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D325 : Un cousin du rhombicosidodécaèdre

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Academic year: 2022

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D325 : Un cousin du rhombicosidodécaèdre

Le rhombicosidodécaèdre est un polyèdre qui a 60 sommets, 120 arêtes et 62 faces (voir

http://www.mathcurve.com/polyedres/rhombicosidodecaedre/prhombicosidodecaedre.shtml). L’une de ses propriétés est que quatre arêtes partent de chaque sommet.

Le polyèdre convexe que je viens de fabriquer à partir d’une belle bille de chêne est son « cousin ». De chaque sommet partent au moins quatre arêtes et il y a exactement deux sommets d’où partent six arêtes.

J’ai réussi à réaliser deux faces hexagonales et deux faces octogonales. Je fais un décompte (trop) rapide des faces triangulaires qui sont au nombre de 22.

Prouver que ce dernier décompte est erroné.

Si s est le nombre de sommets, a le nombre d’arêtes et f le nombre de faces, on a la relation d’Euler s+f=a+2. Puisque de chaque sommet partent au moins quatre arêtes, et six pour deux d’entre eux, 2a≥4s+4, soit s≤a/2-1, donc f=a-s+2≥a/2+3. Par ailleurs f=f

3

+f

4

+…+f

k

+…, où f

k

est le nombre de faces comportant k arêtes. On a alors

2a=3f

3

+4f

4

+…+kf

k

+…, ou a/2=3f

3

/4+f

4

+…+kf

k

/4+…=f-f

3

/4+…+(k-4)f

k

/4+…≥f-f

3

/4+f

6

/2+f

8

,

donc a/2≥f-f

3

/4+3 et f≥f+6-f

3

/4, donc f

3

≥24. Il ne peut donc y avoir moins de 24 faces

triangulaires.

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