G261. Méli-mélo de droites et de coniques
Je trace dans le plan un certain nombre de cercles puis un même nombre d’ellipses et de lignes droites. Toutes ces figures donnent un maximum de 2011 points d’intersection.Dénombrer les cercles et les ellipses.
Solution proposée par Maurice Bauval
Soit x = nombre de cercles et y = nombre d’ellipses = nombre de droites.
Nombre de points d’intersections cercle cercle : x(x-1) Nombre de points d’intersections ellipse ellipse : 2y(y-1) Nombre de points d’intersections droite droite : y(y-1)/2 Nombre de points d’intersections ellipse droite : 2y^2 Nombre de points d’intersections cercle droite : 2xy Nombre de points d’intersections ellipse cercle : 4xy
Equation à résoudre : x(x-1) + 5y(y-1)/2 + 2y^2 + 6xy = 2011 x^2 –x + 5/2y^2 –5/2y +2y^2 + 6xy = 2011
x^2 + 6xy + 9/2y^2 - x – 5/2y = 2011 2x^2 + 12xy + 9y^2 – 2x – 5y – 4022 = 0
2x^2 + 2(6y-1)x + (9y^2 – 5y – 4022) = 0 [équation (*) où y est un paramètre réel positif]
’ = (6y-1)^2 – 2(9y^2 – 5y – 4022) = 18y^2 – 2y + 8045 toujours positif.
(*) a toujours 2 racines réelles, dont la somme est négative dès que y > 1/6.
Si y > 1, pour que l’une des 2 racines de (*) soit positive il faut que leur produit soit négatif, donc que
9y^2 – 5y – 4022 < 0 , il faut que y soit compris entre les racines de ce trinôme, évaluées à environ –20,86 et +21,42. Soit, pour ce qui nous concerne, 1 < y < 21.
Pour trouver les couples (x,y) entiers strictement positifs solution de (*), on peut remplacer y successivement par les nombres entiers de 1 à 21 et voir si x = [ -6y+1 + (18y^2 – 2y + 8045 ) ] / 2 est entier.
On trouve une seule valeur convenable pour y : c’est y =11 , alors x =18.
La figure est composée de 18 cercles, 11 ellipses et 11 droites.
Remarque : On peut trouver dans Z2 une infinité de couples (x,y) solution de (*), mais à une exception près, chaque couple renferme au moins un nombre négatif .
