Définition de l’EVR

Dans la modélisation micro-macro, on commence d’abord par définir les différentes échelles auxquelles on veut ou on peut descendre pour chacun des phénomènes à modéliser. L’échelle de départ est l’agrégat polycristallin que l’on souhaite décrire par la procédure micro-macro. C’est l’échelle où l’on impose des chargements en déplacement ou en contrainte vérifiant les conditions d’admissibilité sur l’EVR. C’est par la suite qu’on s’intéresse aux d’échelles inférieures pour déduire les réponses relatives aux différents phénomènes. Le schéma de passage micro-macro contient donc une échelle macroscopique et une ou plusieurs échelles locales (échelle des grains, des sous grains, des dislocations, des atomes …) de taille microscopique voir nanoscopique selon la nature du matériau. L’échelle d’arrivée se trouve aussi au niveau de l’EVR (après homogénéisation). Le comportement macroscopique (ou global) est déduit à partir de la réponse des échelles inférieures.

Figure I.4 Divers échelles dans les matériaux et pièces métalliques

La Figure I.4 schématise les différentes échelles pouvant concerner la modélisation du comportement d’une structure métallique. Ces échelles sont diverses, on peut représenter le comportement, par ordre décroissant de dimension, au niveau des grains, des systèmes de glissement, des dislocations et atomique. A chaque niveau d’échelle, on associe à chacun des phénomènes observés des variables spécifiques qui sont susceptibles de décrire convenablement le comportement.

description (les phases). Pour la détermination des phases, on recense les propriétés géométriques et physiques suivantes :

• l’orientation du réseau cristallin de chaque grain individuel ou contenu dans une famille de même orientation (phase).

• La taille des grains, • La forme des grains,

• La répartition spatiale de chaque phase,

On peut énumérer d’autres mécanismes telle que la transformation de phase qui pourrait changer la morphologie des grains et augmenter le nombre de grains d’une phase, la recristallisation définie par le réarrangement des grains dans un métal écroui. Les grains déformés ou écrouis sont remplacés par des grains non déformés et l’effet de l’écrouissage est supprimé. Cependant, il est courant, dans le cas des polycristaux monophasiques, de retenir comme seul paramètre de définition de la microstructure et l’orientation cristalline des grains. On considère ainsi que des grains ayant une même orientation de réseau sont indiscernables et on décrit leur répartition par le biais de la Fonction de Distribution des Orientation Cristalline (FDOC). Ce choix est très restrictif car on se prive ainsi non seulement de la description de la forme et de la taille des grains (morphologie), mais aussi de celle de leur distribution spatiale. La prise en compte d’autres caractéristiques des grains conduirait à multiplier le nombre des phases constitutives. Une phase pouvant être constituée non seulement des grains ayant même orientation, mais, de surcroît, ayant même taille, forme, …etc. Il resterait encore à décrire, de manière statistique, la disposition relative des différentes phases, ainsi que celle des éléments constitutifs de chacune. Cette tâche difficile n’a réellement été abordée qu’en élasticité linéaire et résolue par l’utilisation des fonctions de corrélation des modules élastiques [BER 94]. Ce qui complique encore le problème en plasticité, c’est le fait que le comportement instantané d’un élément dépend de son état actuel, du fait de l’écrouissage, et donc, même à structure d’agrégat fixée, les fonctions de corrélation des ‘modules élastoplastiques’ évoluent au cours de l’écoulement plastique.

La description complète d'un agrégat polycristallin par le champ d'orientations nécessite un nombre très important de donnée. De plus, elle n'est valable que pour un échantillon donné. Un autre échantillon prélevé dans le même matériau possède un champ d'orientation complètement différent, ce qui n'est généralement pas souhaitable. On s'intéresse plutôt à la description statistique des paramètres d'agrégat, valable pour tous les échantillons prélevés dans le même matériau. Il est clair qu'il faut alors négliger certaines caractéristiques de structure pour y

parvenir. Nous pouvons considérer deux cas limites de paramètres statistiques d'agrégat [FOR 04] :

• en prenant uniquement en compte l'orientation cristalline et en négligeant tout renseignement sur la position, la taille, la forme et les arrangements des cristallites individuels dans l'agrégat : ce cas correspond à la définition conventionnelle de la texture;

• en ne prenant en compte que la taille, la forme et l'arrangement des cristaux dans l'agrégat, mais sans préciser leur orientation : c'est le point de vue de la métallographie quantitative ou, plus généralement, de la stéréologie.

Ces deux cas limites correspondent à deux techniques expérimentales différentes :

- méthodes de diffraction (en particulier de rayons X) au moyen desquelles les orientations cristallines peuvent être facilement déterminées,

- méthodes d'imageries (microscopie optique par exemple) au moyen desquelles on peut facilement obtenir des renseignements sur la position.

Pour des descriptions statistiques plus complètes sur les agrégats polycristallins, on doit considérer des paramètres de structures qui contiennent des informations aussi bien sur l'orientation que sur la position. Une technique appropriée à cet effet est la microscopie à balayage d'orientations, qui combine diffraction et imagerie.

Dans la suite, on ne s’intéresse pas à la description directe de la distribution spatiale des phases. Nous retiendrons dans le cadre du modèle proposé seulement l’orientation cristallographique initiale des phases.

D’autre part, une bonne connaissance de la physique des constituant permet de fixer le bon choix des variables aux niveaux pertinent. A ce propos, le cadre de la modélisation que nous avons retenu contient trois niveaux d’échelles :

• L’échelle la plus petite prise en compte dans les modèles de comportement que nous utilisons est celle des systèmes de glissement. Les variables qui y sont décrites (glissement, cission résolue, écrouissage, endommagement) sont elles-mêmes des moyennes représentatives du comportement moyen à l’échelle des dislocations, négligées dans cette étude. Cette échelle de représentation (des systèmes de glissement) nous permet de décrire un comportement intragranulaire hétérogène (les différents systèmes de glissement pris en compte).

• L’échelle intermédiaire est celle des phases, sachant qu’une phase est définie par un amas de grains ayant la même orientation.

• L’échelle la plus élevée est celle de l’EVR décrivant le comportement moyen des phases de l’échelle intermédiaire. La transition entre les échelles est effectuée avec des modèles de localisation-homogénéisation, ce qui fera l’objet de la section suivante.