Etude du modèle à couplage fort MAC1

Le matériau modèle étudié est le matériau A tiré de [Ham00] défini dans le Tableau III.1 : Elasticité Ecrouissage ^{Endommagement} _volumique Endommagement E=200000. MPa ν=0.3 σ_Y=400. MPa Q=1000.0 MPa b=50.0 C=10000. MPa a=100. 1 α = , 0.005 v cri D = et 1 δ = β=2, s=1, S=8.35 MPa et Y₀=0. MPa

Tableau III.1 Propriétés matériau A.

La première chose à étudier concerne la comparaison entre les résultats obtenus par un calcul couplé et un calcul non couplé, toute chose égale par ailleurs. Nous avons testé en premier lieu ce matériau en déformation plane sur une plaque mesurant 10 30× mm²(Figure III.1)

Les conditions de chargement sont les suivantes :

- un encastrement en bas de l’éprouvette

- un déplacement nul suivant la direction ‘x’ et un déplacement imposé en haut de l’éprouvette suivant ‘y’. Le déplacement imposé est une rampe à vitesse constante (U =U t⋅ U=0.1 s-1).

10

30

10

30

Les éléments plans utilisés sont de type c2d8r (éléments quadratiques à 8 nœuds et intégration réduite) de la librairie des éléments Zébulon, de taille ^{2 2 2}

3×3 ^mm donnant un total de 675 éléments avec 15 éléments en largeur et 45 éléments en longueur.

La Figure III.2 rassemble les champs de la déformation plastique et de l’endommagement. On note que ce calcul couplé reproduit fidèlement les différentes étapes de localisation de l’écoulement plastique dans l’éprouvette. En particulier, l’état de déformation et d’endommagement commence par être homogène dans la partie centrale de l’éprouvette (Figure III.2 (a)) pour un déplacement U2=0.5 mm. Ensuite, pour un déplacement U2=0.8 mm, on observe le début de la striction diffuse (Figure III.2.b). La striction localisée apparaît clairement sur les : Figure III.2.c, Figure III.2.d et Figure III.2.e. D’abord parfaitement symétrique (Figure III.2.c), la localisation se ‘dissymétrise’ en suivant l’une des deux bandes de cisaillement (Figure III.2.d) qui se transforme en fissure macroscopique (Figure III.2.e). L’amorçage d’une fissure macroscopique apparaît à l’intersection des deux bandes de cisaillement pour U2=2 mm (Figure III.2.d). Celle-ci se propage dans les deux sens de la même bande de cisaillement jusqu’à la rupture finale de l’éprouvette pour U2= 3.65 mm (Figure III.2.e).

Les résultats du calcul non couplé sont exposés sur la Figure III.3 en terme d’isovaleurs de la déformation plastique cumulée. De cette figure on note clairement une différence notable avec le calcul couplé concernant la striction localisée qui, tend vers une localisation axisymétrique (Figure III.2.d) irréaliste pour ce cas de déformations planes.

(a) U2=0.5 mm (b) U2=0.8 mm (c) U2=1 mm (d) U2=2 mm (e) U2=3.65 mm Distribution de la déformation plastique cumulée

Distribution de l’endommagement

Figure III.2 : Evolution de la déformation plastique et de l’endommagement dans une plaque en déformation plane pour différents déplacements

Distribution de la déformation plastique cumulée

(a) U2=0.5 mm (b) U2=1 mm (c)U2=1,35 mm (d) U2=2 mm (e) U2=3.65 mm (f) U2=4.5 mm Figure III.3 : Distribution de la déformation plastique lors du calcul découplé

On en conclut donc que seul le couplage (fort) comportement-endommagement est capable de modéliser la localisation de la déformation et de l’endommagement dans une éprouvette et donc dans une structure mécanique quelconque.

La Figure III.4 montre la réponse globale en terme de courbes forces-déplacement obtenues avec le même modèle avec et sans couplage. Si la chute de la force est observée dans les deux cas à cause de l’effet de la striction, seul le modèle couplé montre un véritable « écrouissage » négatif dû à l’effet de l’endommagement. Dans ce cas couplé la convergence se dégrade pour un déplacement U=3.65 mm et une force F=90,7 N traduisant l’imminence de la rupture finale de l’éprouvette.

Figure III.4 : Courbes globales Force/Déplacement calcul Couplé/Non couplé a) Effet de la taille de maillage

Nous avons ensuite étudié l’influence de la discrétisation géométrique sur la solution numérique. Pour cela, nous considérons la même éprouvette de la Figure III.1 avec les mêmes conditions de chargement et le même matériau A pour trois maillages différents :

- Un maillage ‘M1’ grossier de de taille 1 1× mm²pour tous les éléments, ce qui donne : 10 éléments en largeur et 30 éléments en hauteur, et un nombre total de 300 éléments.

- Un maillage moyen ‘M2’ de taille ^{2 2 2}

3×3 ^mm ce qui donne : 15 éléments en largeur et 45 éléments en hauteur, soit un total de 675 éléments.

- Un maillage fin ‘M3’ de taille ^{1 1 2}

2×2 ^mm pour tous les éléments, ce qui donne : 20 éléments en largeur et 60 éléments en hauteur, soit un total de 1200 éléments.

Dans tous les cas, il s’agit d’éléments plans quadratiques à intégration réduite c2d8r (éléments 8 nœuds et 4 points d’intégration) en déformation plane de la librairie des éléments du code Zébulon.

Les réponses globales (force-déplacement) obtenues avec les trois maillages définis ci-dessus sont données en (Figure III.5) pour les deux cas : couplé et non couplé.

Comme attendu, on note que :

- dans le cas non couplé (Figure III.5.b) la solution est insensible à la taille du maillage sauf en fin de striction, et la convergence est presque réalisée pour tous les maillages.

- dans le cas couplé la solution est indépendante du maillage tant que l’écrouissage positif l’emporte sur l’effet adoucissant dû à l’endommagement. On note clairement l’existence d’un point de bifurcation situé à un déplacement U_BIF=0.78 mm et un effort F_BIF=566,5N.

Ce phénomène dû principalement à l’effet adoucissant de l’endommagement, est constaté par plusieurs auteurs et se traduit par une forte dépendance de la solution vis-à-vis de la discrétisation spatiale et temporelle. Le remède à ce problème est actuellement de deux natures :

- Approche simplifiée qui consiste à choisir une taille d’élément (∆x_min) et un pas de temps (∆t_min) en fonction d’une étude de convergence réalisée pour chaque matériau ([HAM 00], [MAR 03], [LES 03]).

- Approche non locale, qui consiste à tenir compte du voisinage de chaque point matériel par l’introduction d’une longueur interne caractéristique de la microstructure de chaque matériau. Plusieurs modélisations sont actuellement proposées dans la littérature :

- Formulation non locale issue des travaux de Toupin [TOU 60] et d’Eringen [ERI 75]

- Formulations à gradient de variable d’état ([ZBI 88], [GEE03]).

L’approche à gradient d’endommagement fait l’objet du travail de Sornin [SOR 05] dans notre équipe. Il existe aussi des approches non locales implicites (Peerlings [PEE 96] et autres).

Sur la Figure III.5, nous comparons la distribution de l’endommagement dans l’éprouvette pour trois instants correspondants à : U=0.8 mm (maximum de la courbe force-déplacement), U=2 mm et à rupture de l’éprouvette pour chacun des maillages (U_RUP=4,77mm pour M1, U_RUP=3,65 pour M2 et U_RUP=2,74 mm pour M3). On note clairement que le maillage n’a pas d’influence sur l’orientation de la ‘fissure’ finale (sur le choix de la bande qui conduit à la rupture), par contre, l’épaisseur de la zone endommagée est fortement dépendante du maillage. Plus exactement, l’épaisseur de la fissure est réduite à l’épaisseur d’une rangée d’éléments. Par conséquent, on peut constater que l’épaisseur de la zone endommagée est proportionnelle à la taille du maillage. Ceci

se traduit par l’accélération de la rupture de l’éprouvette comme on peut le constater sur la Figure III.5.a.

(a) (b)

U=0,8 mm U=2 mm Urupture Maillage M 1 Maillage M 2 Maillage M 3

b) Effet de la géométrie de l’éprouvette

Dans ce paragraphe, nous avons étudié l’influence de la géométrie de l’éprouvette sur la solution numérique. Pour cela, nous considérons quatre géométries différentes avec les mêmes conditions de chargement et la même taille des éléments M2 (^{2 2 2}

3×3 ^mm ) :

- L’éprouvette initiale 10×30 avec le maillage moyen M2 (soit 15×45 éléments)

- Une éprouvette de dimension 10×60

- Une éprouvette de dimension 10×90

- Une éprouvette de dimension 30×90

Sur la Figure III.7, nous comparons la distribution de l’endommagement pour deux instants significatifs correspondants au début de la striction localisée et à la rupture pour les quatre éprouvettes (Eprouvette1030 en Figure III.7.a avec U_RUP=3,65 mm, Eprouvette1060 en Figure III.7.b avec U_RUP=5.2 mm, Eprouvette1090 en Figure III.7.c avec U_RUP=4,5 mm et Eprouvette3090 en Figure III.7.d avec U_RUP=5,45mm). Notons que les éprouvettes 1030 et 3090 ont les mêmes proportions géométriques avec un rapport de trois. Dans ce cas, on obtient la même solution et le même mode de localisation (Figure III.7.c et Figure III.7.d). Comparons maintenant les trois éprouvettes 1030, 1060 et 1090 qui ont la même largeur mais des longueurs différentes de 30, 60 et 90 mm. Si le mode de localisation et le chemin de la fissure finale semblent les mêmes pour les deux éprouvette 1030 et 1060 (Figure III.7.a et Figure III.7.b), il n’en va pas de même pour l’éprouvette 1090. En effet, cette éprouvette à grand élancement capte un autre mode de localisation avec deux couples de bandes de cisaillement situées à proximité des têtes de l’éprouvette (Figure III.7.c). Une des bandes finie par se transformer en fissure proche de la tête inférieure de l’éprouvette à U=4,5 mm (Figure III.7.c).

Une comparaison des courbes des efforts globaux normées par la section initiale S₀ en fonction du déplacement U2 imposé est donnée en Figure III.8. On constate que pendant la phase d’écrouissage ‘positif’ les efforts normés (F/S₀) sont inversement proportionnels à l’élancement des éprouvettes. Ce résultat est tout à fait cohérent puisque pour un déplacement donné, la déformation est d’autant plus élevée que l’éprouvette est courte (puisque

ε

=

∆

l/l₀). Par conséquent, les contraintes puis les efforts y sont plus importants. A l’inverse, dans la phase adoucissante, les efforts chutent plus rapidement pour les éprouvettes courtes car l’évolution de l’endommagement y est plus rapide. Ainsi, la rupture est d’autant plus rapide que l’éprouvette élancée.

(a) Eprouvette 10×30 (b) Eprouvette 10×60 (c) Eprouvette 10×90 (d) Eprouvette 30×90

U=0,8 mm U2=2 mm U2=2.68 mm U=2.5 mm

U2=3.65 mm U2=5.2 mm U2=4.5 mm U2=5,45 mm

Figure III.8 Comparaison de la réponse globale pour différents élancements

Dans le document Modélisation macro et micro-macro des matériaux polycristallins endommageables avec compressibilité induite (Page 128-137)