G270 – Une ribambelle de points [*** à la main]
On trace cinq points du plan tels que les droites qui les relient ne sont ni parallèles ni
perpendiculaires entre elles. A partir de chacun de ces points, on construit les perpendiculaires aux droites reliant les quatre autres points. Quel est le nombre maximum de points
d’intersection de toutes ces perpendiculaires ? Solution proposée par Paul Voyer
De A on a 6 droites vers les droites menées de B :
avec les perpendiculaires à BC, BD, BE, elle ont 6 points d'intersection, avec les perpendiculaires à CD, CE, DE, elles n'en ont que 5 à distance finie.
Cela fait 6x3+5x3=33 points.
De A vers les perpendiculaires de B, C, D, E, il y a 4x33=132 points, dont certains sont confondus.
Dans chacun des 10 triangles ABC, etc…, l'orthocentre regroupe 3 droites qui, si elles n'étaient pas concourantes, auraient 3 points d'intersection au lieu d'un seul.
Il faut donc décompter 10x2=20 points comptés en trop.
Pour A, B, C, D,E, il y a donc 5x132/2-20 = 310 points au maximum.
