I.1 Valeur propre et vecteurs propres

Diagonalisation de matrices carrées

Dans tout ce chapitre,K=Rou K=C. E désigne un K−espace vectoriel.

I Éléments propres d'un endomorphisme

I.1 Valeur propre et vecteurs propres

Soit f ∈L(E), A∈M_n(K) etλ∈K.

On dit que λ est une valeur propre de l'endomorphisme f ssi

∃x∈E ; x6=−→

0_E et f(x) =λ x De même, λ est appelé valeur propre de la matriceA lorsque

∃U ∈M_n,1(K) ; Dénition 1

I.2 Sous-espaces propres

Soit f ∈L(E), A∈Mn(K) etλ∈K.

Siλ est une valeur propre de f, alors tout vecteur x non nul vériant f(x) = λ x est appelé . . .

L'ensembleKer(f−λidE)est appelé le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ. On le noteE_λ(f).

E_λ(f) =

Siλest une valeur propre deA, alors toute matrice colonne non nulleU ∈Mn,1(K) vériant AU =λ U est appelée

Dénition 2

Exemple : posons E =C^∞(R,R)

et considérons l'endomorphisme de dérivation u : E −→ E f 7−→ f⁰

I.3 En dimension nie

On suppose pour toute la suite du chapitre, que E est un espace vectoriel de dimension nie n∈N^∗. Soit f un endomorphisme de E,B une base de E etA= Mat_B(f). Alors :

. λest une valeur propre de f ssi λ est une valeur propre de A.

. −→x ∈E est un vecteur propre de f associé à λ ssi le vecteur colonne associé à −→x dans la base B est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.

. Soit f ∈L(E). λ∈K est une valeur propre def ssif −λidE n'est pas . . . . Soit A∈Mn(K).λ ∈Kest une valeur propre de A ssi det(A−λI_n)

Théorème 1

Corollaire : Soit A∈M_n(K). 0 est une valeur propre deA ssi det(A)

Soit λ₁, λ₂ . . . , λ_p des valeurs propres deux à deux distinctes d'un endomorphisme f ∈L(E).

Si−→u₁,−→u₂, . . . ,−→u_p sont des vecteurs propres associés, alors(−→u₁,−→u₂, . . . ,−→u_p)est une famille . . .

Proposition 2

Tout endomorphisme deE admet au plus Preuve : par récurrence surp∈N^∗.

On dit que des sous-espaces vectoriels F₁, F₂, F₃ sont en somme directe ssi Dénition 3 ( se généralise à p s.e.v. de E oùp>3)

Corollaire :

Soitf un endomorphisme de E admettant pvaleurs propres deux à deux distinctes λ₁, λ₂ . . . , λ_p. Alors les sous-espaces propres associésE_λi(f) sont en somme directe.

II Polynômes d'endomorphismes

II.1 Dénition

Soit P ∈K[X] un polynôme : P(X) =

m

X

k=0

a_kX^k.

. Sif ∈L(E), on note P(f)l'endomorphisme de E déni par :

∀x∈E, P(f)(x) =

m

X

k=0

a_kf^k(x) où f⁰ =idE et f^k =f◦f ◦ · · · ◦f

| {z }

k f ois

. SiA∈M_n(K), on note P(A)la matrice dénie par P(A) = Dénition 4

Soit P etQ deux polynômes de K[X], f un endomorphisme de E etµ∈Kun scalaire.

Alors (µ P+Q)(f) = ; (P×Q)(f) =

Si ∃x∈E ; f(x) =µ x alors P(f)(x) = Proposition 3

Preuve : on suppose quef(x) =µ x

II.2 Polynômes annulateurs

. Soit P ∈K[X] etf ∈L(E).

On dit que P est un polynôme annulateur de f ssiP(f) =

. Soit P ∈K[X] etA∈M_n(K). On dit que P est un polynôme annulateur de A ssi Dénition 5

Exemple : un endomorphismef ∈L(E) est appelé projecteur ssi f◦f =f. Un polynôme annulateur def est donc

Soitf ∈L(E)etP un polynôme annulateur def. Alors toute valeur propre def est une Proposition 4

Attention ! toutes les racines d'un polynôme annulateur ne sont pas forcément des valeurs propres.

Un fois que l'on a trouvé des valeurs propres éventuelles, il faut essayer de résoudref(x) =λ x (ou AX =λ X).

SiP ∈K[X] et si A=Mat_B(f) alors Mat_B P(f)

=

II.3 Polynôme caractéristique

Soit f ∈L(E), A∈Mn(K), dimE =n avec n>1.

On appelle polynôme caractéristique de f le polynôme χ_f(X) = det(f−XidE) On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme χ_A(X) =

Dénition 6

Remarques :

le polynôme caractéristique χ_f(X)d'un endomorphisme f ∈L(E)est de degré . . . son coecient dominant est . . . et χ_f(0) =. . .

Pourn = 2, siA = a b

c d

alors

PA(X) =

Soit f ∈L(E), A∈Mn(K)et λ∈K.

λ est une valeur propre de f si, et seulement si, χ_f(λ) = λ est une valeur propre de A si, et seulement si,

Théorème 5 (Caractérisation des valeurs propres)

Preuve : en raisonnant par équivalence,

λest valeur propre def ⇔ ∃x∈E; x6= 0_E etf(x) =λx

⇔ ∃x∈E; x6= 0_E etx∈Ker(f −λidE)

⇔Ker(f−λidE)6={0_E}

⇔f −λidE est non injective ie non bijective (dimE <+∞)

⇔det(f −λidE) = 0⇔χ_f(λ) = 0

II.4 Ordre de multiplicité d'une valeur propre

La dimension d'un sous-espace propre E_λ(f) def, est

Si λ est une valeur propre de l'endomorphismef, alors 16dimE_λ(f)6m_λ Proposition 6

Preuve : notonsp la dimension du sous-espace propreE_λ(f). PuisqueE_λ(f)6={0_E}, on a déjà

III Diagonalisation

E désigne toujours unK-espace vectoriel de dimension nie n >1.

III.1 Dénition

Soit f ∈ L(E). On dit que f est diagonalisable ssi il existe une base de E constituée de vecteurs propres de f.

Dénition 7

Exemples : • Une homothétie de E

• Un projecteur de E

III.2 Caractérisations

Soit f un endomorphisme de E (dim(E) = n) ayant des valeurs propres deux à deux distinctes λ₁, λ₂, . . . , λ_p. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) f est diagonalisable

(ii) il existe une base B deE constituée de vecteurs propres de f

(iii) il existe une base B deE dans laquelle la matrice de f est diagonale (iv) la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à

(v) le polynôme caractéristiqueχ_f(X) est scindé sur Ket pour toute valeur propre λ_k d'ordre de multiplicité α_k∈N^∗,

dimE_λk(f) = Théorème 7

Preuve : par dénition (i)⇐⇒(ii)

Remarque utile : si E est de dimension n > 1 et si un endomorphisme f ∈ L(E) admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors

III.3 Application aux matrices

Soit A ∈M_n(K). On dit que la matrice A est diagonalisable ssi il existe une matrice inversible P ∈GL_n(K) et une matrice diagonale D telles que

A =

A est diagonalisable ssi A est semblable à une matrice diagonale.

Dénition 8

Une matrice carrée A est diagonalisable ssi l'endomorphisme f canoniquement associé à la matrice A est diagonalisable.

Une matrice triangulaire à coecients diagonaux distincts est . . . Proposition 8

Exemple : la matrice A=





3 0 1

−1 2 −1

−2 0 0



est-elle diagonalisable ?

Diagonaliser Arevient à déterminer une matrice diagonaleD∈M3(R)et une matrice inversible

P ∈GL₃(R) telles que A=P DP⁻¹.

(i) Calcul du polynôme caractéristique χ_A(X) et des valeurs propres de A. (ii) Détermination des sous-espaces propres et de leurs dimensions.

(iii) Conclusion

Un matrice carrée A qui vérie^tA=A est dite Dénition 9 (rappel)

Toute matrice symétrique, à coecients réels, est diagonalisable dansM_n(R). Théorème 9 (admis)

IV Applications de la diagonalisation

IV.1 Calcul des puissances d'une matrice carrée

Soit A∈M_n(K)une matrice carrée diagonalisable. Alors il existe une matrice inversible P ∈ GL_n(K) et une matrice diagonale D=diag(λ₁, λ₂, . . . , λ_n) telles que

Exemple : soit A =





3 0 1

−1 2 −1

−2 0 0





IV.2 Suites récurrentes linéaires croisées

Soit u et v deux suites dénies par leurs premiers termes u₀, v₀ et les relations de récurrence

∀n∈N,

un+1 = a un+b vn

v_n+1 = c u_n+d v_n oùa, b, c, d sont des scalaires xés.

En posant

Exemple : u₀ =v₀ = 1 et ∀n ∈N,

u_n+1 = 7u_n+ 2v_n v_n+1 = −4u_n+v_n

IV.3 Systèmes diérentiels linéaires homogènes à coecients constants

Exemple : le système diérentiel

x⁰(t) = 2x(t) +y(t)

y⁰(t) = x(t) + 2y(t) s'écrit matriciellement X⁰(t) = A X(t) avec

On appelle système diérentiel linéaire homogène à coecients constants tout système de la forme

X⁰(t) = A X(t) où A ∈M_n(R) est une matrice carrée d'ordre n et

t7−→X(t) =









 x₁(t) x2(t)

...

x_n(t)











est la fonction inconnue dérivable surR, à valeurs dansM_n,1(R). Dénition 10

Pour résoudre X⁰(t) =A X(t) dans le cas où A est diagonalisable : A=P D P⁻¹ ,