D325. Un cousin du rhombicosidodécaèdre
Le rhombicosidodécaèdre est un polyèdre qui a 60 sommets, 120 arêtes et 62 faces (voir htttp://www.mathcurve.com/polyedres/ rhombicosidodecaedre/prhombicosidodecaedre.shtml).
L’une des ses propriétés est que quatre arêtes partent de chaque sommet.
Le polyèdre convexe que je viens de fabriquer à partir d’une belle bile de chêne est Son « cousin » . De chaque sommet partent au moins quatre arêtes et il a exactement deux sommets d’où partent six arêtes.
J’ai réussi à réaliser deux faces hexagonales et deux faces octogonales. Je fais in décompte (trop) rapide des faces triangulaires qui sont au nombre de 22.
Prouver que ce dernier décompte est erroné.
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Le polyèdre possède A arêtes, S sommets et F faces.
On connaît la relation A + 2 = F + S.
Le nombre d’arêtes A est la moitié du nombre de côtés de tous les polygones.
Avec 2 hexagones, 2 octogones , x triangles, q carrés, p pentagones, h heptagones, d décagones
F = 4 + x + q + p+ h + d
2 A = 12 + 16 + 3x + 4q + 5p +7h+10d soit A = 14 + (3x + 4q + 5p +7h+1d)/2 On a aussi 2 A >= 4 S +4
A + 2 = 16 +(3x + 4q + 5p +7h+10d )/2 = S + (4 +x + q + p+ h+d)
Donc S = 12 +(x+2q+3p+5h+8d)/2 A = 14 +(3x + 4q + 5p +7h+10d )/2
A >= 2S + 2 entraîne 14 +(3x + 4q + 5p +7h+10d )/2>= 26 +x +2q+3p+5h+8d Soit 3x+4q+5p+7h+10d>=24+2x+4q+6p+10h+16d soit
x >= 24+ 0.q + p+3h + 6d
On voit que des faces carrées ne changent pas le nombre minimum de 24 triangles.
Par contre, des faces à 5 , 7, 10 côtés l’augmentent. Une face ayant c côtés l’augmente de c-4.
Il doit donc y avoir au moins 24 triangles.
