Solutions



Vol. 2 • été – automne 2007

Modélisation du débit sanguin



a)LegraphiquegénéréparlasimulationsurExcelestlesuivant:

OnpeutinférerqueA1≈4etA2≈–10.

b)Pour0≤t<4,onaP(t)=P₁(t)=A₁e–t/RC _et  Q(t)=0.



 Pour4≤t<9,onaP(t)=P₂(t)=A2e–t/RC+5Ret

 Q(t)=5. 

Solutions

été-automne 2007

A B C D E F G H I J K L M N C: R: dt: 4,0 1,0 1,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 5 5 5 5 5 0 0 t Q(t) 4 3 2,25 1,6875 1,265625 2,19921875 2,89941406 3,42456054 3,81842041 4,11381530 3,08536148 -1 -0,75 -0,5625 -0,421875 0,9335937 0,70019531 0,52514648 0,39385986 0,29539489 -1,02845382 -0,77134037 3,987785517 3,105690483 2,41871418 1,883696498 1,467024307 2,248515764 2,857141922 3,331140451 3,700290877 3,987785517 3,105690483 0% 3% 7% 10% 14% 2% 1% 3% 3% 3% 1% P(t) P1-2(t) A2 = -9,603623625 A1 = 3,987785517 dP(t) Q(t) P(t) dP(t) P_1-2(t) 0 5 10 15 20 25 30 35 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 E7 fx =$F$3*EXP(-B7/($B$3*$B$2)) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 2 3 4 1 Erreur c) P₁(4)=P₂(4),d’oùA₁e–4/RC_=A 2e–4/RC+5R(1)  P1(0)=P2(9),d’oùA1=A2e–9/RC+5R (2)  Endivisant(1)pare–4/RC_:  A1=A2+5Re4/RC (3)  Ensoustrayant(2)de(3):  0=A2(1–e–9/RC)+5R(e4/RC –1)  Etdonc:  Qu’onpeutsubstituerdans(2): A₁=A₂e–9/RC_{+5R≈3,988}

 On peut ensuite comparer la solution



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Formule d’Euler

a) Letétraèdrerégulieraquatrefacestriangulaires.



 Chaque face a trois arêtes et deux faces  voisinessepartagentunearête.Lenombre  totald’arêtesestdonc:

.

 Chaquefaceatroissommetsettroisfaces voisines se rejoignent en un sommet. Le nombretotaldesommetsestdonc: .  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=4–6+4=2.  Letétraèdresatisfaitdonclaloid’Euler. b) Ledodécaèdrerégulieradouzefacespen-tagonales.

 Chaque face a cinq arêtes et deux faces voisinessepartagentunearête.Lenom-bretotald’arêtesestdonc:

.

 Chaquefaceacinqsommetsettroisfaces voisines se rejoignent en un sommet. Le nombretotaldesommetsestdonc: .  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=20–30+12=2.  Ledodécaèdresatisfaitdonclaloid’Euler. c) L’octaèdrerégulierahuitfacestriangulaires. 

 Chaque face a trois arêtes et deux faces voisinessepartagentunearête.Lenom-bretotald’arêtesestdonc:

.

 Chaque face a trois sommets et quatre facesvoisinesserejoignentenunsommet. Lenombretotaldesommetsestdonc: S=3 8× = 4 6 .  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=6–12+8=2.  L’octaèdresatisfaitdonclaloid’Euler. d)L’icosaèdrerégulieravingtfacestriangulaires.   Icosaèdre

 Chaque face a trois arêtes et deux faces voisinessepartagentunearête.Lenom-bretotald’arêtesestdonc:

.

 Chaquefaceatroissommetsetcinqfaces voisines se rejoignent en un sommet. Le nombretotaldesommetsestdonc: S= × =3 20 5 12 .  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=12–30+20=2.  L’icosaèdresatisfaitdonclaloid’Euler.

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Loi de Descartes

1.a)Àchaquesommetdutétraèdrerégulier

se rencontrent trois triangles équilaté-rauxfaisantchacununangledeπ/3rad. 



  La somme de ces trois angles est de π rad.Lemanqueenunsommetestdonc 2π – π = π rad. Puisqu’il y a quatre sommets,lasommedesmanquesest: 4×π=4πrad.   Letétraèdreréguliersatisfaitdonclaloi deDescartes.  b) Àchaquesommetdudodécaèdrerégulier serencontrenttroisfacespentagonales faisantchacununanglede3π/5rad.   Lasommedecestroisanglesestde9π/5 rad.Lemanqueenunsommetestdonc 2π–9π/5=π/5rad.Puisqu’ilyavingt sommets, la somme des manques est :

  Ledodécaèdreréguliersatisfaitdoncla loideDescartes.  c) Àchaquesommetdel’octaèdrerégulier serencontrentquatretriangleséquilaté-rauxfaisantchacununangledeπ/3rad.    Lasommedecesquatreanglesestde 4π/3rad.Lemanqueenunsommetest donc2π–4π/3=2π/3rad.Puisqu’ilya sixsommets,lasommedesmanquesest:

  L’octaèdre régulier satisfait donc la loi deDescartes.

 d) Àchaquesommetdel’icosaèdrerégulier

se rencontrent cinq triangles équilaté-rauxfaisantchacununangledeπ/3rad.     Lasommedecestroisanglesestde5π/3 rad.Lemanqueenunsommetestdonc 2π–5π/3=π/3rad.Puisqu’ilyadouze sommets,lasommedesmanquesest:   L’icosaèdreréguliersatisfaitdonclaloi deDescartes.

Les prismes

a)Leprismetriangulaireadeuxfacestrian-gulairesettroisfacesrectangulaires.  Chaquefacetriangulaireatroisarêtes,ce quidonne2×3=6arêtes.Chaqueface rectangulaireaquatrearêtes,cequidonne 3 × 4 = 12 arêtes.  Deux faces voisines se partagent une arête, le nombre total d’arêtesestdonc: .  Chaquefacetriangulaireatroissommets. Chaquefacerectangulaireaquatresom-mets.Troisfacesvoisinesserejoignenten unsommet.Lenombretotaldesommets estdonc: .

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V Vol. 2 • été – automne 2007  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=6–9+5=2.  Leprismetriangulairesatisfaitdonclaloi d’Euler.  Àchaquesommetduprismetriangulaire se rencontrent un triangle équilatéral et deuxrectangles.

 Lasommedesanglesdecespolygonesestde 4π/3rad.Lemanqueenunsommetestdonc 2π – 4π/3 = 2π/3 rad. Puisqu’il y a six sommets,lasommedesmanquesest:

 Leprismetriangulairesatisfaitdonclaloi deDescartes.

b) Le prisme quadrangulaire a deux faces

carréesetquatrefacesrectangulaires.

 Chaque face carrée a quatre arêtes, ce quidonne2×4=8arêtes.Chaqueface rectangulaire a également quatre arêtes, ce qui donne 4 × 4 = 16 arêtes.  Deux faces voisines se partagent une arête, le nombretotald’arêtesestdonc:

.

 Chaque face carrée et chaque face rectangulaire a quatre sommets et trois facesvoisinesserejoignentenunsommet. Lenombretotaldesommetsestdonc:

.

 En substituant dans la formule d’Euler, onobtient: S–A+F=8–12+6=2.  Leprismequadrangulairesatisfaitdoncla loid’Euler.  Àchaquesommetduprismequadrangulaire serencontrentuncarréetdeuxrectangles.  Lasommedesanglesdecespolygonesestde 3π/2rad.Lemanqueenunsommetestdonc 2π – 3π/2 = π/2 rad. Puisqu’il y a huit sommets,lasommedesmanquesest:

 Leprismequadrangulairesatisfaitdoncla loideDescartes.

c) Le prisme pentangulaire a deux faces

pentagonalesetcinqfacesrectangulaires.

 Chaquefacepentagonaleacinqarêtes,ce quidonne2×5=10arêtes.Chaqueface rectangulaireaquatrearêtes,cequidonne 4 × 5 = 20 arêtes.  Deux faces voisines se partagent une arête, le nombre total d’arêtesestdonc: .  Chaquefacepentagonaleacinqsommets, chaquefacerectangulaireaquatresom-metsettroisfacesvoisinesserejoignent enunsommet.Lenombretotaldesom-metsestdonc: .  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=10–15+7=2.  Leprismepentangulairesatisfaitdoncla loid’Euler.

V

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 À chaque sommet du prisme pentangu-laireserencontrentunpentagoneetdeux rectangles.



 Lasommedesanglesdecespolygonesestde 8π/5rad.Lemanqueenunsommetestdonc 2π – 8π/5 = 2π/5 rad. Puisqu’il y a dix sommets,lasommedesmanquesest:  Leprismepentagulairesatisfaitdonclaloi deDescartes. d)Leprismen-angulaireadeuxfacesn-agonales etnfacesrectangulaires.  Chaquefacen-agonaleanarêtes,cequi

donne 2 ×n = 2n arêtes. Chaque face

rectangulaireaquatrearêtes,cequidonne

4 ×n = 4n arêtes.  Deux faces voisines

se partagent une arête, le nombre total d’arêtesestdonc:

.

 Chaque face n-agonale a n sommets,

chaque face rectangulaire a quatre som-metsettroisfacesvoisinesserejoignent enunsommet.Lenombretotaldesommets estdonc: .  Ensubstituantdanslaformuled’Euler,on obtient: S–A+F=2n–3n+(n+2)=2.  Leprismen-angulairesatisfaitdonclaloi d’Euler.  Àchaquesommetduprismen-angulairese rencontrentunn-agoneetdeuxrectangles. Lasommedesanglesdecespolygonesestde (2n–2)π/nrad.Lemanqueenunsommet estdonc  . 

Puisqu’il y a 2n sommets, la somme des

manquesest:

.

 Leprismen-angulairesatisfaitdonclaloi

deDescartes.

Les polyèdres (collégial)

a)Lenombredefacesest .

 PuisqueF_nfacesontchacunenarêteset

que chaque arête est partagée par deux faces,lenombretotald’arêtesest:  .  Puisquechaquesommetappartientàtrois faces,lenombretotaldesommetsest:  .  EnsubstituantdansS–A+F=2,ona:   .  D’où et  . b) F_n = 0 sin≠4etn≠6.Pourn=4,la formuleobtenueenapermetd’écrire: F₄(6–4)+F₆(6–6)=12,  quidonneF₄=6.

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Les solides troués

a)Lesolideasixfacesrectangulairesetsix

facestrapézoïdales.

 Chaquefacerectangulaireaquatrearêtes, cequidonne4×6=24arêtes.Chaqueface trapézoïdaleaquatrearêtes,cequidonne 4 × 6 = 24 arêtes. Deux faces voisines se partagent une arête, le nombre total d’arêtesestdonc: .  Chaquefacerectangulaireaquatresom-mets,chaquefacetrapézoïdaleégalement etquatrefacesvoisinesserejoignenten unsommet.Lenombretotaldesommets estdonc: .  Onadonc: S–A+F=12–24+12=0.

b) Le solide a huit faces rectangulaires et

huitfacestrapézoïdales.



 Chaquefacerectangulaireaquatrearêtes, cequidonne4×8=32arêtes.Chaqueface trapézoïdaleaquatrearêtes,cequidonne 4 × 8 = 32 arêtes. Deux faces voisines se partagent une arête, le nombre total d’arêtesestdonc: .  Chaquefacerectangulaireaquatresom-mets,chaquefacetrapézoïdaleégalement etquatrefacesvoisinesserejoignenten unsommet.Lenombretotaldesommets estdonc: .  Onadonc: S–A+ F=16–32+16=0.

Les nombres complexes

a)(2–3i)+(-5+2i)=–3–i

b) (2–3i)×(-5+2i)=–10+15i+4i–6i2

 =–10+19i+6=–4+19i

c)

d)

e) Soit a + bi, un nombre complexe. Il est

représenté par un vecteur dont la pente

deladroitesupportestb/a.

 Enmultipliantpari,onobtient:

 (a+bi)i=ai+bi2_{=–b+ai.}  Ce nombre complexe est représenté par

un vecteur dont la pente de la droite

supportest–a/b.

 Puisqueleproduitdespentesest–1,les droites support sont perpendiculaires et lesvecteurségalement.Levecteuradonc subitunerotationdeπ/2rad.

f) Puisquei2_{=–1,onai}3_=i×i2_{=–1×i=–i.}

 Demêmei4_=i2_×i2_{=–1×–1=1,ainsi} desuite. 1 i i 2 _{= –1} i 3 _{= –i} i 4 _{= 1}

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