D1915 - Méli mélo de sinus et de cosinus
Solution proposée par Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España)
ilarrosa@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
Q1:
En utilisant les symétries, nous pouvons réduire l'étude au premier quadrant.
Dans le premier quadrant, sin (x) < x tandis que la fonction sin (x) est croissante et la fonction cos (x) est décroissante.
Par conséquent :
sin (cos (x)) <cos (x) <cos (sin (x)) ==> sin (cos (x)) < cos (sin (x))
Q2:
Démontrons d’abord que cos (cos (x)) > sin(sin (x)) pour tout x dans(0, pi / 2).
En effet ces deux fonctions sont continues et cos (cos (0)) = cos (1) > 0 = sin (sin (0)) D'autre part, cos (cos (x)) = sin (sin (x)) (x dans (0, pi / 2)) ===> cos (x) + sin (x) = pi / 2 Mais cela est impossible, puisque cos (x) + sin (x) = sin (x) + sin (pi / 2 - x) = 2sen (pi / 4) cos (x - pi / 4) = RQ (2) cos (x - pi / 4 ) <= RQ (2) <pi / 2
En notant que cos (cos (x)) est une fonction croissante, alors nous pouvons écrire : cos (cos (cos (cos (x )))) > cos(cos (sin (sin (x )))) > sin (sin (sin (sin (x))))
Et par conséquent, l'équation proposée n'a pas de solution.
En général, il n’y a pas de solution si le nombre de sinus et cosinus « emboités » de chaque côté de l'égalité est pair. A l’inverse, il y a des solutions si ce nombre est impair.
