D651 – Vite fait, bien fait [** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Etant donné deux points A et B et une droite (Δ) qui coupe la droite AB en un point C, discuter, selon la position de C sur la droite AB, l'existence et le nombre de cercles passant par A et B et tangents à (Δ). En donner une construction à la règle et au compas
Solution proposée par Marie-Chritine Piquet
Si la droite (Δ) est frontière des 2 demi-plans P1 et P2 , l'un contenant le point A et l'autre le point B , alors aucun cercle passant par les 2 points A et B ne peut être tangent à la droite (Δ) Dans ce cas C , le point d'intersection des droites (AB) et (Δ) appartient au segment AB.
Par contre si A et B appartiennent au même demi-plan P1 ou P2 et si par exemple B est sur le segment AC :
- traçons le cercle (C) de diamètre AC , la médiatrice du segment AB , puis la droite perpendiculaire à (AB) passant par B.Cette dernière coupe le cercle (C) en E . Le triangle ACE est donc rectangle en E.Dans le triangle ACE , CE est moyenne géométrique de CB et CA : CE² = CB.CA
- traçons un arc de cercle de centre C et de rayon CE. Ce dernier coupe la droite (Δ) en D . Ainsi CE² = CD²= CA.CB
- traçons la médiatrice du segment BD . Les 2 médiatrices préconstruites concourent en O , centre du cercle C₁ circonscrit au triangle ADB.
CD²= CA.CB est la puissance du point C par rapport à ce cercle circonscrit. La droite (Δ) contenant CD est tangente en D à ce cercle.
On opère de la même façon en traçant le point D' symétrique de D par rapport au point C. On trace le cercle C₂ circonscrit au triangle ABD'.
CD'² = CA.CB et la droite (Δ) est aussi tangente en D' au cercle C₂
