Feuille d’exercices n°16 Suites réelles

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Feuille d’exercices n°16 Suites réelles

Exercice 140

1. Soit (un)n∈Nla suite définie paru0=1

2et la relation de récurrence un+1=1

3un+1 5 valable pour toutn∈N.

(a) Expliciter le terme général de la suite (un)n∈N. (b) Étudier les variations de la suite (un)n∈N.

(c) Étudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N. 2. Soit (un)n∈N^∗la suite définie paru1=3 et la relation de récurrence

un+1= −un+4 valable pour toutn∈N^∗.

(a) Expliciter le terme général de la suite (un)n∈N^∗. (b) Étudier les variations de la suite (un)n∈N^∗.

(c) Étudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N^∗.

Exercice 141

1. Soit (un)n∈Nla suite définie paru0= −2,u1=4 et la relation de récurrence un+2=5un+1−6un

valable pour toutn∈N.

(a) Expliciter le terme général de la suite (un)n∈N.

(b) Étudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.

2. Soit (un)n∈Nla suite définie paru0=1,u1=2 et la relation de récurrence un+2=un+1−1

4un

valable pour toutn∈N. Expliciter le terme général de la suite (un)n∈N.

3. Soitθ∈]−^π₂,^π₂[. Soit (un)n∈Nla suite définie paru0=1,u1=0 et la relation de récurrence un+2=2cos(θ)un+1−un

valable pour toutn∈N. Expliciter le terme général de la suite (un)n∈N.

Exercice 142

Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites bornées. Montrer que toute combinaison linéaire des suites (un)n∈Net (vn)n∈Nest bornée.

Exercice 143

1. Étudier le caractère majoré (resp. minoré, borné) de la suite (un)n∈Ndéfinie par un=(−1)ⁿsin¡

ln¡ n²+1¢¢

pour toutn∈N.

1

2. Étudier le caractère majoré (resp. minoré, borné) de la suite (un)n∈Ndéfinie par un=n+cos(n)

pour toutn∈N.

Exercice 144

Soit (un)n∈Nla suite définie par

un=2− 1 n+7

pour toutn∈N. Démonter queun→2,en revenant à la définition de la notion de limite.

Exercice 145

Soit (un)n∈Nla suite définie par

un=5n−3

pour toutn∈N. Démonter queun→ +∞,en revenant à la définition de la notion de limite.

Exercice 146

Soit (un)n∈N une suite d’entiers (i.e. vérifiantun ∈Z, pour toutn ∈N). Démontrer que si la suite (un)n∈N

converge, alors elle est stationnaire.

Exercice 147

1. Soit (un)n∈N une suite qui converge vers 0 et soit (vn)n∈N une suite bornée. Démontrer que la suite (unvn)n∈Nconverge vers 0,en revenant à la définition de la notion de limite.

2. En déduire le comportement asymptotique de la suite

µcos(n²) n+1

¶

n∈N

.

Exercice 148

Soitq∈R. Pour toutn∈N, on pose

Sn= Xn k=0

q^k.

Étudier le comportement asymptotique de la suite (Sn)n∈N, en distinguant plusieurs cas suivant la valeur deq.

Exercice 149

Pour toutn∈N^∗, on pose

Sn= Xn k=1

1 k². 1. Étudier les variations de la suite (Sn)n∈N^∗

2. (a) Montrer que pour toutk∈N≥2

1 k²≤ 1

k−1−1 k. (b) En déduire que la suite (Sn)n∈N^∗est majorée par 2.

(c) Justifier que la suite (Sn)n∈N^∗est convergente et que 1≤limSn≤2.

Remarque : On peut démontrer que le nombre ζ(2) := lim

n→+∞

Xn k=1

1

k²vautπ² 6 .

Exercice 150

Pour toutn∈N^∗, on pose

un=

n

X

k=1

1

k³ et vn=un+ 1 n².

En utilisant le théorème des suites adjacentes, démontrer que ces deux suites convergent.

2

Remarque : Le nombreζ(3) := lim

n→+∞

n

X

k=1

1

k³, dont une valeur approchée est1,20205690315959428539973816151, n’est « pas très bien connu ». On sait toutefois qu’il est irrationnel (Roger Apéry,Irrationalité deζ(2)etζ(3), Asté- risque 61 (1979), p. 11–13).

Exercice 151

Soientaetbdeux réels positifs fixés. On définit deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Npara0=a,b0=bet les relations de récurrence

an+1=p

anbn et bn+1=bn+1=an+bn

2 valables pour toutn∈N.

1. Démontrer que les suites (an)n∈Net (bn)n∈Nsont bien définies et à termes positifs ou nuls.

2. Démontrer que pour toutn∈N,bn+1−an+1est le carré d’un réel et en déduire que pour toutn∈N^∗ an≤bn.

3. Démontrer que la suite (an)n∈N^∗est croissante et que la suite (bn)n∈N^∗est décroissante.

4. Démontrer que pour toutn∈N^∗

|bn+1−an+1| ≤1

2|bn−an| et en déduire que pour toutn∈N^∗

|bn−an| ≤ µ1

2

¶n−1

|b1−a1|.

5. Démontrer que les suites (an)n∈Net (bn)n∈Nconvergent vers une limite commune.

Remarque : La limite commune des suites(an)n∈Net(bn)n∈Nest appelée moyenne arithmético-géométrique des nombres a et b.

Exercice 152

Soit la suite (un)n∈Ndéfinie paru0=1 et la relation de récurrence un+1=p

un+2 valable pour toutn∈N.

1. Démontrer que la suite (un)n∈Nest bien définie, minorée par 1 et majorée par 2.

2. Étudier le sens de variation de la suite (un)n∈N.

3. Justifier la convergence de la suite (un)n∈N, puis déterminer limun.

Exercice 153

1. On fixe un repère³ O;−→

i ,−→ j

´du plan. Soit la fonctionf définie par

¯

¯

¯

¯

¯

f : ]0,+∞[ → R

x 7→ 2x−1 x et soitC_f sa courbe représentative.

(a) Étudier les limites éventuelles de f en 0⁺et en+∞et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

(b) Étudier la position relative deC_f et de la première bissectrice∆, droite d’équation y=xdans le repère³

O;−→ i ,−→

j´ .

(c) Étudier les variations def sur ]0,+∞[,sans utiliser de calcul différentiel.

(d) Tracer sur un même graphique la courbeC_f et la droite∆, en choisissant 1 centimètre pour la norme de||−→

i ||et 0,2 centimètre pour celle de||→− j||.

(e) Démontrer que l’intervalle [1,+∞[ est stable parf, i.e. quef([1,+∞[)⊂[1,+∞[.

3

2. On définit la suite (un)n∈Nparu0=2 et la relation de récurrence un+1=2un− 1

un

valable pour toutn∈N.

(a) Justifier que la suite (un)n∈Nest bien définie.

(b) Tracer les quatre premiers termes de la suite (un)n∈Nsur le graphique de la question 1.(d).

(c) Démontrer que la suite (un)n∈Nest minorée par 2.

(d) Démontrer que la suite (un)n∈Nest strictement croissante.

(e) Démontrer que la suite (un)n∈Nest divergente.

(f) Préciser le comportement asymptotique de (un)n∈N.

Exercice 154

1. Soit la fonctionf définie par

¯

¯

¯

¯

¯

f : ]0,+∞[ → R

x 7→ 1+1 x.

(a) Étudier les variations def sur ]0,+∞[,sans utiliser de calcul différentiel.

(b) Justifier quef◦f est bien définie, puis préciser le sens de variation def ◦f sur ]0,+∞[.

(c) Démontrer que l’intervalle [1,2] est stable parf. (d) Résoudre l’équationf(x)=xd’inconnuex∈[1,2].

2. On définit la suite (un)n∈Nparu0=1 et la relation de récurrence un+1=1+ 1

un

valable pour toutn∈N.

(a) Démontrer que la suite (un)n∈Nest bien définie, minorée par 1 et majorée par 2.

(b) Étudier les sens de variation des suites (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈N.

Indication : On pourra remarquer que u2(n+1)=f◦f(u2n)et u2(n+1)+1=f◦f(u2n+1), pour tout n∈N.

(c) Justifier que les suites (u2n)_n∈Net (u2n+1)_n∈Nconvergent, puis que limu2n=limu2n+1=1+p

5 2 . Qu’en déduire quant au comportement de la suite (un)n∈N?

4