A538. Méli-mélo de parenthèses

A538. Méli-mélo de parenthèses

Solution proposée par Philippe Bertran

Appelons :

 « expression d’ordre p » toute forme b^b^b^…b^b contenant p fois le chiffre b et dans laquelle a été placé le nombre approprié de parenthèses pour calculer le nombre ainsi représenté ;

 up le nombre d’expressions d’ordre p différentes, lequel est évidemment indépendant de la valeur de b. [NB : deux expressions d’ordre p différentes peuvent donner le même nombre ; par exemple (2^2)^2 = 2^(2^2) = 16].

1. La première question du problème revient à trouver u₁₂ u1 et u2 sont évidemment égaux à 1 et u3 à 2

Toute expression d’ordre p est de la forme [Ei]^[Ep-i] où Ei et Ep-i sont des expressions d’ordre i et (p-i), i étant compris entre 1 et (p-1).

Le nombre d’expressions d’ordre p de la forme [E1]^[E_p-1] est u₁.u_p-1 Le nombre d’expressions d’ordre p de la forme [E2]^[Ep-2] est u2.up-2

(…)

Le nombre d’expressions d’ordre p de la forme [Ei]^[E_p-i] est u_i.u_p-i (…)

Le nombre d’expressions d’ordre p de la forme [Ep-1]^[E1] est ui.up-i

On en déduit que u_p = u₁.u_{p-1 +} u₂.u_{p-2 + …} u_i.u_{p-i + … +} u_i.u_p-i

Cette formule permet de calculer de proche en proche u4 = 5, u5 = 14, u6 = 42, u7 = 132, u8 = 429, u9 = 1 430, u10 = 4 862, u11 = 16 796 et enfin u12 = 58 786.

Remarque : Plus généralement, les up sont les nombres de Segner : up = (2p-2)! / p[(p-1)!]²

2. La relation (p^q)^r = p^qr s’écrit, avec les notations de l’énoncé : (p^q)^r = p^(qr) . On en déduit :

avec p = b , q = (b^b) et r = b : [b^(b^b)]^b = b^[(b^b).b]

avec p = b , q = b et r = (b^b) : (b^b)^ (b^b) = b^[b.(b^b)]

Les seconds membres des deux égalités étant égaux, on en déduit que : [b^(b^b)]^b = (b^b)^ (b^b)

Appelons E4 et E’4 ces deux expressions d’ordre 4. Etant donné qu’elles sont égales, il y a égalité entre les 8 expressions d’ordre 12 suivantes :

(E4^E4)^E4 , (E4^E4)^E’4 , (E4^E’4)^E4 , (E’4^E4)^E4 , (E4^E’4)^E’4 , (E’4^E4)^E’4 ,

2 (E’4^E’4)^E4 , (E’4^E’4)^E’4

de même qu’entre les 8 autres expressions :

E4^(E4^E4), E4^(E4^E’4), E4^(E’4^E4), E’4^(E4^E4), E4^(E’4^E’4), E’4^(E4^E’4), E’4^(E’4^E₄), E’₄^(E’4^E’4)