooss et Éric Lombardi, de qui l’auteur tient l’essentiel de ses connaissances en la matière.

1.

Il est souvent pratique d’identifier un champ de vecteursXà la dérivationf7−→df·Xqu’il engendre sur l’espace des fonctionsC^∞. Quand on ne s’inté- resse qu’au développement de Taylor à l’ordrekde champs nuls en 0, on peut considérer une action sur l’espace de dimension finie

E^k=E₁⊕ ··· ⊕E_k

des polynômes de degré au plus k sans terme constant à valeurs réelles sur‘ⁿ, oùE_iest l’espace des polynômes homogènes de degréi. Tout champ de vecteursX∈ Xengendre un endomorphisme de E^k, noté XouX, donné parXP= [dP·X]^k, en notant [f]^kle développement de Taylor à l’ordrek defà l’origine. On fait aussi agir surE^kles difféo- morphismes locaux fixant l’origine en définissant æP = [P◦æ]^k. Pour tenter de limiter les confu- sions, on noterala composition dansgl(E^k). On remarque que (æ◦è)=èæsiæ, è∈ G(le groupe des difféomorphismes locaux de‘ⁿfixant l’origine).

Le développement à l’ordrek d’un champ de vecteurs ou d’un difféomorphisme est déterminé par son action sur E^k. En effet, pour „ ∈ E₁, on a X„ = [„◦X]^k = „◦[X]^k pour tout X ∈ X, et æ„= [„◦æ]^k=„◦[æ]^kpour toutæ∈ G.

On constate que

(æ_∗X)=æ⁻¹Xæ

c’est-à-dire que l’action deGsurXà l’ordreks’iden- tifie à une action par conjugaison. Le crochet de Lie s’identifie, sans surprise, au crochet de commuta- tion :

[X,Y]=XY −YX.

Prendre le flot est une exponentielle : (ï¹_X)= exp(X).

Pour le démontrer, on constate que_t(P◦ï^t_X) = (X ·P)◦ï^t_X pour tout P ∈ E^k, c’est-à-dire que

t(ï^t_X) =ï^t_XXdansgl(E^k). C’est l’équation qui définit exp(tX). On rappelle finalement la relation

Ad_expL= exp(ad_L)

pour toutL ∈ gl(E^k), en notant Ad_V ∈ GL(gl(E^k)) la conjugaison M 7−→ V⁻¹MV pour tout V ∈ GL(E^k) et en notant ad_L ∈ gl(gl(E^k)) l’opérateur

vérifier que_t(Ad_exptL) = ad_XAdexptL(composition dansgl(gl(E^k))).

On dit qu’un endomorphisme deE^kaugmente les degrés deds’il envoie chacun des sous-espaces E_i⊕. . .⊕E_k⊂E^ksurE_i+d⊕. . .⊕E_k(ce dernier sous- espace étant réduit à 0 lorsquei+d>k). Tout en- domorphisme qui augmente les degrés dekest nul.

L’endomorphismeXassocié à un champ homo- gène de degréd+ 1 augmente les degrés ded.

2.

On prouve le théorème de forme normale par récurrence surk>2. On fixe une matriceBcomme dans l’énoncé et on dit qu’un champ de vecteurs est sous forme normale à l’ordreksi sa partie non li- néaire commute avecBà l’ordrek. On suppose qu’il existe un champ de vecteursZ=Y₂+···+Y_k−1∈ Y, polynomial de degrék−1, tel que (ï¹_Z)_∗Xest sous forme normale à l’ordrek−1 (dans le cask= 2, on prendZ= 0). On montre alors l’existence d’un champ homogèneY_k∈ Yktel que (ï¹_Z+Yk)_∗Xest sous forme normale à l’ordrek. En représentant les ob- jets par des opérateurs surE^k, on a

(ï¹_Z)_∗X= Ad_expZ(X) = exp(ad_Z)(X).

Comme l’opérateur ad_Z préserve le sous-espace Y^k ⊂gl(E^k), il en est de même de expad_Z, donc Ad_expZ(X)∈ Y^k. On a donc (toujours dansgl(E^k))

(ï¹_Z)_∗X= Ad_expZ(X) =A+N+R_k

oùNest un champ polynomial sans terme linéaire de degré k−1 qui commute avec B et R_k ∈ Yk

est homogène de degré k. Pour tout Y_k ∈ Yk, on aZY_k=Y_kZ= 0 (car ces endomorphismes de E^kaugmentent le degré dek), donc exp(Z+Y_k) = expZexpY_kdansgl(E^k). On a les équations

exp(−Z−Y_k)Xexp(Z+Y_k)

=exp(−Yk)(A+N+R_k)exp(Y_k)

=A+N+R_k+AY_k−Y_kA.

Le champ (ï¹_Z+Yk)_∗X est sous forme normale à l’ordreksi et seulement si

ad_B

R_k+ ad_A(Y_k)

= 0.

La proposition ci-dessous implique que ad_B ◦ ad_A(Yk) = ad_B(Yk), et donc que cette équation a une solution Y_k. Ceci termine la preuve du théo- rème.

k B

Yk qui commutent avec B est un complémentaire dead_A(Yk)dansYk, c’est-à-dire que

Yk= (Yk∩kerad_B) + ad_A(Yk).

3.

Le but est maintenant de démontrer la proposi- tion utilisée ci-dessus dans la preuve du théorème de forme normale. On se place dans le cadre géné- ral d’un espace vectoriel réelEde dimension finie, on notegl(E) l’espace des endomorphismes deE et GL(E) le groupe des isomorphismes. Pour tout V ∈gl(E) on considère l’opérateur ad_V ∈gl(gl(E)) défini par

ad_V(M) :=VM−MV= [V,M].

On vérifie que ad_[V,W]= [ad_V,ad_W]. On s’intéresse au cas oùE =E^k etV =A. L’opérateur ad_V est alors appelé opérateur homologique.

Étant donné un produit scalaire surE, on munit gl(E) du produit scalaire tr (NM^t), oùM^test l’adjoint deMrelativement au produit scalaire deE. Ce pro- duit scalaire est aussi caractérisé par la propriété suivante : pour toute base orthonormée (e_i) deE, en notant (l_i) la base duale, les élémentse_i⊗l_j (c’est-à-dire les éléments degl(E) représentés dans la base (e_i) par une matrice ayant tous ses coeffi- cients égaux à zéro sauf un, qui est égal à 1) consti- tuent une base orthonormée degl(E).

Propriété.Si W est l’adjoint de V, alorsad_W est l’adjoint dead_V. Le noyau dead_W est donc un sup- plémentaire de l’image dead_V.

tr ((VN−NV)M^t) = tr (VNM^t−NVM^t)

= tr (NM^tV−NVM^t) = tr (N(WM)^t−N(MW)^t)

= tr (N(ad_WM)^t).

Un endomorphisme est dit normal s’il commute avec son adjoint. Tout endomorphisme normal est

‚-diagonalisable, et a le même noyau que son ad- joint. Dans le cadre réel, tout opérateur normal peut être représenté dans une base orthonormée par une matrice diagonale par blocs 1×1 ou 2×2 de la forme

"

a b

−b a

# .

Propriété.Si V est diagonalisable (dans‚), alors il existe un produit scalaire sur E (donc surgl(E)) pour lequelad_Vest normal. En notant W l’adjoint de V, on a donckerad_W= kerad_V.

SiV est diagonalisable (dans‚), il existe une base réelle dans laquelleVest représentée par une matrice diagonale par blocs 1×1 ou 2×2 de la forme

"

a b

−b a

#

. En considérant le produit scalaire surEpour lequel cette base est orthonormée, on voit queVcommute avec son adjointW. On a alors [ad_V,ad_W] = ad_[V,W]= 0, donc ad_Vest normal. L’en- domorphisme ad_Vest donc‚-diagonalisable, et il a le même noyau que son adjoint ad_W.

Plus généralement, on peut considérer la dé- composition de JordanV=V_s+V_ndeV.

Propriété.La décomposition de Jordan dead_Vest ad_V= ad_Vs+ ad_Vn.

On a vu que ad_Vs est‚-diagonalisable. On a [ad_Vs,ad_Vn] = ad_[Vs,Vn] = 0, donc il suffit de véri- fier que ad_Vnest nilpotent. Pour toutM∈gl(E), on voit que ad^l_Vn(M) est une combinaison linéaire d’élé- ments de la formeV_nⁱMV_n^javeci+j=l. En choisis- santktel queV_n^k= 0, ces termes sont tous nuls si l>2k, donc ad^2k_V

n= 0.

Propriété.Il existe un produit scalaire de E pour lequel l’adjoint W de V a la propriété suivante : tout endomorphisme qui commute avec W com- mute avec V_s.

La décomposition de Jordan de l’adjointWdeV estW=W_s+W_noùW_sest l’adjoint deV_setW_nce- lui deV_n. Il existe un produit scalaire pour lequelW_s commute avecV_s, ce qui implique que ad_Ws et ad_Vs ont le même noyau. Comme ad_W = ad_Ws+ ad_Wnest la décomposition de Jordan de ad_W, on a kerad_W ⊂ kerad_Ws= kerad_Vs.

La proposition à démontrer est une variante des résultats ci-dessus dans le cas oùE=E^k, oùV=A et où on s’intéresse à la restriction de ad_Vau sous- espace invariantYk⊂gl(E^k).

Lemme.Soitg⊂gl(E)un sous-espace invariant par ad_V.

Si W ∈gl(E)est l’adjoint de V pour un produit scalaire de E tel quead_W(g)⊂g, alorsg∩kerad_W est un supplémentaire dead_V(g)dansg.

Si W=V_sest la partie diagonalisable de V, alors g∩kerad_West transverse àad_V(g)dansg(c’est-à- dire quead_V(g) + (g∩kerad_W) =g).

On munitgl(E) du produit scalaire défini plus

haut, etgde sa restriction. Comme had_VM,Ni=hM,ad_WNi,

la restriction ad_W|gest l’adjointe de la restriction ad_V|g, donc kerad_W|g est un supplémentaire de l’image de ad_V|gdansg. Ceci démontre le premier point.

Concernant le second point, on rappelle d’abord que tout sous-espace invariant par ad_V (en par- ticulier g) est invariant par ses parties diagona- lisables et nilpotentes ad_Vs et ad_Vn. La réduction de Jordan de la restriction ad_V|gest donc ad_V|g= ad_Vs|g+ ad_Vn|g.

On considère un produit scalaire surEtel que V_s, et donc ad_Vs, sont normales, et donc tel que kerad_Ws = kerad_Vs, oùW_s est l’adjoint deV_s. Ad- mettons pour l’instant quegest invariant par ad_Ws. Il découle alors du premier cas queg∩kerad_Ws=g∩ kerad_Vsest un supplémentaire de ad_Vs(g) donc qu’il est transverse à ad_V(g) (on a en effet im ad_Vs|g⊂ im ad_V|gcar ad_Vs|gest la partie diagonalisable de ad_V|g).

Il reste à montrer que tout espace invariant par ad_Vs(doncg) est invariant par ad_Ws si ad_Vsest nor- male. Il suffit pour ceci de remarquer que adWs est un polynôme de ad_Vs. SoientÞi,16i6rles valeurs propres réelles de ad_Vs (listées sans multiplicité) et (Ý_i,ݯi),16i 6s les paires de valeurs propres complexes non réelles de ad_Vs. Par interpolation de Lagrange, il existe un unique polynôme complexe Pde degrér+ 2s−1 tel queP(Þ_i) =Þ_i,P(Ý_i) = ¯Ý_i, etP( ¯Ý_i) =Ý_i, et ce polynôme est réel. En posant Ýi=a_i+ib_i, (i²=−1) on constate que le polynômeP envoie chaque bloc

"

a_i b_i

−bi a_i

#

sur son transposé

"

a_i −bi

b_i a_i

#

, et donc queP(ad_Vs) = ad_Ws.

Il reste à vérifier qu’on peut appliquer le lemme ci-dessus avecW=B.

Lemme.Étant donné un produit scalaire sur‘ⁿ, il existe un produit scalaire sur E^ktel que, pour tout A∈gl(‘ⁿ), Best l’adjoint de A(où B est l’adjoint de A).

Si A=A_s+A_nest la décomposition de Jordan de A, alors A= (A_s)+ (A_n)est la décomposition de Jordan de A.

Les opérateursAetBpréservent chacun des termes de la décomposition

E^k=E₁⊕ ··· ⊕E_k

en composantes homogènes. Pour construire un

donc de le faire sur chacun des termes E_i. On a E₁= (‘ⁿ)^∗, et la restriction deAàE₁est l’adjointe deA,A„=„◦A. On utilise le produit scalaire sur‘ⁿ (celui pour lequelB est l’adjointe deA) pour identi- fier (‘ⁿ)^∗à‘ⁿ, et au moyen de cette identification, pour munirE₁ d’un produit scalaire. Notons„x la forme linéairehx, .i. On a alorsA„_x=„_x◦A=„_{B x}, et donc

hA„x, „yi=h„B x, „yi=hB x,yi=hAy,xi=hB„y, „xi, c’est-à-dire que (A)^∗=B.

L’espaceE_is’identifie à l’espace des formesi- linéaires symétriques sur‘ⁿ, et donc à un sous- espace de l’espace ⊗ⁱE₁ des formes i-linéaires sur‘ⁿ. L’endomorphismeAsurE_ise prolonge en un endomorphismeD_Ade⊗ⁱE₁par

D_A:m(x₁, . . . ,x_i)7−→m(Ax₁,x₂, . . . ,x_i)

+m(x₁,Ax₂, . . . ,x_i) +···+m(x₁, . . . ,Ax_i), qui est aussi caractérisé par la propriété

D_A(„₁⊗···⊗„i) =„1◦A⊗„2⊗···⊗„i+···+„₁⊗···⊗„i◦A.

On associe naturellement au produit scalaire surE₁ l’unique produit scalaire sur⊗ⁱE₁tel que

(„₁⊗ ··· ⊗„_i,l₁⊗ ··· ⊗l_i) = („₁,l₁)···(„_i,l_i).

On constate alors que (D_A)^∗=D_B. Comme les res- trictions A et B à E_i sont égales aux restric- tions de D_A et D_B à E_i ⊂ ⊗ⁱE₁, on a donc bien (A)^∗ =BdansE_i pour le produit scalaire induit.

Ce produit scalaire est présenté d’une façon diffé- rente dans [2], p. 97.

SiA=A_s+A_n est la décomposition de Jordan deA, alors [A_s,An] = 0 puisque [As,A_n] = 0. Il faut donc vérifier queA_sest diagonalisable (dans‚) et A_nnilpotente. Comme plus haut, on peut choisir un produit scalaire sur‘ⁿpour lequelA_scommute avec son adjointB_s. AlorsA_scommute avecB_s, qui est son adjoint pour le produit scalaire donné par la première partie du lemme. L’endomorphisme A_sest normal, donc diagonalisable.

Pour montrer queA_nest nilpotent, on consi- dère un monômeP(x) =m(x, . . . ,x) de degréj, oùm est une formej-linéaire symétrique. On a

(A_n)^rP(x) =¼

m(Aⁱn¹x,Aⁱn¹x, . . . ,Aⁱn^jx), où la somme est prise sur tous les multi-indices (i₁, . . . ,i_j) ∈ ^j vérifiant i₁+···+i_j = r. Comme (A_n)ⁿ= 0, on voit que (A_n)^rP= 0 pourr>j(n−1), et donc que (D_A^k_n)^r= 0 pourr>k(n−1).

4.

L’une des applications des formes normales est l’étude des bifurcations, c’est-à-dire des familles de champs de vecteursX_Ýdépendant d’un paramètre Ý∈Ë(qui peut être‘,‘ⁿou même un espace de Banach). On cherche dans ce contexte à réduire les champsX_Ýà des formes normales par des difféo- morphismes qui dépendent régulièrement deÝ. On suppose que chacun des champsX_Ýest nul en 0.

On fixe k, et on suppose que l’application Ý7−→ [X_Ý]^kà valeurs dans l’espace de dimension finieY^kestC^r,r>0. On noteA∈ Y1le linéarisé de X₀en 0, on choisit une matriceB comme dans le théorème de forme normale. On a alors :

Théorème.Il existe un champ de vecteurs Y_Ý^k∈ Y^k qui dépend deÝde manière C^r, tel que Y₀n’a pas de terme linéaire, et tel que(ï¹_Yk

Ý)_∗X_Ý−A commute avec B à l’ordre k pour toutÝproche de0.

Comme dans le cas sans paramètre, on fait la preuve par récurrence surk. Une fois que le champ Y_Ý^k−1 est construit,k>2, on obtient comme plus haut l’équation suivante pour le terme homogène Y_Ýde degrék:

ad_B(R_Ý) + ad_B◦ad_aÝ(Y_Ý) = 0,

où R_Ý est le terme homogène de degré k de (ï¹_Yk−1

Ý )_∗X_Ý,et oùa_Ýest son terme linéaire. L’hypo- thèse de récurrence implique quea_Ý etR_Ý sont C^r. Le choix deB implique que ad_B◦ad_A:Yk −→

ad_B(Yk) est surjective. On choisit un supplémen- taireKde son noyau de sorte que ad_B◦ad_A:K−→

ad_B(Yk) est un isomorphisme. Il en est donc de même de ad_B ◦ad_aÝ : K −→ ad_B(Yk) lorsque Ý est assez petit. On noteÚ_Ý : ad_B(Yk)−→K l’iso- morphisme inverse, il estC^k enÝ. On pose alors Y_Ý=−ÚÝ◦ad_B(R_Ý), qui estC^ret résout l’équation ci-dessus.

L’initialisationk= 1 demande un traitement spé- cifique. NotonsA_Ýle linéarisé deX_Ý. On veut mon- trer l’existence d’une familleC^rde matricesL_Ý∈ Y1, L₀= 0, telle que

(exp−LÝ)A_Ý(expL_Ý)−A

commute avecBpour toutÝproche de 0. SoitKun supplémentaire du noyau de ad_B◦ad_AdansY1. On