TD 7 : développements limités

S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I

TD 7 : développements limités

T Exercices théoriques :

1. Donner les développements limités des expressions suivantes : (a)√

1−2x en 0 à l’ordre 3 (b) 1

2−x en 0 à l’ordre 4 (c) 3 sin 2x−2 sin 3x en 0 à l’ordre 3 (d) 1

3+2x² en 0 à l’ordre 6 (e) x³+2x²−3x+1

1−x²+x⁴ en 0 à l’ordre 3 (f) 1

2−x en 1 à l’ordre 4 2. Déterminer les limites suivantes :

(a) limx→0

1 sin²x− 1

x² (b) lim_x→^π

2

sin x−1

cos x (c) limx→1

arctan x−π/4

x²−1 (d) limx→0

cos 2x−1 (arctan x)² 3. Donner les asymptotes aux courbes suivantes et préciser leur position par rapport à la courbe :

a(x) =√

2x²−x+1 b(x) = 1−3x²

3−2x c(x) =x³cos1

x−x³ 4. Donner un équivalent en+∞des fonctions suivantes :

(un équivalent de f est une fonction simple g tel que la limite de f/g soit égale à 1) a(x) =ln(1+1/x)−sin(1/x) b(x) =√

x²−x−x c(x) =√

5x³−2x 5. On considère la fonction définie par f(x) =e⁻

1

x2 si x6=0 et f(0) =0.

(a) Montrer que f est continue surR.

(b) Montrer que surR^∗, f^(k)(x)est de la forme F_k(x)e^−x21, où F_kest une fraction rationnelle.

(c) En déduire que f est indéfiniment dérivable surR, et que toutes ses dérivées en 0 sont nulles.

(d) Montrer que, quel que soit n, le développement limité d’ordre n de f en 0 est nul.

P Exercices pratiques :

1. Validité de l’approximation des petits angles La pratique en physique est d’identifier le sinus d’un petit angle et l’angle lui-même. On souhaite préciser les limites cette approximation.

(a) Montrer que pour tout angleθ,|sinθ−θ| ≤ |θ³|/6.

(b) Pour quelles valeurs est-on certain que l’approximation des petits angles est valable si l’on souhaite une précision de 10⁻²sur le sinus ? De 10⁻⁴?

2. Circuit RLC parallèle Etudier et tracer le module de l’impédance d’un circuit R, L, C parallèle.

On précisera en particulier les asymptotes et la position de la courbe par rapport à celles-ci.

3. Cartographie Pour obtenir une carte "plate" de l’Europe, on projette la partie du globe terrestre correspondante sur un cylindre d’axe Nord-Sud tangent à la Terre.

Cette projection n’est pas isométrique. Calculer en fonction de la latitudeϕdu point (ϕvariant de 0 à l’équateur jusqu’à 90^◦ au pôle nord, et valant 45^◦à quelques kilomètres au sud de Grenoble) le rapport entre les distances réelles et les distances sur la carte, pour un arc de parallèle (cercle parallèle à l’équateur) et pour un arc de méridien (grand cerle passant par les pôles).

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CORRECTION DU TD :

T Exercices théoriques : 1. (a)√

1−2x=1−x−¹2x²−¹2x³+x³ε(x) (b) 1

2−x=1 2. 1

1−x/2=¹₂(1+x 2+(x

2)²+(x

2)³+(x

2)⁴+x⁴ε(x)) =1 2+1

4x+1 8x²+ 1

16x³+ 1 32x⁴+ x⁴ε(x)

(c) 3 sin 2x−2 sin 3x=5x³+x³ε(x)

(d) 1

3+2x² = 1 3−2

9x²+ 4

27x⁴− 8

81x⁶+x⁶ε(x)

(e) On effectue la division selon les puissances croissantes à l’ordre 3, en supprimant tous les termes d’ordre supérieur ou égal à 4, qui ne nous intéressent pas dans le cadre d’un DL d’ordre 3.

Donc :

1−3x+2x²+x³= (1−x²)(1−3x+3x²−2x³) +x³ε(x), et le développement limité cherché est 1−3x+3x²−2x³+x³ε(x).

(f) 1

2−x = 1

1+ (1−x) =1−(1−x) + (1−x)²−(1−x)³+ (1−x)⁴+ (1−x)⁴ε(1−x) 2. (a) sin²(x) = (x−1

6x³+x⁴ε(x))²=x²−1

3x⁴+x⁴ε(x), donc 1 sin²x− 1

x² = 1

x²( ¹

1−¹3x²+x²ε(x)−1) = 1

3+ε(x), la limite est 1 3. (b) sin x−1

cos x =sin(π/2−(π/2−x))−1

cos(π/2−(π/2−x)) = cos(π/2−x)−1 sin(π/2−x) = −1

2(π/2−x)²

π/2−x , la limite est 0.

(c) On a arctan x=arctan 1+arctan^′(1)(x−1)+(x−1)ε(x−1) =π/4+1

2(x−1)+(x−1)ε(x−1), et x²−1= (x−1)(x+1), donc la limite est 1/4.

(d) La limite est -2.

3. (a) On factorise 2x² dans la racine carrée : a(x) =√ 2x²

q

1−2x¹ +_2x¹2 =√

2x²(1−4x¹ +_32x⁹2 +

1

x²ε(1/x))

Donc si x tend vers+∞, a(x) =√

2(x−¹₄+_32x⁹ +¹_xε(1/x)). La droite d’équation y=√

2(x−¹₄) est asymptote, et a est située au dessus de son asymptote. De même si x tend vers−∞, a(x) =

−√

2(x−¹4+_32x⁹ +¹_xε(1/x)). La droite d’équation y=−√

2(x−¹4)est asymptote, et a est située au dessus de son asymptote.

(b) En l’infini on peut écrire b(x) =3 2

x−3x¹

1−_2x³ =3

2(x−_3x¹)(1+_2x³ +_4x⁹2+_x¹2ε(¹_x)) = ^3x₂ +⁹₄−_2x¹ +

1

xε(¹_x), et donc la droite d’équation y= ^3x₂ +⁹₄ est asymptote, située au dessus de la courbe de b en+∞, au dessous en−∞.

De plus on a évidemment une asymptote verticale pour x=3/2.

(c) De même on constante qu’en l’infini, y=−x/2 est asymptote, située au dessus de la courbe en+∞et en dessous en−∞.

4. a(x)∼ − 1

2x²; b(x) =∼ − 1

2x; c(x)≃√

5x^3/2. 5. (a) La limite quand x tend vers 0, x6=0, est nulle, donc la fonction est continue.

(b) Récurrence sur k...

(c) f^(k)(0)est la limite en 0 de F_k(x)e^−1/x2, et vaut donc 0.

(d) Ainsi, la formule de Taylor (Mac-Laurin) montre que le développement limité de f en 0 à tout ordre est nul. Pourtant la fonction n’est pas nulle...

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P Exercices pratiques :

1. (a) On utilise la formule de Taylor-Mac Laurin à l’ordre 3 : sinθ=0+cos 0θ−sin 0θ²/2− cos uθ³/6, avec u∈[0;θ], d’où le résultat car cos est à valeurs dans[−1; 1].

(b) On trouve des valeurs de 0,391 rad et 0,084 rad, soit en degrés : 22,43^◦ et 4,83^◦ (mais ATTENTION : pour pouvoir écrire sin x=x l’angle x doit être exprimé en radians ! ! !)

2. On a 1/Z=1/R+jCω+1/(jLω)et donc 1/|Z|=p

(1/R)²+ (Cω−1/(Lω))².

|1/Z|est minimal quand Cω=1/(Lω), i.e quandω=1/√

LC=ω0.

Quandωtend vers 0, on a|1/Z| ∼1/(Lω)donc on a une asymptote verticale à la courbe en 0, et on peut même voir que l’hyperbole 1/(Lω)est une asymptote (donnant un équivalent de meilleure précision).

Quandω tend vers+∞, un développement limité montre que Cωest asymptote...(voir le corrigé détaillé fait en TD)

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