Applications linéaires
¦ EetFsont desK-espaces vectoriels.
Comment démontrer quef est une application linéaire deEdansF? Il y a trois points à établir :
¶ f est bien définie surE(c’est à dire : pour toutx∈E,f(x) est bien défini) ;
· f est à valeurs dansF(c’est à dire : pour toutx∈E,f(x)∈F) ;
¸ f est linéaire (c’est à dire : quels que soientx,y∈Eetλ∈K,f(λx+y)=λf(x)+f(y)).
On donne ci-dessous trois exemples illustrant les difficultés que l’on peut rencontrer pour établir ces trois points.
Exemple. On considère l’applicationf définie surRn[X] par :
∀P∈Rn[X], f(P)=(X2+1)P0−nX P Démontrer quef est un endomorphisme deRn[X].
ÞRappelons qu’un endomorphisme deRn[X] est une application linéaire deRn[X] dansRn[X]. Il est clair quef(P) est bien défini quel que soitP∈Rn[X]¶. SoientP,Q∈Rn[X] etλ∈R, par linéarité de la dérivation :
f(λP+Q)=(X2+1)(λP+Q)0−nX(λP+Q)=λ(X2+1)P0−λnX P+(X2+1)Q0−nXQ
=λf(P)+f(Q)
Par conséquent, f est linéaire¸. La difficulté réside ici dans la démonstration du fait que siP ∈ Rn[X], alors f(P)∈Rn[X]. Ce n’est pas complètement évident car pourP∈Rn[X], on a degPÉn, degP0Én−1 et ainsi (X2+1)P0etnX Psont de degré au plusn+1. On a donca prioridegf(P)Én+1 etf(P)∈Rn+1[X]. Pour démontrer quef(P)∈Rn[X] (c’est à dire degf(P)Én), il faut regarder plus en détails. On note pour cela :
P=a Xn+Q
aveca∈RetQ∈Rn−1[X]. On a alors :
f(P)=a((X2+1)nXn−1−nXn+1)+((X2+1)Q0−nXQ)=an Xn−1+(X2+1)Q0−nXQ Or degan Xn−1 Én, deg(XQ)Én car degQ Én−1 et deg((X2+1)Q0)Én car degQ0 Én−2. Par conséquent degf(P)Énet ceci montre quef(P)∈Rn[X]·. L’applicationf est un endomorphisme
deRn[X].
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Exemple. On noteE l’ensemble des suites (un)nÊ0 à valeurs dansRet qui possèdent une limite finie. Pour (un)nÊ0∈E, on définit :
f((un))=
+∞X
n=0
un
2n Démontrer quef est une application linéaire deEdansR.
ÞRappelons queEest un espace vectoriel, sous-espace vectoriel deRN(suites à valeurs réelles). La difficulté réside ici dans le fait de montrer quef((un)) est bien défini quelle que soit la suite (un)∈E.
En effet,f((un)) est défini comme étant la somme d’une série et il faut donc établir sa convergence.
On considère donc (un)∈E, comme (un) admet une limite finie, elle est bornée et ainsi : un
2n = O
n→+∞
µ 1 2n
¶
La série géométriqueP
1/2n est convergente (car 0É1/2<1), par comparaison la série P un/2n est absolument convergente donc convergente. Ainsi,f((un)) est bien défini¶et appartient àR· (somme d’une série convergente à termes réels). Soient (un), (vn)∈Eetλ∈R. La suite (λun+vn) a une limite finie et :
f((λun+vn))=
+∞X
n=0
λun+vn
2n =λ+∞X
n=0
un
2n +
+∞X
n=0
vn
2n (car les deux séries sont convergentes)
=λf((un))+f((vn))
L’applicationf est linéaire¸. Par conséquent,f est une application linéaire deEdansR. Exemple. SoitA∈R[X] avecA6=0. PourP∈R[X], on note f(P) le reste de la division euclidienne dePparA. Démontrer que f est un endomorphisme deR[X].
ÞPourP∈R[X],f(P) est bien défini¶etf(P)∈R[X]·. La difficulté réside ici dans la démonstra- tion de la linéarité car on n’a pas de formule « explicite » pourf(P). SoientP,Q∈R[X] etλ∈R. On réalise les divisions euclidiennes dePetQparA:
P=AU+f(P) Q=AV+f(Q)
avecU,V∈R[X] et deg(f(P))<degA, deg(f(Q))<degA. On a alors :
λP+Q=(λU+V)A+(λf(P)+f(Q)) (∗) On a deg(λf(P)+f(Q))Émax(deg(f(P)), deg(f(Q)))<degA. Par conséquent, l’écriture (∗) est la division euclidienne deλP+QparA. Ainsi, le reste dans la division euclidienne deλP+QparAet λf(P)+f(Q) et par conséquentf(λP+Q)=λf(P)+f(Q)¸. L’applicationf est un endomorphisme
deR[X].
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