Etude paramétrique du modèle micro-macro

Comme nous l’avons précisé ci-dessus, le modèle micro-macro a été implémenté avec la méthode d’intégration explicite de Runge-Kutta. Néanmoins, nous avons validé notre programmation en comparant nos résultats de simulation avec le modèle polycristallin standard existant dans Zébulon, en non couplé, c’est à dire pour d^s = 0,∀ =s {1,12}. Nous avons commencé par le monocristal, avec les coefficients arbitraires suivants :

• au niveau des SGC K=25. MPa, n=25.0, y₀=105. MPa, Q=3000. MPa et b=150. • au niveau macro E= 200000 et υ = 0.3.

Notons qu’il s’agit dans tout les cas que nous allons étudier des cristaux CFC dont la matrice d’interaction H^rs de taille 12×12 est définie par six coefficients :h_i, i=1,6 donnée par :

pour simplifier nous avons pris h_i =1, i=1,6.

Pour un essai de traction dans la direction de laminage [100], où les axes du monocristal coïncident avec ceux de l’échantillon. La Figure II.15 montre une parfaite concordance entre notre modèle et le modèle standard de Zébulon. On retrouve cette similitude au niveau des systèmes de glissement cristallins. En parfaite symétrie, 8 est le nombre de systèmes activés pour les deux modèles, 4 systèmes en traction et 4 systèmes en compression. La Figure II.16 montre les réponses τs −γs pour 4 de ces systèmes.

Figure II.16 : Comparaison des réponses microscopiques des deux modèles

Notons que la seule différence entre les deux modèles réside dans le coefficient d’écrouissage Q^s qui est donné par

s s Q

b ^{dans notre modèle.}

Nous avons ensuite testé le cas du polycristal à l’aide de deux agrégats ‘quasi-isotropes’ : un agrégat à 24 grains et un autre à 40 grains avec les coefficients suivants :

• Au niveau des SGC : K=25.0 MPa, n=25.0, y₀=105 MPa, Q=3000. MPa et b=150. • Au niveau granulaire C=7800 MPa et a=100.

• Au niveau macro E= 200000 et υ = 0.3.

La définition des orientations cristallines deux agrégats en termes d’angles d’Euler est donnée en annexe A3. On montre sur la Figure II.17 les projections stéréographiques suivant les plans (200) pour ces deux agrégats.

(a) (b)

Figure II.17 : Figure de pole suivant les plans 200 (a) agrégat 24 grains (b) agrégat 40 grains

Pour un essai de traction, nous avons remarqué une différence notable avec le modèle standard de Zébulon (voir Figure II.18). Cette différence est due à la relation d’évolution de l’écrouissage cinématique intergranulaire :

• Pour notre modèle, elle est donnée par la relation (I.2.74) que l’on rappelle ici :

1 Ns g g g s p s a β ε β λ = = −

∑

• Pour le modèle de Zébulon (Standard) elle est donné par :

g g g g p a p β = ε − β ε avec ² : 3 g g g p p p ε = ε ε (II.98)

En utilisant cette relation à la place de (I.2.74), on retrouve exactement la même courbe que dans Zébulon standard (Figure II.18.a pour l’agrégat à 24 grains). La même constatation est faite pour l’agrégat à 40 grains comme montré sur la Figure II.18.b.

Sur la Figure II.19 l’effet d’agrégat est montré pour des coefficients matériels identiques. Ceci montre donc que notre modèle micro-macro est convenablement implémenté tout au moins dans sa version non couplée.

(a) (b)

Figure II.18 : Comparaison des réponses macroscopiques des deux modèles pour les deux agrégats (a) 24 grains (b) 40 grains

Figure II.19 : Comparaison des agrégats

Pour la version couplée à l’endommagement, nous avons utilisé pour l’agrégat à 24 grains les coefficients donnés dans le Tableau II.2 suivant :

Elasticité macroscopique Echelle granulaire Echelle des SGC Endommagement

E= 200000 Mpa, ν=0.3 ^{C=30067,72 Mpa,} a=26,747 n=25.0, K= 50.0 Mpa, k0= 145.Mpa, Q= 50. Mpa b =74,78 hi=1, i=1,6 S=0,846 MPa, β=1,194, m=47.858, α=0.5 y0= 0. MPa

La Figure II.20 montre le résultat d’un essai de traction contrôlé en déformation avec une vitesse de 5.10⁻³s⁻¹. On remarque que la contrainte macroscopique saturée ∑max dans le cas non couplé est de 516,5 MPa. Cette saturation de l’écrouissage est atteinte pour une déformation macroscopique totale de E₁₁=4.4 %. L’effet de l’endommagement, pour l’agrégat couplé, commence à se faire sentir vers une déformation macroscopique de l’ordre de 2.02%. La contrainte maximale atteinte ∑max=503.13 MPa (pour E₁₁=3,7%), après quoi l’écrouissage devient totalement négatif conduitsant à une rupture finale pour E₁₁=39.9%. Notons que ces valeurs sont très comparables à celles obtenues avec le modèle macroscopique exposés en Figure II.9. La fin de la simulation est marquée par l’arrêt de l’algorithme d’intégration à cause du pas de temps qui devient très petit (de l’ordre de 10⁻¹⁰).

La planche Figure II.21 montre l’état de l’endommagement dans l’agrégat, i.e. au niveau des systèmes de glissement dans les grains ainsi qu’au niveau macroscopique.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure II.21 : (a) et( b) Endommagement microscopique, (c) et (d) Endommagement granulaire e) Endommagement macroscopique

• L’endommagement macroscopique évolue non linéairement et atteint 51,93% pour une déformation macroscopique de 39,99% (Figure II.21.e).

• L’endommagement dans les grains (Figure II.21.a et b), on note que tous les grains ont un endommagement supérieur à zéro, car au moins un système par grain s’est activé d’ou la présence d’un d^s au sein de chaque grain. Seul 8 grains (numéros : 9, 11, 13, 15, 16, 19, 20 et 24) ont un endommagement supérieur à 0.1% alors que l’endommagement maximum ne dépasse pas 9,18% pour le grain 15 dont la réponse macroscopique est donnée en Figure II.22.

• Le nombre de systèmes activés est au total est 89 (sur les 288 systèmes de l’EVR 12×24), seulement 32 d’entre eux dépassent 0.5% (Figure II.21.c et d).

La Figure II.23 rassemble les contraintes granulaires en fonction de la déformation totale macroscopique E₁₁ pour chaque grain (g) de l’agrégat, pour les deux cas couplé et non couplé. On remarque dans l’agrégat non couplé (Figure II.23.a) que touts les grains ont plastifié pour une déformation macroscopique de l’ordre des 5% et saturent pour une contrainte maximale σmax^g

entre 539.22 MPa pour le grain 10 et 463.78 pour le grain 16. Pour l’agrégat couplé (Figure II.23.b) le grain le plus endommagé (dont la contrainte σ₁₁^g après avoir atteint un maximum de 459.715 MPa chute à 154.39 MPa,. pour un endommagement granulaire 9,18% qui est en même temps le maximum des endommagements granulaires) est le grain numéro 15.

(a) (b)

Figure II.23 : Contraintes granulaires (a) Cas non couplé, (b) cas couplé

II.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté l’ensemble des aspects numériques liés aux modèles développés au premier chapitre ainsi que la procédure d’implémentation dans le code Zébulon.

La discrétisation spatiale du principe des puissances virtuelles par la méthode des éléments finis a été exposée ainsi que les étapes de résolution du système algébrique non linéaire obtenu. Nous y avons détaillé les deux principales méthodes de résolution actuellement développées en calcul par éléments finis.

Nous avons ensuite présenté l’intégration numérique locale des équations différentielles ordinaires pour les deux classes de modèles de comportement : macroscopique et micro-macro. Ces deux modèles sont implémentés dans le code élément finis Zébulon. Nous avons opté pour l’intégration implicite avec la θ-méthode pour le modèle macroscopique et la méthode explicite de Runge-Kutta pour le modèle micro-macro par le souci d’économiser sur la taille du problème.

Cette implémentation numérique a été validée sur des essais de traction monotones appliquée à un EVR par des comparaisons avec des modèles standards.

Dans le prochain chapitre, nous allons appliquer ces deux modèles au calcul par éléments finis sur éprouvettes de traction ainsi que sur quelques procédés de formage simple.