Modélisation macro et micro-macro des matériaux polycristallins endommageables avec compressibilité induite

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polycristallins endommageables avec compressibilité induite

Mohamed Boudifa

To cite this version:

Mohamed Boudifa. Modélisation macro et micro-macro des matériaux polycristallins endommageables avec compressibilité induite. Matériaux. Université de Technologie de Troyes, 2006. Français. �tel- 00262103�

THESE

pour l’obtention du grade de

D OCTEUR de l’U NIVERSITE DE T ECHNOLOGIE DE T ROYES

Spécialité : SYSTEMES MECANIQUES ET MATERIAUX

présentée et soutenue par

Mohamed BOUDIFA

le 1er mars 2006

Modélisation macro et micro-macro des matériaux polycristallins endommageables avec compressibilité induite

JURY

Mr E. BUSSO PROFESSEUR Président Mr A. ABDUL-LATIF PROFESSEUR DES UNIVERSITES Rapporteur Mr D.J. CELENTANO PROFESSOR Rapporteur Mr J.-L. CHABOCHE DIRECTEUR DE RECHERCHE Examinateur Mr M. FRANCOIS PROFESSEUR DES UNIVERSITES Examinateur Mr K. SAANOUNI PROFESSEUR DES UNIVERSITES Directeur de thèse

Ce travail de thèse de Doctorat est un programme scientifique effectué au LAboratoire des Systèmes Mécaniques et d’Ingénierie Simultanée à l’Université de Technologie de Troyes (LASMIS/UTT).

Un cadre privilégié avec un financement du Conseil Régional Champagne-Ardennes (CRCM) a permis la réalisation de ce travail dans des conditions agréables.

Un grand merci a mon directeur de thèse Khémaïs Saanouni qui m’a inlassablement guidé et conseillé avec enthousiasme. Son soutien constant et sa confiance qu’il m’a accordés sont à l’origine de l’achèvement de ce travail.

Je tiens à remercier chaleureusement Jean-Louis Chaboche, concepteur de ‘la mécanique de l’endommagement continu’, pour son suivi et ses conseils. Au cours de ma thèse, outre les remarques pertinentes et les propositions très constructives, j’ai pu apprécié son dévouement et son attention qu’il a généreusement apporté à mon travail.

J’exprime ma reconnaissance à monsieur Akrum Abdul-Latif, professeur à l’université Paris 13, pour avoir accepté la responsabilité de rapporter sur mon mémoire. Je tiens à le remercier pour ses remarques constructives et son attention à l’égard de mon travail.

Je remercie monsieur Diego Xavier Celentano, professeur à l’université de Santiago en Chili, qui a accépté de rapporter sur mon travail. Je le remercie d’avoir examiné ce travail avec tant d’intérêt et d’attention.

Je remercie monsieur Esteban Busso, directeur du centre des matériaux de l’école des mines de Paris, pour m’avoir fait le plaisir de présider le jury de thèse.

Un grand merci à Manuel François, docteur ingénieur de l’ensam, professeur à l’UTT, d’avoir participer à mon jury de thèse et de m’avoir fait partager ses connaissances durant ma thèse.

Je remercie l’ensemble de mes collègues ainsi que tout le personnel du LASMIS, anciens et nouveaux, Nabil, Mourad, Jean-François, Guillaume, Philippe, Olivier, Julien, Amine, Achraf, Ilyes, Houssem, Pierre, Choumad, Sébastien, notre ingénieur info Laurent, Jérôme, Lionel, Emmanuelle, Delphine, merci à Arjen pour l’aide et la maintenance de Zébulon, à Hakim pour son soutien, Xia-lu, Houman, Carl …

Je tiens à remercier ma femme de m’avoir encouragé et supporté durant ces années de préparation de thèse.

Un dernier merci si ce n’est le premier revient évidemment à mes parents qui m’ont fait confiance et encouragé dans mes projets.

Introduction Générale ...- 7 -

I. Modélisation du comportement élastoplastique couplé à l’endommagement...- 13 -

I.1 Introduction--- 14 -

I.2 Modélisation macroscopique --- 15 -

I.2.1 Principaux mécanismes de rupture ductile... - 15 -

I.2.2 Modèles de type Gurson... - 16 -

I.2.3 Modèle d’endommagement macroscopique avec l’approche CDM... - 20 -

I.2.3.1 Variables d’état... - 22 -

I.2.3.2 Potentiel d’état- Relations d’état... - 24 -

I.2.3.3 Analyse des dissipations... - 25 -

I.2.3.4 Formulation du modèle macroscopique avec compressibilité induite... - 27 -

a) Cas de la plasticité indépendante du temps ... - 32 -

b) Cas de la Viscoplasticité... - 34 -

c) Comparaison avec le modèle de Gurson ... - 34 -

d) Résumé des équation du modèle... - 35 -

I.2.4 Généralisation aux transformations finies... - 36 -

I.3 Modélisation micro-macro--- 41 -

I.3.1 Principe de la modélisation micro-macro... - 41 -

I.3.2 Description des étapes de la méthode micro-macro... - 42 -

I.3.2.1 Définition de l’EVR... - 43 -

I.3.2.2 Règles de localisation... - 46 -

a) Localisation du polycristal au monocristal ... - 46 -

b) Localisation du monocristal aux systèmes de glissement cristallins... - 52 -

I.3.2.3 Etape de modélisation du comportement à l’échelle du grain... - 53 -

I.3.2.3.1 Approche de modélisation des monocristaux... - 54 -

a) Approches quasi-physique... - 54 -

b) Approches phénoménologiques ... - 55 -

I.3.2.3.2 Approche phénoménologique à variables internes... - 57 -

I.3.2.4 Etape d’homogénéisation... - 58 -

I.3.3 Modélisation du comportement micro-macro couplé à l’endommagement... - 59 -

I.3.3.1 Choix des variables d’état... - 62 -

I.3.3.2 Potentiel d’état – Relations d’état... - 64 -

I.3.3.3 Relations complémentaires... - 67 -

I.3.3.4 Homogénéisation... - 70 -

I.3.3.5 Généralisation aux transformations finies... - 73 -

I.4 Conclusion --- 75 -

II. Modélisation numérique et étude paramétrique des modèles ...- 77 -

II.1 Introduction--- 78 -

II.2 Principe de la résolution--- 78 -

II.2.1 Pose du problème... - 78 -

II.2.1 Forme variationnelle faible : le PPV... - 80 -

II.2.3 Discrétisation de la forme faible... - 81 -

II.3 Méthodes incrémentales de résolution --- 84 -

II.3.1 Schéma statique implicite... - 84 -

II.3.2 Schéma dynamique explicite (DE)... - 90 -

II.3.3 Le comportement du matériau dans la méthode des éléments finis... - 92 -

II.4 Intégration numérique des modèles de comportement --- 93 -

II.4.1 Intégration des équations du modèle macroscopique... - 97 -

II.4.1.1 Intégration avec la θ-méthode... - 97 -

II.4.1.2 Expression de l’opérateur tangent consistant... - 101 -

II.4.2 Intégration des équations du modèle micro-macro... - 104 -

II.4.2.1 Description numérique de l’EVR... - 105 -

II.4.2.2 Intégration avec la méthode Runge-kutta... - 107 -

II.5.1 Etude paramétrique du modèle macroscopique... - 109 -

II.5.2 Etude paramétrique du modèle micro-macro... - 116 -

II.6 Conclusion --- - 123 -

III. Applications des modèles ...- 125 -

III.1 Introduction--- - 126 -

III.2 Application du modèle macroscopique--- - 126 -

III.2.1 Essai de traction avec les modèles macroscopiques... - 126 -

III.2.1.1 Etude du modèle à couplage fort MAC1... - 127 -

a) Effet de la taille de maillage ...- 130 -

b) Effet de la géométrie de l’éprouvette ...- 134 -

III.2.1.2 Comparaison des modèles MAC1, MAC2 et GUR... - 136 -

III.2.2 Comparaison des modèles sur un procédé de découpage... - 146 -

III.2.2.1. Description du procédé... - 147 -

III.2.2.2. Résultats de simulation du procédé et comparaison des modèles... - 148 -

III.3 Application du modèle micro-macro--- - 155 -

III.3.1 Essai de traction... - 155 -

III.3.1.1 Agrégat de 24 grains... - 156 -

a) Analyse des réponses à l’échelle macroscopique ...- 156 -

b) Analyse locale des résultats...- 159 -

III.3.1.2 Agrégat de 40 grains... - 163 -

a) Analyse des résultats à l’échelle macroscopique ...- 163 -

b) Analyse locale des résultats...- 167 -

III.3.2 Comparaison des modèles macro et micro-macro sur un procédé d’emboutissage- 169 - III.3.2.1 Description du procédé... - 170 -

III.3.2.2 Résultats de l’essai d’emboutissage avec les modèles macro et micro-macro. - 171 - III.4 Conclusion--- - 177 -

Conclusion Générale...- 179 -

Annexes ...- 183 -

Annexe A1 Résolution du problème d’Eshelby ...- 184 -

A1.1 Définition problème d’Eshelby --- - 184 -

A1.2 Mise en équation et résolution du problème d’Eshelby --- - 184 -

A1.3 Résolution du problème d’inclusion ellipsoïdale--- - 186 -

Annexe A2 Intégration numérique du modèle macroscopique...- 189 -

A2.1 Rappel des relations d’état--- - 189 -

A2.3 Discrétisation du système d’EDO --- - 189 -

A2.4 Calcul des composantes du Jacobien

[

]

Annexe A3 Algorithme d’intégration numérique du modèle micro-macro...- 206 -

A3.1 Algorithme d’intégration du modèle micro macro --- - 206 -

A3.2 Définition des angles d’Euler pour les deux agrégat 24 et 40 grains --- - 209 -

Bibliographie ...- 211 -

A l’heure actuelle, l’industrie mécanique est de plus en plus soumise à des exigences de réduction des coûts. Ainsi, le temps de mise sur le marché des produits est sujet à de fortes réductions durant ces dernières décennies. C’est ainsi que des industries comme la construction automobile, aéronautique, nucléaire …etc ont abandonné l’organisation ‘séquentielle’ au profit d’une organisation ‘collaborative’ de développement des produits. Dans l’organisation collaborative, le produit est une maquette numérique placée su centre de l’entreprise. Chaque service intervient sur cette maquette selon ses compétences et ses besoins afin d’y apporter les modifications nécessaires. Toutes ces modifications sont gérées plus ou moins automatiquement sous la responsabilité du chef de projet. Une telle organisation de production virtuelle n’est possible que grâce à l’utilisation massive d’outils numériques à tous les niveaux. En effet, outre la CAO pour représenter les systèmes mécaniques avec tous ses composants et ses fonctionnalités, on doit recourir à la simulation numérique des critères de résistance, de forme, de poids, de fabrication etc … que doit vérifier chaque composant du système. En particulier, la simulation de la résistance d’un composant mécanique, l’optimisation de sa forme géométrique ou même la simulation de son procédé de fabrication sont devenus incontournables lors de la conception intégrée.

Ces simulations numériques reposent sur l’utilisation de trois types de modélisation :

A. Modélisation mécanique : Il s’agit de modéliser, le plus finement possible les principaux phénomènes physiques (thermo-mécanique, …) qui influencent le comportement et la résistance des matériaux utilisés. Ces modélisations se font majoritairement par deux approches complémentaires :

- Approches macroscopiques dans les quelles la plus faible échelle de description est l’élément de volume représentatif (EVR) ou point matériel.

- Approches micro-macro dans lesquelles on ‘descend’ à des échelles inférieures (grains cristallins, systèmes de glissement, dislocations, …) grâce à une démarche de localisation pour modéliser chaque phénomène à une échelle pertinente. Une démarche

d’homogénéisation permet de remonter les quantités microscopiques de proche en proche jusqu’au niveau macroscopique de l’EVR afin de déterminer la réponse recherchée.

Quelque soit la méthode de modélisation on abouti à des équations différentielles ordinaire (ODE) fortement non linéaires qui décrivent l’ensemble des phénomènes compte tenu de leurs différents couplages.

B. Modélisation numérique : Les équations qui gouvernent les phénomènes physiques dans un solide (équations d’équilibre, de la chaleur, …) sont en général des équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) fortement non linéaires et fortement couplées. Leur résolution passe par une double discrétisation : spatiale par éléments finis (EF) par exemple et temporelle par différences finis (DF). Cela nécessite donc l’obtention de formes

‘variationnelles’ faibles associées aux EDP qu’il convient de linéariser sur chaque incrément de temps afin de les résoudre grâce à des schémas implicites ou explicites itératifs ou non itératifs. De plus sur chaque incrément de temps il est utile de résoudre les EDO afin d’obtenir l’ensemble des variable en fin d’incrément.

C. Modélisation géométrique : A part les outils standards de CAO utilisés pour extraire chaque composant des systèmes mécaniques, il convient de disposer d’algorithme géométriques pour :

- générer le maillage (discrétisation spatiale) initiale de la pièce

- adapter le maillage à la distribution des champs et/ou aux variations géométriques de la pièce au cours de sa déformation. Ces adaptations se font sur la base d’estimateurs d’erreurs à priori ou à posteriori.

Depuis sa fondation il y a une dizaine d’années, notre laboratoire (l’équipe axe2 du LAboratoire de Simulation Mécanique et d’Ingénierie Simultanée LASMIS) travaille sur ces problématiques de modélisation théorique, numérique et géométrique pour les besoins de la simulation numérique en mécanique. L’objectif est de mettre au point des méthodologies complètes de calcul des structures pour :

- Calculer une structure mécanique dans le but de prévoir sa déformation ou sa durée de vie.

- Simuler numériquement un procédé de fabrication dans le but de « l’optimiser » ; et ce compte tenu des couplages multi-physiques, en particulier, l’effet de l’endommagement sur les autres champs mécaniques.

C’est ainsi que les cinq premières thèses soutenues dans le cadre de l’axe 2 du LASMIS se sont

intéressées aux modèles macroscopiques phénoménologiques avec couplage fort entre le comportement thermo-élasto-(visco)plastique, l’endommagement ductile et le contact-frottement.

Dans ce travail de thèse, nous apportons une contribution à cet effort de développement, en proposant une modélisation du couplage comportement endommagement dans le cadre des deux approches : macroscopique et micro-macro. L’objectif principal est de rendre compte de la variation de volume qui accompagne souvent le développement de l’endommagement ductile deans les matériaux métalliques. Ceci devrait conduire à rapprocher les modèles de type CDM, incompressible, aux modèles de type Gurson, qui rendent compte de la compressibilité plastique induite par la fraction volumique des cavités.

Pour l’approche macro nous sommes parti de la modélisation déjà réalisée dans le cadre des thèses précédentes ([HAM 00], [MAR 03], [LES 03], [KHE 04] et [BEL 04]) et nous avons cherché d’y inclure l’effet d’une variation de volume induite par l’endommagement sur la déformation plastique.

Pour l’approche micor-macro, nous sommes partie d’une modélisation micro-macro de la plasticité cristalline avec endommagement proposée par Abdul-Latif et Saanouni et al. [ABD 94], dans laquelle nous avons décrit :

- La notion de rupture ductile d’un EVR polycristallin,

- La compressibilité plastique induite par un endommagement ductile trans-granulaire.

Dans le premier chapitre on présente le principe de la Mécanique de l’Endommagement Continu après avoir brièvement exposé la modélisation de type Gurson. Dans un premier temps, nous présentons un nouveau modèle CDM macroscopique phénoménologique avec compressibilité plastique induite par l’endommagement. Dans le même esprit, un modèle multi- échelles (micro-macro) est présenté pour les matériaux métalliques polycristallins. La notion de milieu effectif équivalent est exploitée pour modéliser le comportement inter et intra-granulaire sur la base d’un modèle phénoménologique de plasticité cristalline avec un critère de Schmid modifié. L’originalité du modèle présenté réside dans le fait de récupérer une déformation plastique macroscopique hydrostatique. Ceci a été possible grâce à l’introduction d’une variable d’endommagement granulaire associée à la contrainte normale dans un système de glissement cristallagraphique.

Le deuxième chapitre est consacré à la résolution numérique du problème aux valeurs initiales et aux limites associé aux deux approches de modélisation utilisées : macro et micro-macro. On commence par présenter brièvement la formulation variationnelle faible et sa discrétisation spatiale par EF et temporelle par différences finies. On présente ensuite sa linéarisation et sa

résolution soit par une méthode itérative implicite (statique implicite) soit par un schéma dynamique explicite. Une attention particulière est accordée à l’intégration locale des équations de comportement relatives aussi bien à l’approche macro qu’à l’approche micro-macro. ce chapitre se termine par une validation numérique de l’intégration des deux modèles sur des exemples simples (étude paramétrique numérique).

Le dernier chapitre est consacré à des applications visant à montrer les potentialités prédictives des deux modèles e égard à la prévision des modes de localisation des zones endommagées ainsi qu’à la prévision des réponses locales et globales de chaque modèle.

Pour le modèle macro l’essai de traction est largement utilisé pour comparer les différentes variantes des modèles. Un procédé de poinçonnage de tôles minces est enfin traité pour confronter les modélisations sur un exemple plus complexe.

Le modèle micro-macro est également étudié en détail sur un essai de traction en utilisant deux agrégats différents. Enfin un procédé d’emboutissage de tôle est traité avec le plus petit agrégat et les résultats seront confrontés au modèle macro.

Une conclusion générale et des perspectives clôturent le document en donnant l’ensemble des résultats obtenus ainsi que les principaux aspects qu’il convient de continuer à développer.

couplé à l’endommagement

I.1 Introduction

Depuis les années 80, le développement de modèles de comportement des matériaux a connu un essor considérable. La grande diversité des matériaux réels et la nécessité de décrire les mécanismes physiques, à l’origine des divers comportements, se traduit par l’existence d’une multitude de modèles de comportement.

La modélisation du comportement mécanique en plasticité des matériaux constitue une étape essentielle en calcul et modélisation des structures en général et de la mise en forme par déformation plastique, en particulier. Les modèles ont pour but de rendre compte du comportement intrinsèque du matériau afin d’augmenter la crédibilité des résultats de simulation numérique. La complexité du comportement plastique provient du fait qu’il dépend très fortement de l’histoire thermomécanique du matériau et de son incidence sur la composition microstructurale de chaque matériau. Un modèle de comportement doit prendre en compte l’ensemble des phénomènes microstructuraux significatifs et prévoir des réponses adéquates à des sollicitations variées. Les sollicitations thermomécaniques sévères sont souvent à l’origine d’importantes déformations irréversibles (ou inélastiques), en particulier, en mise en forme de composants mécaniques où les pièces subissent de très grandes déformations. Ces déformations

‘irréversibles’ sont souvent accompagnées d’une modification de la microstructure plus ou moins importante à cause de la nature hétérogène et impure de la microstructure. Ces modifications microstructurales conduisent souvent à la germination de micro-défauts autour des inclusions (seconde phase, précipité, …), puis à leur croissance en fonction du champs des contraintes locales. Ces mécanismes de germination, croissance et coalescence conduisent souvent à la formation de défauts macroscopiques.

La prise en compte de cet endommagement dans la simulation des procédés est donc essentielle et permet de rendre compte de la dégradation éventuelle du matériau au cours de la déformation. Deux concepts de modélisation caractérisent les développements actuels :

- La première dite « déductive », cherche à prendre en compte la microstructure du matériau en vue de déterminer ses propriétés macroscopiques à partir de la connaissance des propriétés microscopiques aux échelles inférieures. Les matériaux métalliques sont essentiellement des polycristaux définis comme un agrégat de grains d’orientations cristallographiques différentes.

Cette approche tente de modéliser les hétérogénéités locales en vue de mieux prévoir le comportement.

- L’approche dite « inductive », cherche à caractériser globalement le comportement d’un

élément de volume représentatif, faisant abstraction de la structure fine du matériau. Il s’agit de déterminer les relations de cause à effet qui existent entre les variables représentant les phénomènes étudiés. Elle s’appuie sur des justifications phénoménologiques des échelles inférieures pour conduire à des réponses globales adéquates. La mécanique de l’endommagement continu (Continuum Damage Mechanics CDM) est l’une de ces approches pour le cas des solides endommageables.

Dans cette partie, nous présentons pour chacune de ces deux approches une modélisation appropriée qui permet de décrire les principaux phénomènes physiques : plasticité, écrouissage et endommagement. Une attention particulière est accordée au couplage entre les différents phénomènes et ainsi qu’à la compressibilité induite par l’endommagement. Nous rappelons les équations de base du modèle de Gurson. Nous présentons ensuite différentes nouvelles formulations avec déformation plastique volumique dans le cadre l’approche CDM. Nous commençons par présenter une modélisation purement macroscopique avec différentes options pour le couplage avec l’endommagement. Enfin, nous tentons de transposer ces concepts de rupture ductile dans une approche ‘micro-macro’ à plusieurs échelles.

I.2 Modélisation macroscopique

I.2.1 Principaux mécanismes de rupture ductile

Il est aujourd’hui bien admis que le processus qui conduit à la rupture des matériaux ductiles caractérisés par des déformations plastiques importantes peut être décomposé en trois étapes principales schématisées sur la (Figure I.1) :

• La nucléation : Dans un premier temps des cavités se forment par décohésion ou par rupture des précipités durs ou d’inclusions (seconde phase).

• La croissance : Dans un second temps ces cavités croissent par déformation plastique de la matrice qui entoure les cavités. En général, cette croissance s’accompagne d’un changement de volume et d’un changement de forme des cavités.

• La coalescence : Enfin, dans un troisième temps, certaines cavités coalescent pour former une macrofissure induisant ainsi l’amorçage d’une fissure macroscopique.

Etat initial Nucléation Croissance Coalescence

Figure I.1 Les étapes de la rupture ductile

Ces phénomènes peuvent être étudiés et représentés à différentes échelles. L’échelle microscopique est inférieure à celle du constituant principal qu’est généralement le monocristal dans le cas des matériaux métalliques. Elle peut être celle des systèmes de glissement, des dislocations ou des atomes, dans la limite de validité des concepts de la mécanique des milieux continus. L’échelle macroscopique est nécessairement celle de l’élément de volume représentatif (EVR) représentant un point matériel dans lequel on cherche à décrire le comportement macroscopique du matériau.

Il existe actuellement deux principales méthodologies pour la modélisation de l’endommagement ductile des matériaux :

• Les modèles de type Gurson [GUR 77], qui sont basés sur une analyse physique de la croissance des cavités, et sont largement utilisés en modélisation de la rupture ductile ([TVE 90], [ROU 87], [BES 01] entre autres).

• La mécanique de l’endommagement continu (CDM) s’est largement développée à partir des concepts initialement introduits par Kachanov [KAC 58] puis Rabotnov [RAB 69]. A l’instar des travaux de Lemaître et Chaboche [LEM 78], les modèles d’endommagement ductile développés actuellement s’inspirent du formalisme thermodynamique proposé par Chaboche ([CHA 78], [LEM 90]).

I.2.2 Modèles de type Gurson

Le modèle d’endommagement ductile de Gurson est le premier modèle basé sur des aspects physiques, introduisant une interaction entre la déformation plastique et la croissance des cavités introduite par Rice et Tracey [RIC 69].

Plusieurs travaux ont étendu ces modèles pour décrire certains phénomènes physiques particuliers, sans que la forme du critère soit fondamentalement remise en cause. L’une des versions les plus célèbre de ces modèles est le modèle GTN (Tvergaard et Needleman [TVE 84]),

qui traite les étapes de nucléation, de croissance et de coalescence des cavités. Le fait commun entre ces différentes modélisations est l’utilisation d’un potentiel plastique unique

‘macroscopique’. Il s’agit d’une fonction combinant le premier et le deuxième invariant des contraintes (contrainte hydrostatique et contrainte de Von Mises) variant avec la porosité (fraction volumique des cavités). De ce fait, la propriété remarquable de ce type de modèles est la description d’une composante volumique pour la déformation plastique induite par la croissance des cavités. L’évolution de la fraction volumique des cavités f pour chacune des trois étapes est obtenue en fonction des mécanismes caractéristiques. L’écriture originelle du modèle de Gurson est faite en petites perturbations, néanmoins, on retrouve des versions grandes déformations obéissant au principe d’objectivité (Ladevèze [LAD 80], Pardoen et Besson [PAR 04]).

Dans une approche thermodynamique, le modèle de Rousselier ([ROU 87], [ROU 01]) ainsi que celui de Gelin [GEL 83] rentrent dans le même cadre des modèles précédents, où l’endommagement est décrit principalement par la porosité. Ces modèles sont formulés en grandes déformations, utilisant la masse volumique dans les potentiels d’état et des dissipations de façon explicite. L’endommagement est décrit par une diminution de la densité du matériau et ne prend pas en compte la phase de coalescence.

La prise en compte de l’anisotropie de l’endommagement est plutôt complexe. Leblond- Gologanu [GOL 94] ont introduit cet effet en utilisant des paramètres de changement de forme pour les cavités, voir aussi (Benzerga et al. [BEN 99], Pardoen et Hutchinson [PAR 00], Siruguet et Leblond [SIR 04]). La difficulté surgit pour les trajets de chargement complexes pour lesquels l’évolution de la fraction volumique doit être formulée dans les axes principaux de la cavité ellipsoïdale actuelle.

L’endommagement est mesuré par la porosité f définie par le rapport de la fraction volumique des cavités P par le volume total de l’EVR V :

f P

= V (I.1.1)

En dérivant il vient

P V

f f

V V

= − (I.1.2)

Lorsque la matrice est incompressible on a V = P , et il vient :

(1 )

f V f

= V − (I.1.3)

Sachant que le taux de variation du volume de l’EVR est donné par : V ( )

V = tr ε (I.1.4)

il vient, compte tenu de (I.1.3) :

(1 ) ( )

f = −f tr ε (I.1.5)

L’élaboration du critère de Gurson s’effectue par homogénéisation des potentiels microscopiques écrits en contrainte ψ σ( ) ou en déformation ϕ ε( ). Les potentiels macroscopiques définis en contrainte macroscopique Ψ

(

)

(

)

( )

Ψ f,∑ = ou φ( f E, )= ϕ ε( ) (I.1.6)

La démonstration mathématique est plutôt complexe, Gologanu, Leblond et Perrin [GOL 95] et [PER 92]) ont proposé une démarche plus améliorée que celle donnée à l’origine par Gurson [GUR 77]. Le résultat final est une estimation de la fonction de charge traduisant le critère de Gurson qui s’écrit à l’échelle macroscopique :

( )

2

3 2

, 2 cosh 1 0

2

eq H

y y

F ∑ f =⎛⎜⎜⎜⎝∑∑ ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ + f ⎛⎜⎜⎜⎝ ∑∑ ⎞⎟⎟⎟⎟⎠− −f = (I.1.7)

où ∑_yest la limite élastique, ∑_eq est la contrainte équivalente de Von Mises, et ∑_H est la contrainte hydrostatique de la matrice. Le taux de déformation plastique est dérivé de la règle de normalité :

' 2

tr( )

3 sinh 1

p

y y

y

F f

E =λ∂ ∑∂ =λ⎡⎢⎢⎣ ∑∑ + ∑ ⎛⎜⎜⎜⎝ ∑∑ ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⎤⎥⎥⎦ (I.1.8) On obtient donc une composante volumique de la déformation plastique pour une porosité f et

une contrainte hydrostatique ∑_H non nulles.

Plusieurs modifications ont été apportées au critère de Gurson à l’exemple de la version GTN proposée par Tvergaard et Needleman ([TVE 84], [TVE 90b]), le potentiel d’écoulement est écrit

sous la forme :

( )

2 * 2 * 2

1 1

tr( )

2 cosh 1 0

2

eq

y y

F =⎛⎜⎜⎜⎝∑∑ ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ + q f ⎛⎜⎜⎜⎝q ∑∑ ⎞⎟⎟⎟⎟⎠− − q f = (I.1.9)

Le critère fait intervenir la porosité effective f f^*( ), représentant la croissance accélérée de la porosité au voisinage de la coalescence. L’amorçage de la coalescence des cavités a lieu lorsque la porosité ‘vraie’ f atteint une certaine valeur critique f_c :

( ₁ )^{( )}( )

*

1

c

c q c c F f c

f si f f

f f f f f f f si f f

⎧⎪⎪ <

= ⎨⎪⎪⎩ + − − − ≥ (I.1.10)

Les paramètres supplémentaires q1 et q2 ont été introduits afin d’ajuster le modèle avec des prévisions de localisation de l’endommagement effectuées par éléments finis, voir [BOR 01]. fF

étant la valeur de la porosité vraie pour laquelle la rupture se déclanche (ce qu’on peut interpréter comme la fin de la coalescence). La ruine totale de l’EVR se produit lorsque f^* = _q¹₁ (alors

f = fF ).

Outre l’introduction de la notion de porosité effective, l’évolution de la porosité vraie fait intervenir une partie pour la contribution de la nucléation notée f_n :

n g

f = f +f (I.1.11)

On trouve dans la littérature différents modèles pour la définition de la nucléation : Chu et Needleman [CHU 80] ont proposé un modèle regroupant les deux sources principales de nucléation qui sont : i) la création de cavités provenant de la décohésion aux interfaces d’inclusions de seconde phase ou d’inclusion-matrice, pilotée par la composante hydrostatique de la contrainte macroscopique. ii) au sein de la matrice, lorsque la déformation atteint une déformation limite, il peut y avoir germination de cavités pilotées par la déformation plastique moyenne de la matrice. La forme proposée par les auteurs est la suivante :

(

)

n m

f =B ∑ +σ +DE (I.1.12) où B et D traduisent l’influence de la contrainte hydrostatique macroscopique et de la

déformation plastique moyenne de la matrice, respectivement. Cependant, la contribution la plus importante est celle de la croissance des cavités existantes, obtenues à partir de la conservation de la masse (I.1.5) en passant par l’hypothèse de plasticité parfaite de la matrice : fg =⁽¹−f Tr E^{) ( p)}. Sauf mention contraire, dans la suite du texte nous utiliserons ^σ et ^ε pour désigner les

contraintes et les déformations macroscopiques pour les modèles purement macroscopiques.

I.2.3 Modèle d’endommagement macroscopique avec l’approche CDM

Dans cette approche, l’endommagement est décrit par une variable d’état (au sens thermodynamique) affectant les comportements élastique et plastique à travers la notion de

‘variables effectives’, basée soit sur le principe d’équivalence en déformation [CHA 77] soit sur le principe d’équivalence en énergie ([COR 79], [SAA 94]).

L’évolution de l’endommagement est décrite en fonction du taux de restitution de l’énergie, qui contient les effets de triaxialité pour la rupture ductile [LEM 86]. Dans la théorie initiale [CHA 77], le potentiel d’état n’est affecté que dans sa partie élastique, à l’inverse, Cordebois et Sidoroff [COR 79] ont proposé d’introduire un terme supplémentaire dans le potentiel d’état pour décrire l’évolution de l’endommagement. Une approche intermédiaire suivie par Saanouni [SAA 88] est de réaliser le couplage avec l’élasticité et l’écrouissage par la même variable d’endommagement. Dans ce cas, la force thermodynamique motrice de l’endommagement est modifiée et comporte un terme d’énergie élastique et un deuxième terme pour l’énergie plastique. C’est cette approche qui est actuellement la plus employé où l’EVR atteint sa rupture lorsque l’endommagement atteint sa valeur critique ^{D 1}([CHA 92]).

L’endommagement anisotrope a été pris en compte par différentes manières en utilisant des tenseurs d’ordre deux (Murakami et Ohno [MUR 80]), (Chow et Wang [CHO 87]), Voyiadjis et Kattan [VOY 99] et Lemaître et al. [LEM 00], ou des tenseur d’ordre quatre [CHA 79].

Certaines théories ont été développées depuis en utilisant directement le tenseur d’élasticité comme variable d’état associée à l’endommagement (Ortiz [ORT 85]) et Simo et Ju [SIM 87]).

La prise en compte des effets de désactivation de l’endommagement (Ladevèze et Lemaître [LAD 84], Lemaître [LEM 96], [CHA 92]) permet de décrire le changement du comportement élastoplastique associé à la fermeture des défauts (cavités, microfissures). Ce qui permet notamment de marquer des différences entre les effets d’endommagement en traction et en compression. Les effets de multiaxialité peuvent être correctement décrits

Une fois que la représentation de l’endommagement est réalisée, il reste à définir l’influence de cet endommagement sur le comportement mécanique du solide étudié. En général, cela se fait grâce à l’utilisation de variables dites « effectives ». Ces dernières sont exprimées en utilisant soit l’hypothèse d’équivalence en déformation ([CHA 77], [LEM 78]), soit par l’hypothèse d’équivalence en énergie schématisée sur la Figure I.2 ([COR 79], [SAA 94]).

L’hypothèse d’équivalence en déformation s’énonce comme suit [CHA 79] :

« le tenseur des contraintes effectives est celui qu’il faudrait appliquer à un élément de matière fictif non endommagé pour qu’il se déforme de la même quantité (même tenseur de déformation) qu’un élément endommagé soumis au tenseur de contrainte actuel ».

Figure I.2 Définition des variables effectives

Pour le milieu endommagé, la relation d’élasticité s’écrit : : ^e

σ = L ε (I.1.13)

Pour le milieu non endommagé cette relation s’écrit : : ^e

σ = L ε (I.1.14)

Où L et L, sont respectivement les tenseurs d’élasticité du milieu sein et du milieu endommagé.

En éliminant ε^e entre les deux relations précédentes, on obtient :

D :

σ =M σ (I.1.15)

Où M_D est l’opérateur effet du dommage, tenseur d’ordre 4, qui s’exprime en fonction : 1

MD =L L⁻ (I.1.16)

L’hypothèse d’équivalence en énergie ‘élastique’ s’énonce comme suit [BCCF 00] :

«l’énergie élastique du milieu endommagé sous la contrainte σet la déformation ^εe est la même que celle du milieu effectif (non endommagé) soumis à la contrainte effective σet la déformation élastique effective ε^e ».

On a alors :

1 1 1

: : : : :

2 2 2

1 1 1

: : : : :

2 2 2

e e e

e

e e e

e

W L S

L S W

σ ε ε ε σ σ

σ ε ε ε σ σ

= = =

= = = =

(I.1.17)

Où S est le tenseur de souplesse du milieu endommagé (S =L⁻¹). De façon évidente on obtient une contrainte effective :

1 : MD

σ = ⁻ σ ε^e = M_D :ε^e (I.1.18) où encore comme pour la notion d’équivalence en déformation, MDs’appelle opérateur d’effet

du dommage :

: : ^T

D D

L =M L M S =M_D^−T :S M: _D⁻¹ (I.1.19) Notons que dans le cas particulier où MD = I, on retrouve la formulation classique sans

couplage avec l’endommagement [LEM 85a].

Enfin, soulignons, qu’en rupture ductile, il est parfois observé que les cavités induisent une variation de volume générant une compressibilité plastique. La description de ce phénomène nécessite la présence de la contrainte hydrostatique dans le critère d’écoulement plastique comme dans l’équation I.1.8 ou dans les travaux de [RIC 76], [ROU 87] et [GEL 85]. En mécanique de l’endommagement continu, Saanouni [SAA 88] a proposé d’introduire le taux de dilatation volumique dans le potentiel viscoplastique afin de mieux décrire le fluage tertiaire.

Nous allons appliquer ce formalisme pour décrire le comportement endommageable des solides élastoplastiques à écrouissage mixte non linéaire dans le cas exclusivement isotherme et en petites déformations. La généralisation aux transformations finies des modèles sera présentée plus loin.

I.2.3.1 Variables d’état

Les phénomènes physiques en conditions isothermes pris en compte peuvent être représentés par des variables d’état listées dans le Tableau I.1.

L’écoulement plastique est représenté par les variables (ε σ^e, ) Pour la modélisation de l’écrouissage, nous adopterons un écrouissage mixte défini par un écrouissage isotrope représenté par le couple (r R, ) et un écrouissage cinématique représenté par les tenseurs déviatoriques

(α,X). En restant dans le cas général où l’endommagement est représenté par une variable tensorielle d’ordre 2, d’une manière similaire à la plasticité, le processus d’endommagement est

représenté par les couples suivants :

(D Y, ) représentant la distribution anisotrope des défauts, ⁽β,B⁾représentant la variation du rayon de la surface d’endommagement,

(

)

Variables d’état Variables associées

Observables Internes

Déformation totale ε σ

Plasticité ^{εe ou εp σ ou -σ}σ

Ecrouissage cinématique α X

Ecrouissage isotrope r R

Endommagement D Y

Effet isotrope d’endommagement ^β B

Effet cinématique d’endommagement γ Γ

Tableau I.1 : Les variables du modèle macroscopique

Nous adopterons une approche par variables effectives où la notion d’hypothèse de l’équivalence en énergie totale est employée [SAA 88]. Cette hypothèse consiste à imposer l’égalité entre les énergies totales (réversibles et irréversibles) définies sur la configuration réelle endommagée et la configuration (fictive) homogène équivalente [SAA 94] :

1 :

σ = M⁻ σ ε^e = M : ε^e (I.1.20)

1 :

X = N⁻ X α = N : α (I.1.21)

1 R R

= D

− r = 1− D r (I.1.22) où M et N sont les opérateurs d’effet du dommage sur la contrainte et sur l’écrouissage

cinématique. Par simplification, dans la suite on supposera que les opérateurs d’effet du dommage M et N sont proportionnels entre eux, voire égaux. D définissant une norme appropriée du tenseur d’endommagement. Notons que le couplage avec l’élasticité ainsi qu’avec l’écrouissage est réalisé avec la même variable d’endommagement D dont la variable force duale Y est composée des taux de restitution des énergies élastique et anélastique.

En se basant sur les travaux déjà réalisé dans l’équipe ([HAM00], [SAA 03]), nous allons définir à partir du potentiel thermodynamique l’ensemble des forces duales associées à chaque variable d’état et à parti du potentiel des dissipations les variables flux.

I.2.3.2 Potentiel d’état- Relations d’état

Après avoir défini les variables d’états (adaptées aux phénomènes rencontrés), on postule l’existence d’un potentiel thermodynamique duquel dérivent ces variables d’états. L’énergie libre de Helmholtz ψ est utilisée comme potentiel thermodynamique dans l’espace des déformations.

Dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations (HPP), les déformations sont décomposées sous la forme additive standard : ε = ε^e +ε^p. On négligera le couplage direct entre la partie élastique et la parte écrouissage ; en revanche, le couplage avec l’endommagement est réalisé avec ces deux parties. Le potentiel d’état se décompose en trois parties : élastique, plastique et d’endommagement :

( ^e, ) ( ^{, ,} )

(

)

e D p r D d

ρψ = ρψ ε +ρψ α +ρψ β γ (I.1.23) Avec :

( ) 1

, : :

2

e e e

e D L

ρψ ε = ε ε (I.1.24)

( ) 1 1 ²

, , : :

2 2

p r D C Qr

ρψ α = α α+ (I.1.25)

(

)

d K G

ρψ γ β = γ γ + β (I.1.26)

Avec :

: :

L = MT L M , C = N^T :C N: et Q = (1− D Q) (I.1.27) où C est un tenseur des modules d’écrouissage cinématique, Q est le module d’écrouissage

isotrope. K et G sont respectivement des modules analogues à C et Q caractérisant l’endommagement ‘cinématique’ et ‘isotrope’.

Par application du premier et du second principe de la thermodynamique des processus irréversibles, l’inégalité de Clausius-Duhem fournit les relations d’état ainsi que l’expression de la dissipation volumique. Les relations d’état sont données par :

: ^e

e L

σ ρ ∂ψ ε

= ∂ε = (I.1.28)

:

X ∂ψ C

ρ α

= α =

∂ (I.1.29)

R Qr

r ρ∂ψ

= ∂ = (I.1.30)

1 1 1 2

: : : :

2 2 2

e p

e L e C Q

Y r Y Y

D D D D

∂ ∂

ρ ∂ψ ε ε α α

∂ ∂ ∂

⎛ ∂ ⎞⎟

⎜ ⎟

= − = −⎜⎜⎜⎝ + + ∂ ⎟⎟⎟⎠= + (I.1.31)

:

∂ψ K

ρ γ

Γ = ∂γ = (I.1.32)

B ∂ψ G

ρ β

= ∂β = (I.1.33)

On note que la force thermodynamique associée à l’endommagement est composée d’un terme élastique Y^e et d’un terme dû aux forces d’écrouissage Y^p , indiquant un fort couplage entre l’élastoplasticité et l’endommagement ([SAA 94], [SAA 03]).

I.2.3.3 Analyse des dissipations

L’expression de la dissipation déduite de l’inégalité de Clausius-Duhem s’écrit :

: ^p X : Rr Y D: B 0

σ ε α γ β

Φ = − − + − Γ − ≥ (I.1.34)

Dans cette expression, les variables force ^A_k ^∈

{

}

{

}

Vk ∈ ε α r D γ β de sorte que l’inégalité (I.1.34) soit identiquement vérifiée afin de garantir l’admissibilité thermodynamique.

La construction des relations d’évolution du modèle nécessite la définition d’un critère d’écoulement et d’un potentiel des dissipations [HAL 75]. Pour cela, on procède à l’analyse des différentes dissipations pour introduire un seul potentiel des dissipations dans le cadre des milieux standard généralisés.

Pour définir les relations complémentaires relatives aux différents processus dissipatifs, on

postule l’existance d’un potentiel (ou pseudo potentiel) des dissipations qui s’exprime comme une fonction à valeur scalaire continue et convexe par rapport aux variables flux avec des variables d’état pouvant éventuellement intervenir comme paramètres :

(

)

ϕ = ϕ ε α γ β (I.1.35)

Les relations complémentaires s’expriment alors par la propriété de normalité (ou dissipativité normale). Pour des raisons de commodité, on préfère exprimer les équations complémentaires sous la forme de lois d’évolution des variables flux en fonction des variables duales. Le potentiel dual est obtenu par la transformée de Legendre-Fenchel (Lemaître et Chaboche [LEM 85a]).

( )

( )

* sup( , )p : : ,

k

p p

k k k

V A V V

ϕ = ε ⎡⎣σ ε − − −⎤⎦ ϕ ε (I.1.36) où Vk ∈

{

}

On démontre que si la fonction ϕ^* est dérivable, les relations complémentaires d’évolution sont déduites de la relation de normalité généralisée :

p ϕ*

ε σ

= ∂

∂ (I.1.37)

*

k k

V A

ϕ

= −∂

∂ (I.1.38)

Si on suppose le découplage des dissipations relatives à l’écrouissage et à l’endommagement, le potentiel peut être additivement décomposé de la manière suivante :

( ) ( )

* F , ,X R G Y, ,B

ϕ = σ + Γ (I.1.39)

Dans le cas où les phénomènes dissipatifs sont indépendants du temps (cas de la plasticité), le potentiel est une fonction indicatrice d’un convexe ou critère d’écoulement noté :

(

)

f σX r Y ΓB duquel dérivent les varibles flux :

p f

ε λ

σ

= ∂

∂ et _k

k

V f

λ ∂A

= − ∂ (I.1.40)

où λ est un multiplicateur de Lagrange (multiplicateur de plasticité) donné par la condition de cohérence (f = 0 si f = 0) dans le cadre de la plasticité indépendante du temps.

Pour augmenter les possibilités de modélisation, on a souvent recours à une formulation dite

‘non associée’. Elle consiste à introduire un pseudo-potentiel de dissipation F( ,σ A_k) de sorte

que :

k k

V F

λ ∂A

= − ∂ (I.1.41)

et λ demeure donné par la condition de cohérence introduite ci-dessus.

Notons que plusieurs critères d’écoulement f_i ainsi que plusieurs potentiels de dissipation F_i peuvent être introduit pour décrire les phénomènes dissipatifs [CHA 97]. Dans ce cas, on parle de modélisation multi-surfaces ([HAM 00] et [SAA 03]).

Dans la suite de cette étude, on se limite à une formulation à surface unique pour modéliser l’ensemble des phénomènes (écrouissages, endommagement). Dans ce cas, il est inutile de considérer les couples de variables d’endommagement ⁽β,B⁾ et

(

)

I.2.3.4 Formulation du modèle macroscopique avec compressibilité induite

L’objectif de cette partie est de proposer un modèle de comportement élasto- (visco)plastique couplé à l’endommagement ductile avec compressibilité induite. L’idée est de généraliser la modélisation déjà développée au LASMIS ([SAA 94], [HAM 00] et [SAA 03]) afin d’y introduire une variation de volume plastique provoquée par la croissance de l’endommagement ductile. On cherchera donc in fine à obtenir une modélisation de type Gurson avec l’approche CDM qui contiendra le modèle classique comme cas particulier. Tout au long de la formulation, nous confronterons notre formulation au modèle de type Gurson (GTN) en insistant sur la nature du couplage comportement-endommagement.

Nous repartons de la formulation du comportement endommageable avec l’hypothèse d’équivalence en énergie totale introduite précédemment avec les particularités suivantes :

On suppose l’isotropie de l’endommagement signifiant une orientation et une distribution aléatoire des défauts. Le couple des variables d’endommagement est désormais scalaire ⁽D Y, ⁾. Les opérateurs effet d’endommagement introduit dans l’équation (I.1.18) deviennent :

1

M = N = −DI (I.1.42)

L’écrouissage cinématique est supposé purement déviatorique, le tenseur des modules

d’écrouissage se réduit à :

2 3 ^dev

C = CI (I.1.43)

où I^dev est le tenseur déviatorique unité d’ordre quatre définit par : ¹1 1 3 Idev = −I ⊗ avec I et 1 sont les tenseur unité d’ordre quatre et deux, respectivement.

Avec un choix particulier, les couples de variables effectives deviennent :

1 D

σ = σ

− , ε^e = ε^e 1−D (I.1.44)

1 X X

= D

− , α = α 1−D (I.1.45)

1 R R

= D

− , r = r 1−D (I.1.46) Dans ces conditions, le potentiel d’état s’écrit :

(

)

(

)

ρψ ε α = − ε ε + − α α+ (I.1.47)

Les équations d’état relatives à la contrainte et aux écrouissages cinématique et isotrope deviennent :

(1 D L) : ^e

σ = − ε (I.1.48)

( )2

1 3

X = −D Cα (I.1.49)

(1 )

R = −D Qr (I.1.50)

1 2 1 2

: : :

2 ^{e e} 3 2 ^{e an}

Y = ε L ε + Cα α+ Qr =Y +Y (I.1.51) Dans le cas où l’élasticité est isotrope, l’opérateur d’élasticité L est donné par l’expression

classique :

2 _e1 1 2 ^dev 1 1

L = µI +λ ⊗ = GI +K ⊗ (I.1.52) Où µ et λ_e sont les coefficients classiques de Lamé, G : module de cisaillement, K : module de

compression hydrostatique. On rappelle les relations équivalentes entre ces coefficients :

(1 )(1 2 )

e νE

λ = ν ν

+ − , ^{3 2}

3(1 2 ) 3

K E λ µ

ν

= = +

− et

2(1 )

E G

µ = ν =

+ (I.1.53) Pour la dissipation inélastique, nous postulons le critère d’écoulement et le potentiel plastique suivants :

1 * ^y

X R

f D

σ − − σ

= −

− (I.1.54)

( ) ( )

3 1 2

( , , , , ) :

4 1 2 1 ^d

a b

F X R Y D f X X R F

C D Q D

σ = + + +

− − (I.1.55)

où σ_y est la limite d’écoulement, a et b sont les coefficients de non-linéarité de l’écrouissage cinématique et isotrope, respectivement. ^D* est une variable d’endommagement qui sera définie plus loin. Le potentiel d’endommagement Fd définit l’évolution des différents endommagements à savoir l’endommagement plastique, de fluage, de fatigue… Dans ce cas limité à l’endommagement ductile [LEM 99] on l’écrit sous la forme suivante :

( )

0 1

1 1 1

s d

S Y Y

F s D ^β S

− +

= + − (I.1.56)

Où Y₀ est un seuil d’énergie en dessous duquel l’endommagement est nul, (S, s et β) sont des paramètres caractéristiques de l’évolution de l’endommagement ductile.

Pour finir avec le critère proposé par l’équation (I.1.54), la norme σ −X est définie par : ( ): :( ) ^*[ ( )]²

X X H X D tr

σ − = σ− σ − +α σ (I.1.57) qui peut se mettre sous la forme suivante :

( ): :( )

X X H X

σ − = σ− σ− (I.1.58)

Avec :

( )

* 1 1

H = H +αD ⊗ (I.1.59)

L’opérateur H décrit l’anisotropie (orthotrope) de l’écoulement plastique au sens de Hill [HIL 48]. Il est supposé de nature purement déviatorique, pouvant s’écrire par exemple

: * :

d d

H =I H I où ^H* est un tenseur d’ordre 4 orthotrope quelconque. Sa forme matricielle est donnée par (I.1.60), où F, G, H, L, M, N sont les six paramètres scalaires qui caractérisent l’état d’écrouissage anisotrope et peuvent être déterminé à l’aide de trois expériences de traction simple

(dans trois directions) et trois expériences de cisaillement simple. L, M, N sont strictement positifs alors qu’une seule des valeurs de F, G ou H peut être négative. On retrouve le cas isotrope du critère de Von Mises pour : L=M=N=3F=3G=3H.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 2

G H H G

H H F F

G F F G

H L

M

N

+ − −

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − + − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − − + ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(I.1.60)

La spécificité du modèle que nous proposons réside dans l’introduction de la variable d’endommagement D^* dans le critère d’écoulement f , voir équation (I.1.54). Cette variable définie comme la somme de l’endommagement D et d’un endommagement ‘volumique’ D^v pouvant être assimilé au rapport entre le volume actuel endommagé (contenant des cavité) et le volume initial total :

* v

D = D +D (I.1.61)

On suppose pour ce modèle que l’EVR est totalement endommagé lorsque D^* ≅ 1, les contraintes σ, X et R s’annulent, ce qui traduit l’incapacité de l’EVR endommagé à supporter et à transmettre le moindre effort. En admettant que la masse volumique du matériau est affectée par l’endommagement D^v selon la relation suivante :

0

1 1

v v

D ρ −D

= − (I.1.62)

avec D₀^v est la valeur initiale de D^v mesurant l’état initial des cavités. En négligeant l’incompressibilité élastique, le bilan de la conservation de la masse s’écrit :

tr( )^p

ρ = −ρ ε (I.1.63)

il vient immédiatement de (I.1.62) :

(1 ) (tr )

v v p

D = −D ε (I.1.64)

Il est à noter que D^v n’a pas le statut de variable interne supplémentaire puisque directement définie par l’évolution de la déformation plastique. Autrement dit, l’évolution de D^v ne provoque pas de dissipation puisque celle-ci est déjà comptée par le travail plastique.