Etude paramétrique du modèle macroscopique

Pour étudier ‘paramétriquement’ les modèles proposés, nous allons utiliser des matériaux ‘virtuels’ définis par des coefficients choisis de sorte à couvrir une large gamme de matériaux à plus ou moins fort écrouissage et à plus ou moins forte ductilité.

Nous commençons par traiter le modèle macroscopique pour différentes configurations que peut couvrir le modèle :

• Modèle MAC1 : Couplage avec les deux types d’endommagement D et D^v simultanément avec différentes valeurs de α.

• Modèle MAC2 : couplage avec seulement un endommagement volumique (type Gurson).

0

α ≠ et D^* =D^v(D = 0)

• MAC3 : couplage avec seulement l’endommagement D pour α = 0 on a donc D^* = D, c’est le modèle classique de Saanouni et al ([SAA 94], [Ham00]).

Pour le comportement élastoplastique du matériau nous choisirons les valeurs suivantes : E=210000 MPa, υ = 0.3, σ_y = 400MPa, C=10000, a=100, Q=1000 et b=50.

Pour le modèle d’endommagement ductile, nous allons analyser les différences entre le cas incompressible et le cas compressible. Ensuite, nous examinons le cas où seul l’endommagement volumique est présent : D = 0 (modèle MAC2).

Le modèle MAC3, d’une ductilité moyenne (<40%) est caractérisé par les valeurs suivantes : S=1.2 MPa, s=1., =1.β et α = 0. La Figure II.8 montre le résultat d’un essai de traction simple pour les deux méthodes d’intégration. On note une concordance parfaite, ce qui permet de valider l’intégration numérique du modèle. Nous remarquons, néanmoins, sur la, que l’intégration explicite trouve des difficultés à l’approche de la rupture, où nous avons noté des pas

de temps très petit, de l’ordre de ¹⁰⁻¹²s, ce qui reste tolérable pour des simulations entreprises sur EVR seulement. La solution non couplée est conforme à la solution analytique en 1D (voir Saanouni et al [SAA 94]) qui donne :

max y X R σ∞ = σ + ∞ + ∞ avec X ^C a ∞ = et R ^Q b ∞ = soit : 400 100 20 520 MPa

σ∞ = + + = où σ∞ est la contrainte atteinte à la saturation des écrouissages. La solution numérique donne σ_∞ =520, 0MPa. On note également que l’écrouissage se sature complètement pour p 5%.

Figure II.8 : Courbe Contrainte-Déformation, comparaison de deux méthodes d’intégration (modèle MAC3)

Pour la solution couplée, on note que l’effet adoucissant de l’endommagement l’emporte sur l’effet de l’écrouissage pour une déformation plastique de l’ordre de p = 4.088% pour une contrainte maximale de 505.8 MPa. La Figure II.9 montre l’évolution de l’endommagement en fonction de la déformation plastique cumulée pour le même modèle MAC3 et les deux algorithmes d’intégration.

Figure II.9: Courbe Endommagement-Déformation, comparaison de deux méthodes d’intégration

Nous avons pu vérifier que les deux algorithmes d’intégration avec les modèles MAC1 et MAC2 avec diverses valeurs de α variant entre 0,1 et 1 donnent des résultats identiques entre les deux schémas d’intégration (implicite et explicite).

Considérons maintenant le modèle MAC3 et étudions l’effet de la compressibilité plastique induite par l’évolution de l’endommagemnet. La résume l’effet du terme de variation pour des valeurs de α de 0, 0.1, 0.2, 0.5 et 1. En terme de rupture containte-déformation on note de la Figure II.10que plus α est grand :

• plus l’effet de l’endommagement est prononcé avec une contrainte maximale atteinte pour approximativement la même déformation plastique cumulée (p 4%) comme suit :

α 0. 0.1 0.2 0.5 1.

max

σ (MPa) 505.806 504.560 503.384 500.156 495.518

• plus le module tangent d’écrouissage ‘négatif’ (dû à l’endommagement) est constant donnant ainsi une phase d’adoucissement plus progressive.

• plus la déformation à rupture (ductilité) est grande avec les valeurs de la déformation plastique cumulée pour un endommagment D^* = 0.85

α 0. 0.1 0.2 0.5 1.

En ce qui concerne la variation de l’endommagement total D^* = D^v +D (Figure II.10.b), de l’endommagement D (Figure II.10.c) et de l’endommagement volumique D^v(Figure II.10.d) on remarque que :

• plus α est grand plus D^v est accéléré mais sans dépasser 0.4 (pour les valeurs de α entre 0 à 1) comme le montre la figure II.11.d.

• la variation de l’endommagement total D^* est plutôt contrôlé par D comme on peut le constater en comparant l’allure des courbes en Figure II.10.b et Figure II.10.c.

(a) (b)

(c) (d)

Figure II.10: Comparaison pour différentes valeurs de α : (a) Contrainte de Von Mises, (b) endommagement total D*, (c) endommagement D et (d) endommagement vomlumique Dv.

Ayant remarqué que D^v reste relativement faible, nous avons examiné le modèle MAC2 qui n’a de couplage qu’avec le seul D^v intervenant sur le seul critère de plasticité, en laissant

inaffectées les modules d’élasticité et d’écrouissage, à l’instar des modèles de type Gurson. On suspecte que le modèle MAC2 ne permet pas de décrire correctement la rupture finale de l’EVR (pour des valeurs faibles de α (α≤1). Nous avons donc simulé les réponses du modèle MAC2 pour des valeur de α allant de 1 à 10 pour un endommagement initial (assimilé à la nucléation) 4

0 10

D = − (voir Figure II.11).

(a) (b)

Figure II.11: Comparaison pour différents α avec le modèle MAC2 (D*= Dv) : (a) Contrainte de Von Mises, (b) endommagement total

En examinant l’allure des courbes de la Figure II.11, on remarque que la ductilité reste assez élevée même pour des valeurs importantes de (α), donnant une tendance asymptotique de la contrainte vers zéro. Ceci confirme que la rupture finale ne sera pas vraiment atteinte (au sens où la contrainte s’annule) pour des valeurs raisonnables de la déformation plastique. Les deux paramètres (α etD₀) sont donc insuffisant pour une description globale de la rupture ductile dans le cas du modèle MAC2

Pour remédier à cette situation, nous avons introduit une modification sur l’évolution de

v

D afin d’assurer une rupture ‘correcte’ de l’EVR à des valeurs souhaitées de la déformation plastique. Par analogie au modèle GTN de Gurson, nous proposons d’introduire une sorte accélération de l’endommagement volumique D^v pour une certaine valeur critique D_crit^v comme suit : ( ) Si + - Si v v v crit v v v v v v

crit crit crit

D D D D D δ D D D D < ⎧⎪⎪ = ⎨_⎪ ≥ ⎪⎩ ^(II.97)

Dans ce cas deux paramètres supplémentaires se rajoutent au modèle Dcrit^v et δ. Dans le Tableau II.1 nous exposons les analogies entre les paramètres du modèle de type Gurson GTN et le modèle MAC2.

Notons que l’endommagement initial D0, a été prévu pour amorcer l’évolution de l’endommagement volumique car en l’absence de D il n’est pas possible de faire évoluer l’endommagement qui est gouverné par la trace de la déformation plastique, on peut donc qualifier D₀ de nucléation. GTN MAC2 Critère q1 et q₂ α Nucléation D (avec B=0) D0 c f D_crit^v Coalescence (1₁ ) ( ) q −fc fF −ff δ

Tableau II.1: Analogie des paramètres entre le modèle GTN et le modèle MAC2

Nous allons dans ce qui suit étudier la réponse du modèle MAC2 en fonction de ses 3 paramètres principaux : α, δ et D₀.

(a) (b) Figure II.12 : Effet de α (a) Contrainte équivalente de Mises (b) Endommagement total, en fonction de la

déformation plastique cumulée (modèle MAC2).

En utilisant les mêmes paramètres élastiques et plastiques et pour un D₀ = 1.e−5 et un facteur d’accélérationδ = 3, la Figure II.12 montre que le paramètre α est un paramètre important pour le contrôle de la ductilité. La rupture y est aussi de plus en plus ‘rapide’ lorsque ce paramètre augmente. La valeur critique D_crit^v est fixée à 0.0005 dans la suite des simulations. Pour

des valeur de α faibles (α <2) on note que le modèle donne une réponse sans aucune influence appréciable de l’endommagement jusqu’à des valeurs de la déformation plastique cumulée de l’ordre des 100% (Figure II.12).

Pour un α égal à 10 et un δ de 3, la Figure II.13 montre que D0 joue un rôle important sur le moment de démarrage de l’endommagement sans modifier la vitesse d’évolution jusqu’à la rupture finale contrairement à l’effet du paramètre de compressibilité α.

Le paramètre d’accélération δ contrôle l’évolution de la vitesse d’endommagement. En effet la Figure II.14 montre clairement que plus ce paramètre augmente plus rapide est la rupture de l’EVR.

(a) (b)

Figure II.13 : Effet de D0 (a) Contrainte équivalente de Mises (b) Endommagement total, en fonction de la déformation plastique cumulée (modèle MAC2).

(a) (b) Figure II.14 : Effet de δ (a) Contrainte équivalente de Mises (b) Endommagement total, en fonction de la

En conclusion, nous avons montré qu’il est possible de formuler un modèle macroscopique ‘unifié’ qui permet de rendre compte de la compressibilité plastique.