Essai de traction

Nous reconsidérons le même essai de traction traité avec le modèle macroscopique (§III.2.1) que nous modélisons en 3D afin de conserver aux grains de l’agrégat leurs orientations spatiales et d’éviter ainsi les hypothèses restrictives d’un calcul 2D sur les composantes des champs mécaniques.

L’éprouvette de dimensions (12×36×1) est discrétisée par 432 éléments finis volumiques c3d20r (20 nœuds et intégration réduite disponible dans la librairie de Zébulon). Le maillage et les conditions aux limites sont illustrés sur la Figure III.20. On note une seule rangée d’éléments dans l’épaisseur, 12 éléments dans la largeur et 36 éléments dans la longueur. La taille de chaque élément est alors de 1mm3.

Figure III.25 : Modélisation de l’éprouvette 3D

Rappelons que chacun des 8 points d’intégration (Gauss) de l’élément est un agrégat de Ng grains de type CFC. Deux agrégats seront traités le premier avec Ng=24 t le deuxième avec Ng=40 (voir figure de pôles sur la Figure II.17). Les coefficients des deux agrégats ont été identifiés sur la base d’un matériau macroscopique de ‘référence’.

III.3.1.1 Agrégat de 24 grains

Pour l’agrégat de 24 grains (Poly24), nous allons présenter les résultats de l’essai de traction pour les deux échelles macroscopique et granulaire. Les coefficients matériau de cet agrégat sont ceux présentés dans le Tableau II.2. Rappelons que ces coefficients ont été identifiés sur une courbe ‘macroscopique’ d’un matériau de référence issu du modèle MAC1 pris comme référence pour les deux agrégats (Figure III.26).

(a) (b)

Figure III.26 : Identification de l’agrégat 24 grains Poly24.

a) Analyse des réponses à l’échelle macroscopique

La Figure III.27 donne une comparaison à différents déplacements entre un calcul couplé et un calcul non couplé, en terme de distribution des déformations plastiques cumulées. Si l’intensité des déformations plastiques à le même ordre de grandeur, le mode de localisation (bandes de cisaillement) diffère dès U=2 mm (Figure III.27.b à d).

Non Couplé Couplé (a) U= 1. mm (b ) U=2 . m m (c) U= 2. 5 m m (d ) U=3 ,0 mm

Figure III.27 : Contours de la déformation plastique cumulée pour les cas couplé et non-couplé pour différentst déplacements de l’éprouvette.

Le calcul non-couplé capte plusieurs modes de localisations (secondaires) sans doute à cause de l’activation simultanée de plusieurs systèmes de glissement cristallin, et finit par localiser en une seule bande centrale (mode fondamental) vers U=2,5 mm. Il s’agit d’un cas typique d’anisotropie traduite par la texture de l’agrégat pour lequel l’axe de chargement est différent de l’axe d’orientation matérielle.

Pour le modèle couplé, la localisation de l’endommagement est donnée sur la Figure III.28 où on remarque qu’elle suit la localisation de la déformation plastique cumulée (Figure III.28.a et b). A partir de U=2.5 mm, on note que l’une des bandes localise plus d’endommagement

max T

D 20% (Figure III.28.c et Figure III.28.d). C’est cette bande qui conduira certainement à la rupture si le calcul continue.

(a) U2=2. mm (b) U2=2.5 mm

(c) U2=3 mm (d) U2=3,06 mm

Figure III.28 : Contours de l’endommagement à différents déplacements de l’éprouvette

La réponse globale en terme de courbe force-déplacement est donnée sur la Figure III.29 pour les deux cas couplé et non couplé. On note que les réponses sont identiques jusqu’a un déplacement U=2.9 mm où l’on note une chute plus rapide de la force pour le cas couplé qui a

immédiatement provoqué un arrêt du calcul par divergence du solveur global à DT 38% à U=3,06 mm.

Figure III.29 : Comparaison des courbes force-déplacement pour les cas couplé et non couplé.

b) Analyse locale des résultats

On s’intéresse maintenant à l’examen des réponses locales des constituants locaux (grains). L’hétérogénéité mécanique de l’agrégat fait que chaque grain a sa propre réponse à la sollicitation extérieure, fut-elle homogène et monotone.

Du point de vue physique, les contraintes internes dans un agrégat sont généralement classées en 3 familles (Figure III.30) :

- Les contraintes d’ordre 3, microscopique à l’échelle du cristal. Ce sont les actions créées par tous les types de défauts cristallins : lacunes, atomes interstitiels, atomes en substitution, dislocations, défauts d’empilement, macles, jusqu’aux joints de grains.

- Les contraintes du 2ème ordre, dues à l’hétérogénéité intergranulaire et à l’anisotropie qui en découle dans un matériau polycristallin. Lors d’une sollicitation mécanique (traction uniforme d’une éprouvette lisse par exemple), certains grains orientés favorablement atteindront avant d’autres la limite d’écoulement, ce qui provoquera une hétérogénéité du comportement lorsque la charge sera supprimée, les retours élastiques se feront donc différemment et plus ou moins librement suivant les grains. Ceci conduira donc les grains dans des états de contraintes (résiduelles du 2ème ordre) non nulles. La moyenne cependant de ces contraintes, c’est-à-dire la résultante générale suivant l’axe de traction, sera nulle à la fin de l’essai (contrainte résiduelle du 1er ordre ou macroscopique). Ce type de contraintes peut être mesuré par diffraction des rayons X.

- Les contraintes résiduelles de 1er ordre, ou macroscopiques, qui se situent à l’échelle d’un EVR ou de la pièce mécanique. Elles sont accessibles à la mesure, par diffraction des rayons X, par Ultrason ou par la méthode du trou par exemple. Généralement, elles expriment la présence d’un gradient spatial de contraintes en absence de chargement externe.

Figure III.30 : Illustration schématique de la distribution des contraintes macroscopiques d’ordre 1 , inter-granulaires d’ordre 2 σ_II et intra-granulaires microscopiques d’ordre 3 σ_III dans un matériau polycristallin

d’après [DYE 01]

Ces trois types de contraintes sont, bien entendu, couplés les uns aux autres. Ce sont les contraintes du premier ordre ou contraintes macroscopiques qui intéressent le mécanicien ou les bureaux d’études. Cependant, les contraintes de 2ème ordre sont également très importantes, car elles sont l’indicateur de l’état d’écrouissage et d’endommagement du matériau [LU 03].

Dans l’éprouvette de traction, la localisation de l’écoulement plastique dans des zones spécifiques (bandes de localisation) provoque naturellement une décharge élastique des points se trouvant en dehors des bandes de localisation.

Nous allons examiner la distribution des champs de contrainte locaux en un certain nombre de grains pour une sollicitation extérieure U=4,39 mm. La Figure III.31 montre la distribution des contraintes macroscopiques ∑₂₂ obtenues par le calcul non couplé à cet instant. Si la grande majorité des éléments sont en traction (∑22 >0), il existe des éléments en compression (∑22 >0) et quelques autres avec des contraintes nulles (∑22 =0). Ceci semble lié aux conditions aux limites car les têtes de l’éprouvette sont totalement bloquées et la striction à tendance à faire glisser l’écoulement le long de la bande de cisaillement à cause de l’anisotropie induite par la texture de l’agrégat.

Examinons à présent les réponses locales dans les points (ou agrégats) suivants (Figure III.31) :

- Point de Gauss N° 1 de l’élément 386 (El351-Pi2) et

- Point de Gauss N°1 de l’élément 351 (El386-Pi6).

Elément 80 point d’intégration 2 Elément 386 point d’intégration 6 Elément 351 point d’intégration 1 Elément 16 point d’intégration 6 Elément 80 point d’intégration 2 Elément 386 point d’intégration 6 Elément 351 point d’intégration 1 Elément 16 point d’intégration 6

Figure III.31 : Distribution des contraintes macroscopiques Σ22 dans l’éprouvette

- La réponse macroscopique des agrégats (équivalent aux points d’intégration ou Gauss) est donnée en Figure III.32.a pour les trois points sélectionnés, pour le même niveau de chargement extérieur (U=3,44 mm) et pour les deux cas couplé et non couplé. On note qu’entre les deux cas, ces points ont bien subis une décharge élastique mais à des niveaux de déformations différents. Pour le cas non couplé (où la décharge est totale), les distributions des contraintes granulaires à l’intérieur de chacun des trois agrégats sont données en Figure III.32.b, c et d. On remarque que cette distribution est presque identique pour les trois agrégats à quelques petites variations près. Ceci semble indiquer que ces trois agrégats ont subi la même histoire de chargement. Si on examine de près un grain en particulier, le grain numéro 10 par exemple, on remarque que les contraintes sont en décharge élastique dans les deux cas couplé et non couplé (Figure III.33).

On remarque également une différence notable dans la distribution des systèmes de glissement cristallins γs entre deux agrégats l’un situé à l’intérieur de la bande de localisation. (El16-Pi6) ou à l’extérieur (El351-Pi1) :

- Les glissement se saturent avec peu de différence dans les deux cas couplé et non couplé pour l’agrégat en dehors de la bande de localisation (Figure III.34.a et Figure III.34.b) à cause de la décharge élastique.

- A l’intérieur de la bande (dans El16-Pi6) les glissements continuent à croître (Figure III.34.c) et (Figure III.34.d) avec une différence notable entre le cas couplé et le cas non couplé : Plusieurs systèmes se bloquent à cause de la croissance de l’endommagement

dans le cas couplé, alors que dans le cas non couplé la densité des systèmes activés reste constante.

(a) (b)

(c) (d)

Figure III.32 : (a) Courbe contraintes-déformations macroscopiques pour les 3 agrégats et niveaux des contraintes granulaires finale : (b) El80-Pi2 (c) EL386-Pi6 (d) El351-Pi1.

(a) El351-Pi1 Couplé (b) El351-Pi1 Non couplé

(c) El16-Pi6 Couplé (d) El16-Pi6 Non couplé

Figure III.34 : Evolution des glissements dans les agrégats El351-Pi1 et El16-Pi6 en couplé et non couplé III.3.1.2 Agrégat de 40 grains

a) Analyse des résultats à l’échelle macroscopique

Ce deuxième agrégat polycristallin (Poly40) est étudié sous les mêmes conditions que pour l’agrégat Poly24 : même éprouvette, même maillage et soumise aux mêmes conditions aux limites. Les coefficients du matériau sont identifiés sur la même courbe ‘macroscopique’ qui a servi à l’identification de l’agrégat à 24 grains (Poly24). Dans le Tableau III.5 nous donnons les paramètres utilisés pour cet agrégat.

La Figure III.35 montre la réponse macroscopique en terme de courbes contrainte équivalente et endommagement macroscopiques en fonction de la déformation E11. Ce résultat compare la réponse de l’agrégat Poly40 en utilisant les paramètres du tableau Tableau III.5 avec la même courbe de référence retenue pour le Poly24 (voir II.4.2).

Elasticité

macroscopique intergranulaire ^Ecrouissage intragranulaire ^{Ecrouissage Endommagement}

E=200. GPa

ν

=0.3 C=23082 MPa a=30.13

σ

₀=400. MPa Q=50. MPa b=6.851 h1=1., h2=1., h3=2. , h4=1.5,h5=1,h6=2.5 K=50 MPa, n=25. S=121.28 MPa

β

=1. m=4.05

α

=0.1

Tableau III.5 : Coefficient du matériau Poly40

(a) (b)

Figure III.35 : Identification du Poly40 (a) Contrainte équivalente de Mises macroscopique (b) Endommagement macroscopique

Comme pour le Poly24, l’essai de traction a été simulé pour le Poly40 en utilisant un calcul couplé à l’endommagement et un calcul non couplé.

La Figure III.36 donne la distribution de la déformation plastique cumulée dans l’éprouvette à différents déplacements imposés. On note le passage progressif d’un état relativement homogène dans la partie centrale de l’éprouvette avec une déformation plastique cumulée maximale pmax de l’ordre de 9% pour les deux cas (Figure III.36.b), à une striction diffuse pmax 13,4% pour le calcul non couplé et pmax 15% pour le cas couplé (Figure III.36.c), puis à une striction localisée à pmax 38,1% pour le calcul non couplé et pmax 71, 3% pour le calcul couplé (Figure III.36.d). D’autre part, on note que le déroulement des étapes de la localisation pour cet agrégat est assez proche des cas macroscopiques, ce qui confirme la nature quasi-isotrope de l’agrégat Poly40. La distribution de l’endommagement macroscopique dans l’éprouvette pour quelques valeurs du déplacement imposé est donnée en Figure III.37. On note une différence notable dans la localisation de l’endommagement avec l’agrégat Poly24 (Figure III.28). En effet, pour ce dernier, la symétrie des bandes est rompue par une localisation de l’endommagement macroscopique (DmaxT =20% à U=3mm) dans l’une des deux bandes. Par contre pour l’agrégat Poly40, on

observe que la symétrie est encore préservée jusqu'à U=2,88mm pour DmaxT =50%. Cet endommagement maximum semble se concentrer à l’intersection des deux bandes donnant une ‘fissure’ macroscopique qui semble se propager perpendiculairement à l’axe de sollicitation. Ceci est différent de l’agrégat Poly24 où la fissure prend visiblement la direction de la première bande de cisaillement (Figure III.28).

La Figure III.38 compare les réponses macroscopiques de l’éprouvette pour les deux calculs. Comme pour l’agrégat Poly24, le calcul couplé s’arrête à cause d’une difficulté de convergence du schéma itératif global (en analyse SI) pour un déplacement imposé de l’ordre de 2,9 mm (Figure III.37). On note que l’effet de l’endommagement sur la réponse globale commence à se faire sentir aux alentours de 2,2 mm.

Non Couplé Couplé (a) U 2=1 . m m (b ) U2= 2. mm (c) U 2=2 .3 8 m m (d ) U2= 2, 88 m m

Figure III.36 : Contours de la déformation plastique cumulée pour les cas couplé et non-couplé pour différent déplacements de l’éprouvette.

U2=2. mm U2=2.38 mm U2=2.88 mm

Figure III.37 Contours de l’endommagement

Figure III.38 Comparaison de la courbe force-déplacement pour un calcul couplé et un calcul non couplé (Poly40).

b) Analyse locale des résultats

Examinons maintenant les réponses locales en quelques points de Gauss (ou Agrégats). La distribution de la contrainte macroscopique ∑22 est positive (traction) partout dans l’éprouvette sauf en quelques points se trouvant sur les bords (haut et bas) de la zone de localisation où les contraintes s’annulent et passe en compression (Figure III.39.a).

Considérons les points d’intégration suivants (Figure III.39.b) :

- point Gauss n° 2 de l’élément 57 (El57-Pi2)

- Gauss n° 2 l’élément 233 de l’élément 381 (El381-Pi6)

Élément 57 Point d’intégration 2 Élément 381 Point d’intégration 6 Élément 233 Point d’intégration 2 Élément 57 Point d’intégration 2 Élément 381 Point d’intégration 6 Élément 233 Point d’intégration 2 (a) (b)

Figure III.39 (a) Distribution de la contrainte ∑22 pour le calcul non couplé à U=5 mm.

Les courbes contraintes-déformations macroscopiques suivant la direction de sollicitation sont présentées sur la (Figure III.40) pour le calcul non couplé. La décharge est totale aux 3 points pour un calcul non couplé qui est allé jusqu'à U=5 mm (Figure III.40.a). Par contre pour le calcul couplé la décharge est partielle à cause de l’arrêt du calcul par difficulté de convergence à U=2,88 mm.

(a) Non Couplé (b)Couplé

Figure III.40 : Courbe contraintes-déformations (a) Cas non- couplé (b) Cas couplé

L’état des contraintes σ₂₂g de chaque grain de ces trois agrégats est présenté sur la Figure III.41 pour les deux cas couplé et non couplé. On note bien que les contraintes sont en décharge pour touts les grains de l’agrégat. Quelques uns passent même de la traction à la compression pour un calcul non couplé, alors que σ₂₂g reste en traction pour le calcul couplé à U=2,88 mm.

Non Couplé Couplé (a) El57 -Pi2 (b) El233-P i2 (c) El381 -Pi6

Figure III.41 : Contraintes granulaires dans les EVR El57-Pi2 EL233-Pi2 et El381-Pi6 en 3D.

Dans le document Modélisation macro et micro-macro des matériaux polycristallins endommageables avec compressibilité induite (Page 156-170)