S U I TE S N U MÉR I QU E S
Qu’est-ce qu’une suite numérique ?
Une suite numérique est une suite de nombres qui s’enchaînent avec une certaine logique de fonctionnement.
Exemples
♦ 6 ; 15 ; 37,5 ; 93,75 ; 234,375 ; … : pour passer d’un nombre au nombre suivant, on multiplie par 2,5
♦ 0 ; 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; 216 ; 343 ; … est la suite du cube des nombres entiers naturels
♦ 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19; 23 ; … est la suite des nombres premiers
Notation et vocabulaire
Il s’agit de trouver un moyen simple de repérer la position d’un nombre dans la liste.
Exemples
♦ Suite de Fibonacci :
position ℕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
valeur ℝ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
♦ On place 10 000 € sur un compte bancaire rémunéré à un taux annuel de 2 % mais on retire 300 € par an :
n 0 1 2 3 4 5
un 10 000 9 900 9 798 9 693,96 ~ 9 587,84 ...
u1 u2 u3 etc...
Remarque
un est le terme de rang n .
Comment écrit-on le terme qui le précède ? → u n – 1
le terme qui le suit ? → u n + 1
rang (ou indice)
terme ( de rang n )
la suite dans sa globalité :
( un ) ou ( u ) ou u
u0
terme initial 1er terme
Modes de génération d’une suite numérique
Si certaines suites ne peuvent pas être modélisées par des formules (suite des chiffres qui composent le nombre p, suite des nombres premiers), la plupart des suites peuvent être générées ( = créées ) par des formules.
Il existe deux façons de générer une suite numérique :
par une formule explicite : un terme se calcule directement ( même principe que les fonctions )
Exemples Pour tout n ℕ : ♦ un=n2
♦ vn=2n+1
♦ wn= n+ 1 n+ 4
Ici, on peut calculer directement le terme de rang 12 ( par exemple ) :
♦ u12=122=144
♦ v12= 2×12+1=25
♦ w12= 12+1 12+4= 13
16 =0,8125
par une formule de récurrence : un terme se déduit du précédent
Exemples Pour tout n ℕ : ♦ cn+1=cn × 4 avec c1 = 3
♦ en+1=en −8 avec e1 = 221
♦ gn+1=2× gn+ 1 avec g1 = 6
♦ Cn+1=Cn × 1,02−300 avec C0 = 10 000
Attention, ici, on ne peut pas calculer directement le terme de rang 12, il faut d’abord calculer celui de rang 11, et donc avant celui de rang 10 , etc... Les calculs s’effectuent donc de « proche en proche » et il est donc
impératif de préciser la valeur du premier terme.
Remarque
On peut également définir des suites par une relation de récurrence où un terme se déduit non pas du précédent mais des précédents, c’est le cas de la suite de Fibonacci : Fn+2 =Fn+1 + Fn
Représentation graphique d’une suite
Dans un repère du plan, on peut placer les points Pn de coordonnées (n ; un) . On obtient ainsi un nuage de points qui est la représentation graphique de la suite (un).
Exemple
Pour tout n de ℕ, on donne : un=0,5n2−3.
On peut construire le tableau de valeurs, ci-dessous, avec les premiers termes de la suite :
n 0 1 2 3 4 5
un − 3 − 2,5 − 1 1,5 5 9,5
Alors, on obtient la représentation graphique de la suite (un), ci-dessous :
Programmation avec la calculatrice
pour les formules explicites, il suffit d’utiliser le tableur de la calculatrice et de régler le pas à 1
pour les relations de récurrence, il faut utiliser une boucle POUR
langage naturel CASIO TEXAS
Saisir N ( rang à atteindre) Initialiser le premier terme Pour i allant de 1 à N
U ← 4 × U – 6 Fin Pour
Afficher U
"N=" : ?→ N 3 → U
For 1 → I To N 4 × U – 6 → U Next
U ◢
Prompt N 3 → U
For ( I , 1 , N ) 4 * U – 6 → U End
Disp U
Programmation avec Python
il faut également utiliser une boucle POUR
pour les relations de récurrence
1er terme rang à atteindre
créée une boucle qui va tourner N fois
mais attention, i prendra les valeurs de 0 à N – 1
créée une liste, le premier et unique nombre de cette liste est U ( syntaxe pour les listes : [ … ] ) "append" permet d’ajouter un nombre à la liste précédente, ce qui permet de remplir cette liste au fur et à mesure avec les valeurs des termes de la suite
pour les formules explicites
Suite arithmétique
Défnition
Dans une suite arithmétique, un terme se déduit du précédent en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison et souvent noté r .
Exemples
① u0 = 14,9 - u1 = 22,7 - u2 = 30,5 - u3 = 38,3 - u4 = 46,1 - ...
② w1 = 350 - w2 = 323 - w3 = 296 - w4 = 269 - w5 = 242 - ...
Formules
pour tout entier naturel n :
► formule de récurrence : u n + 1 = u n + r « Exprimer u n + 1 en fonction de u n »
► formule explicite : u n = u 0 + n × r « Exprimer u n en fonction de n » u n = u 1 + ( n – 1 ) × r
Exemples
① u n + 1 = u n + 7,8 et u n = 14,9 + n × 7,8
② w n + 1 = w n – 27 et w n = 350 + ( n – 1 ) × ( – 27 )
③ ( a n ) est une suite arithmétique de 1er terme a 1 = 152,25 et de raison r = 11,47 . Calculer a 2019.
④ ( b n ) est une suite arithmétique de 1er terme b 0 = 472 et telle que b 1612 = 2890 . Calculer la raison.
Sens de variation
► si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante
► si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante Exemples
① 7,8 > 0 donc la suite ( u n ) est croissante
② – 27 < 0 donc la suite ( w n ) est décroissante
Suite géométrique
Défnition
Dans une suite géométrique, un terme se déduit du précédent en multipliant toujours par le même nombre, appelé raison et souvent noté q .
Exemples
① v0 = 120 - u1 = 126 - u2 = 132,3 - u3 = 138,915 - ...
② z1 = 8 000 - w2 = 6 400 - w3 = 5 120 - w4 = 3 276,8 - ...
Formules
pour tout entier naturel n :
► formule de récurrence : v n + 1 = v n × q « Exprimer v n + 1 en fonction de v n »
► formule explicite : v n = v 0 × q n « Exprimer v n en fonction de n » v n = v 1 × q n – 1
Exemples
① v n + 1 = v n × 1,05 et v n = 120 × 1,05 n
② z n + 1 = z n × 0,8 et z n = 8 000 × 0,85 n – 1
③ ( c n ) est une suite géométrique de 1er terme c 1 = 550 et de raison q = 1,023 . Calculer c 24.
④ ( d n ) est une suite géométrique de 1er terme d 0 = 2 400 et telle que d 2 = 864 . Calculer la raison.
Sens de variation
► si q > 1 alors la suite géométrique est croissante
► si 0 < q < 1 alors la suite géométrique est décroissante Exemples
① 1,05 > 0 donc la suite ( v n ) est croissante
② 0 < 0,8 < 1 donc la suite ( z n ) est décroissante
