0.1 Champs scalaires et vectoriels

(1)

Cours VI :

Electromagnétisme

0 Annexe

0.1 Champs scalaires et vectoriels

Définition :

Un champ scalaire représente l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre).

C’est une fonction de 3 variables : m x y z( , , ) Exemple :

Température, altitude, pression…

Définition :

Un champ vectoriel représente l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (module et direction). C’est un ensemble de 3 fonctions (les composantes) chacune de 3 variables (les coordonnées) :

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z

A x y z a A x y z A x y z

 

 

  

 

 

Exemple :

Vitesse, accélération…

0.2 Les opérateurs différentiels

0.2.1 Le gradient 0.2.1.1 Définition Définition :

Le gradient permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ scalaire.

En coordonnées cartésiennes, il est donné par :

 

x y z

m m m

grad m e e e

x y z

 

  

   

                 

⁽¹⁾

Interprétation physique :

Le vecteur grad m

 

est normal aux surfaces de niveau (m = constante). Il est dirigé vers les valeurs croissantes de m.

Remarque :

La définition intrinsèque (indépendante du système de coordonnées) du gradient est :

 

dmgrad m dOM

(2)

En coordonnées cylindriques :

 

r ¹ z

m m m

grad m e e e

r r  ^ z

  

     

      

En coordonnées sphériques :

 

¹ ¹

r sin

m m m

grad m e e e

r r  ^ r   ^

 

  

   

        

0.2.1.2 Champ de gradient Définition :

Un champ de vecteur a est dit champ de gradient si il existe une fonction scalaire m telle que :

 

a grad m

m est appelé potentiel scalaire du champ a et est défini à une constante additive près.

Propriété :

Pour tout contour fermé, on a : a dl. 0







0.2.2 La divergence Définition :

La divergence permet de construire un champ scalaire à partir d’un champ de vecteur.

En coordonnées cartésiennes, elle est donnée par :

x

a

y z

a a

diva x y z

  

 

   

                 

⁽²⁾

Le signe de la divergence de acalculée au point M est lié au caractère convergent ou divergent des lignes de champs à partir de ce point.

La divergence représente le flux sortant localement par unité de volume.

Remarque :

En coordonnées cylindriques : 1 ra_r 1 a a_z

diva r r r z





   

   

        

2 2

sin

1 1 1

sin sin

r a a

diva r a

r r r

r

 



   



     

         

0.2.3 Le rotationnel 0.2.3.1 Définition Définition :

Le rotationnel permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ de vecteur.

y y

z x z x

x y z

a a

a a a a

rota e e e

y z z x x y

 

         

                       

⁽³⁾

Il exprime la tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point.

(3)

La projection du rotationnel sur un axe représente la circulation locale par unité d’aire autour de cet axe.

Exemple :

Dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'œil.

Le rotationnel du champ des vitesses V(r) d'un solide qui tourne à la vitesse angulaire Ω est dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct et vaut simplement 2Ω.

Moyen mnémotechnique :

Calcul de déterminant (coordonnées cartésiennes) :

x y z

e e e

rota x y z

a a a

  

   

Remarque :

En coordonnées cylindriques : 1 _z _r _z 1 1 _r

r z

a ra

a a a a

rota e e e

r z z r r r r

 

  

 

   

     

              

1 sin 1 1 1

sin sin

r r

r

a a a ra ra a

rota e e e

r r r r r

   

 



     

            

                 

0.2.3.2 Champ de rotationnel Définition :

Un champ de vecteur b est dit champ de rotationnel si il existe un vecteur atel que : brota a est appelé potentiel vecteur du champ b et est défini à un gradient près.

Propriété :

Pour toute surface fermée, on a : . 0

S

b dS



0.2.4 Le laplacien Définition :

Le laplacien permet de construire un champ scalaire à partir d’un champ scalaire.

2 2 2

m m m

m x y z

 

  

   

                  

⁽⁴⁾

Le laplacien permet aussi de construire un champ de vecteur à partir d’un champ de vecteur.



^x



^x

 

^y ^y

^{ }

^z ^z

a a e a e a e

      

(5)

(4)

L'équation de Laplace Δm = 0 traduit le fait que la solution V est toujours égale à sa moyenne prise sur un voisinage. Par exemple, la hauteur d'une membrane attachée par son bord satisfait l'équation de Laplace. Ceci traduit le fait que la hauteur de la membrane en un point est toujours égale à la moyenne des hauteurs sur un petit cercle centré en ce point.

Remarque :

En coordonnées cylindriques :

2 2 2

2 2 2 2

1 1

m m m m

m r r r r  z

         

           

2 2

2 2 2 2 2

2 1 1

sin sin sin

m m m m

m r r r r  r

 

  

            

           

0.2.5 Identités vectorielles

   

 

   

   

0 0 div grad m m div rota

rot grad m

rot rota grad diva a

 



  

(6)

0.2.6 Formules sur les opérateurs

Soit m et n deux champs scalaires et a et b deux champs de vecteurs :

     

     ^{ } 

     

     ^{ } 

grad mn mgrad n ngrad m div ma mdiv a grad m a div a b b rot a a rot b rot ma mrot a grad m a

 

  

    

  

0.2.7 L’opérateur Nabla Définition :

L’opérateur Nabla est donné par : . . .

x y z

e e e

x y z

 

  

   

      

Propriétés :

   

²

grad m  m diva  a rota  a   m m

0.3 Les théorèmes fondamentaux

Théorème de Green-Ostrogradsky :

Soit une surface fermée S limitant un volume fini V à l’intérieur duquel est défini un champ de vecteur a. Si les dérivées partielles de a sont bornées dans V alors :

S V

a ds  divadv

 

(5)

Théorème de Stokes :

Soit une surface ouverte S s’appuyant sur un contour fermé C dans une région de l’espace V où est défini un champ de vecteur a, alors :

C S

a dl  rota dS

 

0.4 Applications

De gauche à droite : - div = 0 et rot = 0 - div ≠ 0 et rot = 0 - div = 0 et rot ≠ 0 - div ≠ 0 et rot ≠ 0

0.1 Champs scalaires et vectoriels

Cours VI :

Electromagnétisme

0 Annexe

0.1 Champs scalaires et vectoriels

0.2 Les opérateurs différentiels

 

m m m

grad m e e e

x y z

 

  

   

                 

 

 

 

 

 



a

a a

diva x y z

  

 

   

                 

a a

a a a a

rota e e e

y z z x x y

 

         

                       



m m m

m x y z

 

  

   

                  





 

 

a a e a e a e

      

   

 

   

   

     

       

     

       

   

0.3 Les théorèmes fondamentaux

 

 

0.4 Applications

^{ }

     ^{ } 

     ^{ } 