Deuxième partie : interpolation de Hermite

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 2

À rendre le vendredi 28 septembre

Durée : 2 heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite

On note R[X] l’algèbre des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel n, Rn[X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note R(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients réels.

Pour tout polynômeP ∈R[X], on noteP⁰ le polynôme dérivé de P et, pour tout entier natureln, on noteP⁽ⁿ⁾ le n-ième polynôme dérivé de P. Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn(R) l’algèbre des matrices carrées d’ordrenà coefficients réels.

Première partie : questions préliminaires

Soitnun entier naturel non nul.

1. SoitP etQdeux polynômes non nuls à coefficients complexes.

1.a. Démontrer que siP etQn’ont aucune racine complexe commune, alorsP etQsont premiers entre eux (on pourra raisonner par l’absurde).

1.b. On suppose que P et Q sont premiers entre eux. En utilisant le théorème de Gauss, démontrer que si P et Qdivisent un troisième polynômeRà coefficients complexes, alors il en est de même pour le polynôme P Q.

2. Soit (Pi)_1≤i≤n une famille de polynôme non nuls de R[X]. On considère le polynôme P ∈R[X]et la fraction rationnelleQ∈R(X)définis par P=

n

Y

i=1

P_i etQ= P⁰ P. Démontrer par récurrence queQ=

n

X

i=1

P_i⁰ P_i.

Deuxième partie : interpolation de Hermite

SoitIun intervalle non vide deR,pun entier naturel non nul,(xi)_1≤i≤pune famille d’éléments deIdistincts deux à deux et(a_i)_1≤i≤p et (b_i)_1≤i≤p deux familles de réels quelconques.

3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite

3.a. SoitP ∈R[X] eta∈R. En utilisant la formule de Taylor, démontrer que : siP(a) =P⁰(a) = 0 alors(X−a)²diviseP.

3.b. En utilisant la question préliminaire1, démontrer que l’applicationϕdeR2p−1[X]versR^2p définie par ϕ(P) = (P(x1), P(x2), . . . , P(xp), P⁰(x1), P⁰(x2), . . . , P⁰(xp))

est une application linéaire bijective de R2p−1[X]surR^2p.

3.c. Démontrer qu’il existe un unique polynômePH ∈R2p−1[X]tel que, pour tout entier ivérifiant1≤i≤p, on a PH(xi) =ai et P_H⁰ (xi) =bi.

Le polynômePH est appelé polynôme interpolateur de Hermite.

4. Étude d’un exemple

Déterminer le polynôme d’interpolation de Hermite (défini à la question3) lorsquep= 2,x₁=−1, x₂= 1, a₁= 1, a2= 0, b1=−1et b2= 2.

Si, au cours de ses calculs, le candidat a besoin d’inverser une matrice, il pourra le faire sans justification à l’aide de sa calculatrice.

5. Une formule explicite

Pour tout entieritel que 1≤i≤p, on considère le polynômeQ_i=

p

Y

j=1 j6=i

X−xj

x_i−x_j ²

.

5.a. Soitiun entier vérifiant 1≤i≤p. CalculerQi(xk)pour tout entierktel que1≤k≤pet démontrer que l’on a

Q⁰_i(x_k) = 0 si k6=i et Q⁰_i(x_i) =

p

X

j=1 j6=i

2 xi−xj

.

On pourra utiliser la question préliminaire2.

5.b. Démontrer que le polynômeP défini par la formule P =

p

X

i=1

[(1−Q⁰_i(x_i)(X−x_i))a_i+ (X−x_i)b_i]Q_i

est le polynôme d’interpolation de Hermite défini à la question 3.

5.c. Retrouver le polynôme de la question4en utilisant cette formule.

Troisième partie : polynômes de Hermite

Soit(Hn)_n∈Nla famille des polynômes définie parH0= 1et, pour tout n∈N,Hn+1=XHn−H_n⁰. 6. Démontrer que, pour toutn∈N,Hn est un polynôme unitaire de degrén.

7. Démontrer que, pour toutn∈N,H_n+1⁰ = (n+ 1)Hn.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 2 – d’après CCP 2016 MP maths 2

éléments de correction

Première partie : questions préliminaires

Pour deux polynômesAet B,A|B signifie queAdiviseB.

1. 1.a. On supposeP et Qn’ont aucune racine complexe commune.

Par l’absurde supposons queP et Qne sont pas premiers entre eux. Ceci nous fourniraitR∈C[X]tel que degR≥1,R|P etR|Q.

Or Rest non constant, donc le théorème de D’Alembert-Gauss nous fournissentλ∈Ctel que R(λ) = 0.

De plus il existeP1etQ1 tel queP =P1R etQ=Q1RcarR|P etR|Q, par conséquentP(λ) =Q(λ) = 0.

AinsiP etQont une racine complexe commune : absurde.

Finalement si P et Qn’ont aucune racine complexe commune, alorsP et Qsont premiers entre eux . 1.b. On suppose queP etQdivisent un troisième polynômeR.

Ceci nous fournitU et V tel queP U =QV =R, doncQ|P U. OrQ∧P = 1, d’où d’après le théorème de Gauss il vientQ|U.

Ceci nous fournitW tel queU =W QdoncR=P U =P QW, d’où P Q|R. On a donc montré que : siP et Qdivisent un troisième polynôme Rà coefficients complexes, alors il divise le polynômeP Q .

2. Pour p∈[[1, n]], on considère la propriété Hp :Qp =

p

X

i=1

P_i⁰ Pi

où Qp =

p

Y

i=1

Pi

!0

p

Y

i=1

Pi

. Prouvons cette propriété par

récurrence sur p.

Initialisation

Pour p= 1 c’est évident.

Pour p= 2, on aQ₂=(P₁P₂)⁰ P1P2

=P₁⁰P₂+P₁P₂⁰ P1P2

=P₁⁰ P1

+P₂⁰ P2

. On a bienQ₂=

2

X

i=1 p

Y

i=1

Pi

!0

p

Y

i=1

P_i .

Hérédité

Soitp∈[[1, n−1]]tel queHp. MontronsHp+1, c’est-à-direQp+1=

p+1

X

i=1

P_i⁰

P_i. Par dérivation d’un produit de deux éléments, il vient

Q_p+1 =

" p

Y

i=1

P_i

!

×P_p+1

#0

p

YPi

!

×Pp+1

=

p

Y

i=1

P_i

!0

×P_p+1+

p

Y

i=1

P_i

!

×P_p+1⁰

p

YPi

!

×Pp+1

= Q_p+P_p+1⁰ Pp+1

En particulier, on a Hn. OrQn=Q, ce qui permet de conclure : Q=

n

X

i=1

P_i⁰ Pi

.

Deuxième partie : interpolation de Hermite

3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite

3.a. On suppose P(a) = P⁰(a) = 0. La formule de Taylor pour les polynômes s’écrit, pour tout Q ∈ K[X] : Q=

+∞

X

k=0

Q^(k)(0)

k! X^k (somme finie en fait).

On l’applique au polynôme Q=P(X +a), qui vérifie Q^(k)=P^(k)(X+a)par récurrence immédiate. Par conséquent

P(X+a) =

+∞

X

k=0

P^(k)(a) k! X^k =

+∞

X

k=2

P^(k)(a) k! X^k =

+∞

X

k=2

P^(k)(a)

k! (X−a)^k = (X−a)²

+∞

X

k=2

P^(k)(a)

k! (X−a)^k−2.

Or

+∞

X

k=2

P^(k)(a)

k! (X−a)^k−2est un polynôme donc siP(a) =P⁰(a) = 0alors(X−a)² diviseP . 3.b. • Linéarité

En utilisant la linéarité de la dérivation, nous avons pour tous (P, Q)∈R2p−1[X]et (λ, µ)∈R,ϕ(λP + µQ) =λϕ(P) +µϕ(Q). Par conséquentϕest linéaire.

• Kerϕ={0}

On sait queKerϕ⊃ {0}. On va montrer queKerϕ⊂ {0}.

SoitP ∈R2p−1[X]tel queϕ(P) = 0.

Pour i∈[[1, p]], on a P(x_i) =P⁰(x_i) = 0donc(X−x_i)² diviseP d’après3.a.

Par récurrence immédiate, on peut généraliser1:

si P₁,· · ·P_p sont des polynômes deux à deux premiers entre eux et diviseurs du polynôme P, alors le polynôme

p

Y

i=1

P_i diviseP.

En appliquant ceci aux polynômes(X−xi)², on obtient

p

Y

i=1

(X−xi)²diviseP. Ordeg

p

Y

i=1

(X−xi)²

!

= 2pet degP ≤2p−1doncP = 0.

• ϕbijective

On vient de voir queϕest injective entre deux espaces vectoriels de même dimension finie2p. Finalement ϕest bijective.

Nous venons de prouver que ϕest une application linéaire bijective entreR2p−1[X]etR^2p . 3.c. Le2p-uplet(a1,· · · , ap, b1,· · ·, bp)∈dimR^2p admet un unique antécédent parϕ, notéPH.

Ainsi il existe un unique PH ∈R2p−1[X]tel que PH(xi) =ai etP_H⁰ (xi) =bi pour touti∈[[1, p]]. 4. Étude d’un exemple

SoitP =x+yX+zX²+tX³∈R3[X]où(x, y, z, t)∈R⁴le polynôme d’interpolation de Hermite lorsquep= 2, x₁=−1, x₂= 1, a₁= 1, a₂= 0, b₁=−1etb₂= 2.

Nous en déduisonsP(1) = 1,P(−1) = 0,P⁰(−1) =−1,P⁰(1) = 2 etP⁰=y+ 2zX+ 3tX². Ainsi











x −y +z −t = 1 x +y +z +t = 0 y −2z +3t = −1 y +2z +3t = 2 d’où, d’après la calculatrice :









 x y z t











=











1 −1 1 −1

1 1 1 1

0 1 −2 3

0 1 2 3











−1







 1 0

−1 2











=











−1/4

−1 3/4 1/2









 .

Donc pour cet exemple on trouve : P_H =−1

4 −X+3X² 4 +X³

2 . 5. Une formule explicite

5.a. Si p6= 1, lesx_k pour k∈[[1, p]]\ {i} sont des racines de multiplicité2deQ_i doncQ_i(x_k) =Q⁰_i(x_k) = 0.

Par ailleursQi(xi) =

p

Y

j=1 j6=i

x_i−x_j xi−xj

2

= 1. On applique la question2àQi=

p

Y

j=1 j6=i

PjoùPj=

X−x_j xi−xj

2

, ce

qui nous fournitQ⁰_i=Q_i

p

X

j=1 j6=i

P_j⁰ Pj

. Or pourj6=i,P_j⁰ =2(X−x_j)

(xi−xj)². Ainsi P_j⁰ Pj

= 2

X−xj

et P_j⁰(xi) Pj(xi)= 2

xi−xj

.

Finalement Qi(xk) =Q⁰_i(xk) = 0 sik6=i, et Qi(xi) = 1 etQ⁰_i(xi) =

p

X

j=1 j6=i

2 x_i−x_j .

Remarquons que cette formule reste valable sip= 1:Q₁= 1(produit vide) etQ⁰₁= 0et doncQ⁰₁(x₁) = 0 (somme vide).

5.b. Pour i∈[[1, p]], on adeg(Q_i) = 2p−2 (même si p= 1) etdegh

(1−Q⁰_i(x_i)(X−x_i))a_i+ (X−x_i)b_ii

≤1.

Par produit

degh

(1−Q⁰_i(x_i)(X−x_i))a_i+ (X−x_i)b_ii Q_i

= degh

(1−Q⁰_i(xi)(X−xi))ai+ (X−xi)bi

i

+ deg(Qi) ≤ 2p−1.

Par sommedegP ≤2p−1 et ainsi P ∈R2p−1[X].

Soitj∈[[1, p]]. Prouvons maintenant queP(xj) =aj et P⁰(xj) =bj. D’une part P(xj) =

p

X

i=1

h

(1−Q⁰_i(xi)(xj−xi))ai+ (xj−xi)bi

i Qi(xj).

Puis à l’aide de la question précédenteP(xj) = 1−Q⁰_j(xj)(xj−xj)

aj+ (xj−xj)bj, d’où P(xj) =aj comme espéré .

D’autre partP⁰=

p

X

i=1

h−Q⁰_i(xi)ai+bi

i Qi+h

(1−Q⁰_i(xi)(X−xi))ai+ (X−xi)bi

i Q⁰_i

.

p

D’après la question précédente, seul le terme pourivalantj est éventuellement non nul : P⁰(xj) =h

−Q⁰_i(xi)ai+bi

i +h

(1−Q⁰_i(xi)(xi−xi))ai+ (xi−xi)bi

i

Q⁰_i(xi) =−Q⁰_i(xi)ai+bi+aiQ⁰_i(xi).

Finalement comme attenduP⁰(xj) =bj . Il s’ensuit que

P=

p

X

i=1

h

(1−Q⁰_i(xi)(X−xi))ai+ (X−xi)bi

i

Qi est le polynôme d’interpolation de Hermite . 5.c. Nous avonsx1=−1,x2= 1, a1= 1,a2= 0,b1=−1 etb2= 2.

Par suiteQ1=(X−1)²

4 etQ⁰₁=X−1

2 ;Q2=(X+ 1)²

4 etQ⁰₂=X+ 1 2 . On en déduit Q⁰₁(x1) =−1etQ⁰₂(x2) = 1. La formule donne alors

P = h

(1−Q⁰₁(x1)(X−x1))a1+ (X−x1)b1

i Q1+h

(1−Q⁰₂(x2)(X−x2))a2+ (X−x2)b2

i Q2

= h

(1 + (X+ 1))−(X+ 1)i Q1+h

(1−(X−1)) 0 + (X−1)2i

Q2=Q1+ (2X−1)Q2

= (X−1)²+ (2X−2)(X+ 1)²

4 = X²−2X+ 1 + 2X³+ 4X²+ 2X−2X²−4X−2

4 .

On retrouve bien X³ 2 +3X²

4 −X−1

4, polynôme de la question4.

Troisième partie : polynômes de Hermite

6. Initialisation. On a bienH0 unitaire et de degré0.

Hérédité. Soit n∈Ntel queHn soit un polynôme de degrén.

On adeg(XHn) = deg(X) + deg(Hn) = 1 +n > n−1≥deg(H_n⁰)doncdeg(Hn+1) = deg(XHn−H_n⁰) =n+ 1 d’où l’hérédité.

Conclusion. On a montré par récurrence que pour toutn∈N,H_n est un polynôme unitaire de degrén. 7. Initialisation. On a H0= 1et H1=X ainsi on a bienH₀₊₁⁰ = (0 + 1)H0.

Hérédité. Soit n∈Ntel queH_n+1⁰ = (n+ 1)Hn. On a

H_n+2⁰ = (XH_n+1−H_n+1⁰ )⁰ = XH_n+1⁰ +H_n+1−H_n+1⁰⁰ = (n+ 1)XH_n+XH_n−H_n⁰ −(n+ 1)H_n⁰ doncH_n+2⁰ = (n+ 2)(XHn−H_n⁰) = (n+ 2)Hn+1.

Conclusion On a montré par récurrence que pour tout n∈N,H_n+1⁰ = (n+ 1)H_n .