Applications linéaires
Propriétés élémentaires Exercice 1. Image d’une somme, d’une intersection
Soit f : E → F une application linéaire et E1, E2 deux sous-espaces vectoriels de E, F1, F2 deux sous-espaces vectoriels deF. Que pouvez-vous-dire def(E1+E2),f(E1∩E2),f−1(F1+F2),f−1(F1∩F2) ? Exercice 2. Effet sur les familles libres et génératrices
Soient E, F deux espaces vectoriels etf :E→F linéaire.
1) Montrer quef est injective si et seulement sif transforme toute famille libre deEen une famille libre deF.
2) Montrer quef est surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice de Etransformée parf en une famille génératrice deF.
Exercice 3. Endomorphisme tel que tout vecteur non nul est propre
SoitE un espace vectoriel etf ∈ L(E) tel que pour toutx∈E, la famille (x, f(x)) est liée.
1) Montrer que six6= 0, il existe un unique scalaireλx tel quef(x) =λxx.
2) Comparerλx etλy lorsque (x, y) est libre.
3) Montrer quef est une homothétie.
Exercice 4. ApplicationsR-linéaires surC On considère queCest unR-espace vectoriel.
1) Donner une base deC.
2) Montrer que tout endomorphisme deCpeut se mettre sous la forme : f(z) =az+bz, aveca, b∈C. 3) CNS suraetb pour quef soit bijectif ?
Exercice 5. L(E×F)
Est-il vrai que L(E×F) et L(E)× L(F) sont isomorphes ? (E et F espaces vectoriels de dimensions finies).
Exercice 6. Permutation de coordonnées dansKn Soitσ∈ Sn (groupe symétrique) etfσ:
Kn −→ Kn
(x1, . . . xn) 7−→ (xσ(1), . . . , xσ(n))
On munitKn de la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.
1) Montrer quefσ est un automorphisme d’algèbre.
2) Soitϕun automorphisme d’algèbre deKn.
a) Montrer que la base canonique deKn est invariante parϕ(étudierϕ(e2i) et ϕ(ei×ej)).
b) En déduire qu’il existeσ∈ Sn tel queϕ=fσ.
3) Montrer que{0},D =K(1, . . . ,1),H ={(x1, . . . , xn) tqx1+. . .+xn = 0} et Kn sont les seuls sev stables par tous les endomorphismesfσ.
Exercice 7. Somme directe d’endomorphismes
SoitE unK-ev,E1, . . . , En des sev tels queE1⊕. . .⊕En=E. Soientu1∈ L(E1),. . .,un∈ L(En).
1) Montrer qu’il existe un unique endomorphismeu∈ L(E) tel que pour touti : u|Ei =ui. 2) Montrer que Ker(u) = Ker(u1)⊕. . .⊕Ker(un) et Im(u) = Im(u1)⊕. . .⊕Im(un).
Projections Exercice 8. Barycentre de projections
Soientp, qdeux projections de même baseHet de directionsF, G. Soitλ∈K. Montrer queλp+ (1−λ)q est encore une projection de baseH.
Exercice 9. Valeurs propres d’une projection
SoitEun espace vectoriel etp∈ L(E) une projection. Montrer que pour toutλ∈K\ {−1}, idE+λpest un isomorphisme deE.
Exercice 10. Projections ayant même base ou même direction SoitE un espace vectoriel etp, q∈ L(E) deux projections.
1) Montrer quepetq ont même base si et seulement si : p◦q=qetq◦p=p.
2) Donner une condition analogue pour quepet qaient même direction.
Exercice 11. Somme de deux projecteurs
Soient p, qdeux projections. Montrer les équivalences :
p+qest une projection⇔p◦q+q◦p= 0⇔(Base(p)⊂Dir(q) et Base(q)⊂Dir(p)).
Chercher alors la base et la direction dep+q.
Exercice 12. f◦g=f et g◦f =g
SoitEunK-ev. Trouver tous les couples (f, g) d’endomorphismes deE tels que : f◦g=f etg◦f =g.
Exercice 13. f◦g= id
SoitE un espace vectoriel etf, g∈ L(E) tels que f◦g = idE. Montrer queg◦f est une projection et déterminer ses éléments.
Exercice 14. Projectionp+q−q◦p
Soientp, qdeux projections telles quep◦q= 0. Montrer quep+q−q◦pest une projection, et déterminer ses éléments.
Exercice 15. Endomorphisme de rang 1
Soitf ∈ L(E) de rang 1. Montrer qu’il existe un uniqueλ∈Ktel quef2=λf.
Montrer que : λ= 1⇔id−f est non injective⇔id−f est non surjective (même en dimension infinie).
Exercice 16. Relation d’ordre sur les projecteurs
On munit l’ensemble des projections d’un ev Ede la relation : p4q⇔p◦q=q◦p=p.
1) Montrer que c’est une relation d’ordre.
2) Soientp, qdeux projections permutables. Montrer que sup(p, q) =p+q−p◦qet inf(p, q) =p◦q.
Exercice 17. Commutant d’une projection
SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn,F, Gdeux sous-espaces vectoriels deEtels queE=F⊕G.
On notepla projection surF parallèlement àG. SoitEp ={f ∈ L(E) tq f◦p=p◦f}. Quelle est la dimension deEp ?
Exercice 18. Expressions analytiques
SoitE=K3,F ={X = (x, y, z) tqx+ 2y+z= 0}et G= vect(U = (1,1,1)).
1) Vérifier queF⊕G=E.
2) Soitsla symétrie de baseF de directionGetX = (x, y, z). Déterminers(X).
Exercice 19. Trace nulle
Soit E un R-ev de dimension finie et A une partie finie de GL(E) stable par composition. On pose u=P
f∈Af. Montrer que tr(u) = 0⇒u= 0.
Rang Exercice 20. Applications du thm du rang
Soient E, F deuxK-ev de dimensions finies etf ∈ L(E, F).
1) Montrer que siH est un sev deE, alors dimf(H) = dimH−dim(H∩Kerf).
2) Montrer que siKest un sev de F, alors dimf−1(K) = dim(K∩Imf) + dim(Kerf).
Exercice 21. Application du thm du rang
Soient E, F deux ev de dimensions finies etu, v∈ L(E, F).
Montrer que dim(Ker(u+v))6dim(Keru∩Kerv) + dim(Imu∩Imv) (considérerw=u|Ker(u+v)).
Exercice 22. Rang def◦g
SoitE un ev de dimension finie etf, g∈ L(E). Établir : 1) dim Ker(f◦g)6dim Kerf+ dim Kerg.
2) dim(Imf∩Kerg) = rg(f)−rg(g◦f).
3) rg(f) + rg(g)−dimE6rg(f◦g)6min(rg(f),rg(g)).
Exercice 23. f◦g= 0
SoitEun ev de dimension finie etf, g∈ L(E) tels quef◦g= 0. Trouver une inégalité liant les rangs de f et de g. Peut-on avoir égalité ?
Exercice 24. f◦g= 0 etf+g∈GL(E)
SoitE de dimension finie etf, g∈ L(E) tels quef◦g= 0 etf+g∈GL(E).
Montrer que rgf + rgg= dimE.
Exercice 25. f◦f = 0etf ◦g+g◦f = id
1) SoitE un K-ev quelconque et f, g ∈ L(E) tels que : f2 = 0 etf ◦g+g◦f = idE. Montrer que Kerf = Imf.
2) Réciproquement, on suppose E de dimension finie et on considère f ∈ L(E) tel que Kerf = Imf. SoitF un supplémentaire de Kerf. Montrer. . .
a) f2= 0.
b) ∀x∈E, il existe y, z∈F uniques tels quex=y+f(z).
c) Il existeg∈ L(E) tel quef ◦g+g◦f = idE. Exercice 26. Rang def+g
Soient E, F deux ev,E de dimension finie, etf, g∈ L(E, F).
1) Démontrer que rg(f+g)6rg(f) + rg(g).
2) Montrer qu’il y a égalité si et seulement si Imf ∩Img={0F}et Kerf + Kerg=E.
Exercice 27. Somme de projecteurs
SoitKun corps de caractéristique nulle,E unK-ev de dimension finie etp1, . . . , pn des projecteurs tels quep1+. . .+pn= idE.
1) Montrer que tr(pi) = rg(pi).
2) Montrer queE= Im(p1)⊕. . .⊕Im(pn).
Exercice 28. Groupe fini d’endomorphismes, X MP∗ 2001 SoitGun sous-groupe fini deGL(Rn) etF =T
g∈GKer(g−id).
Montrer que card(G)×dim(F) =P
g∈Gtr(g).
Image et noyau Exercice 29. f(Ker(g◦f))
SoitE un espace vectoriel etf, g∈ L(E). Montrer quef(Ker(g◦f)) = Kerg∩Imf. Exercice 30. Supplémentaire d’un hyperplan
SoitE unK-ev etf :E→Kune forme linéaire non identiquement nulle. On noteH = Kerf. 1) Montrer que Imf =K.
2) Soitu∈E\H etF = vect(u). Montrer queF⊕H =E.
Exercice 31. CNS pour queKerf etImf soient supplémentaires
SoitE un ev de dimension finie etf ∈ L(E). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) Kerf2= Kerf.
(2) Imf2= Imf. (3) Kerf⊕Imf =E.
(4) Kerf∩Imf ={0}.
(5) Kerf+ Imf =E.
Exercice 32. Kerf+ Kerg= Imf+ Img=E
SoientE un ev de dimension finie etf, g∈ L(E) tels que Kerf+ Kerg= Imf+ Img=E. Montrer que les sommes sont directes.
Exercice 33. f tqImf etKerf sont imposés
SoitE unK-ev de dimension finie etH, K deux sev fixés deE.
1) A quelle condition existe-t-il un endomorphismef ∈ L(E) tel que Imf =H et Kerf =K ?
2) On note E = {f ∈ L(E) tq Imf = H et Kerf = K}. Montrer que E est un groupe pour ◦ si et seulement siH⊕K=E.
Exercice 34. Noyaux itérés
SoitE un ev de dimension finie etf ∈ L(E). On poseNk= Ker(fk) etIk = Im(fk).
1) Montrer que la suite (Nk) est croissante pour l’inclusion et que la suite (Ik) est décroissante.
2) Soitptel queNp=Np+1. Justifier l’existence depet montrer queNp+1=Np+2=. . .=Np+k=. . . 3) Montrer que les suites (Nk) et (Ik) sont stationnaires à partir du même rangp.
4) Montrer queNp⊕Ip=E.
5) Montrer que la suite (dim(Nk+1)−dim(Nk)) est décroissante.
Équations algébriques Exercice 35. f2=−id
SoitE unR-ev de dimension finie et f ∈ L(E) tel quef ◦f =−idE. Pour z=x+iy ∈Cetu∈E, on posezu=xu+yf(u).
1) Montrer qu’on définit ainsi une structure deC-ev surE.
2) En déduire que dimR(E) est paire.
Exercice 36. f3= id
Soitf ∈ L(E) tel quef3= idE.
1) Montrer que Ker(f −id)⊕Im(f−id) =E.
2) Montrer que Ker(f −id) = Im(f2+f+ id) et Im(f−id) = Ker(f2+f + id).
Exercice 37. Endomorphisme cyclique
SoitE un ev de dimension net f ∈ L(E). On suppose qu’il existe un vecteur u∈E tel que la famille (fk(u))k∈NengendreE.
1) Montrer que (u, . . . , fn−1(u)) est une base deE (considérerpmaximal tel queF = (u, . . . , fp−1(u)) est libre, et prouver quefk(u) est combinaison linéaire deF pour tout entierk).
2) Montrer qu’un endomorphismeg∈ L(E) commute avecf si et seulement si c’est un polynôme enf. Exercice 38. Endomorphisme cyclique
Soitf ∈ L(E). On dit quef est un endomorphisme cyclique s’il existex∈Etel queE=hfk(x), k∈Ni.
Si f est cyclique etF est un sous-espace vectoriel stable parf, montrer quef|F est aussi cyclique.
Exercice 39. u2= 0en dimension 3
SoitE un ev de dimension 3 etu∈ L(E) tel queu2= 0. Montrer qu’il existef ∈E∗et a∈E tels que :
∀x∈E,u(x) =f(x)a.
Exercice 40. (u, x, f(x))liée
Soit E un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et u ∈E\ {0}. Trouver tous les endomorphismes f ∈ L(E) tels que : ∀x∈E, la famille (u, x, f(x)) est liée.
Exercice 41. f2= 0⇒f =g◦havech◦g= 0
SoitEde dimension finie etf ∈ L(E) telle quef2= 0. Montrer qu’il existeg, h∈ L(E) tels quef =g◦h et h◦g= 0.
Exercice 42. f3= 0
SoitE de dimension finie etf ∈ L(E) tel que f3= 0.
1) Montrer que rgf+ rgf26dimE.
2) Montrer que 2 rgf26rgf (appliquer le théorème du rang àf|Imf).
Exercice 43. Endomorphisme nilpotent
Un endomorphismef ∈ L(E) est ditnilpotents’il existep∈Ntel quefp= 0. Dans ce cas,l’indicedef est le plus petit entierptel quefp= 0. On considèref ∈ L(E) nilpotent d’indicep.
1) Soitu∈E\Kerfp−1. Montrer que la famille (u, f(u), . . . , fp−1(u)) est libre.
2) En déduire que siE est de dimension finien, alorsfn= 0.
3) Soitg∈GL(E) tel quef◦g=g◦f. Montrer quef+g∈GL(E). . . a) en dimension finie.
b) pourE quelconque.
4) DansL(K2), soient f, g de matrices : 0 0
1 0
et 0 1
−1 0
. Vérifier que f est nilpotent,g∈GL(K2), maisf +g /∈GL(K2).
Exercice 44. Endomorphisme localement nilpotent
Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E) tel que ∀x∈E, ∃px ∈N, tqfpx(x) = 0.
Montrer quef est nilpotent. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
Exercice 45. g7→f ◦g−g◦f
SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie où Kest un coprs de caractéristique nulle etf ∈ L(E) nilpotente d’indicen. Soitϕ:
L(E) −→ L(E) g 7−→ f◦g−g◦f.
1) Montrer queϕp(g) =Pp
k=0(−1)k pk
fp−k◦g◦fk. En déduire queϕest nilpotente.
2) Soita∈ L(E). Montrer qu’il existeb∈ L(E) tel quea◦b◦a=a. En déduire l’indice de nilpotence deϕ.
Composition Exercice 46. f◦g◦f =f et g◦f ◦g=g
Soient f, g∈ L(E) tels quef ◦g◦f =f etg◦f◦g=g.
1) Montrer queE= Kerf⊕Img.
2) Montrer quef(Img) = Imf.
Exercice 47. Thms de factorisation
Soient E, F, Gtrois K-ev avec dim(G) finie.
1) Soientu∈ L(F, E) etv∈ L(G, E). Montrer qu’il existeh∈ L(G, F) tel quev=u◦hsi et seulement si Imv⊂Imu.
2) Soientu∈ L(E, F) etv∈ L(E, G). Montrer qu’il existeh∈ L(G, F) tel queu=h◦v si et seulement si Kerv⊂Keru.
Exercice 48. Isomorphisme◦projecteur
Soient Eun ev de dimension finie et f ∈ L(E).
1) Montrer qu’il existe un projecteurp∈ L(E) et un isomorphismeg∈GL(E) tels quef =g◦p.
2) Montrer qu’il existe un projecteurp∈ L(E) et un isomorphismeg∈GL(E) tels quef =p◦g.
Exercice 49. Dimension desg tqf ◦g= 0 et/oug◦f = 0
SoitEun ev de dimension finie etf ∈ L(E). On poseK= Kerf,I= Imf,K={g∈ L(E) tqf◦g= 0}
et I={g∈ L(E) tq g◦f = 0}.
1) Montrer queKet I sont des sev deL(E).
2) Soitg∈ L(E). Montrer : g∈ K ⇔Img⊂K, et : g∈ I ⇔Kerg⊃I.
3) a)Montrer que l’ applicationϕ:
K −→ L(E, K)
g 7−→ g|K est un isomorphisme d’ev. En déduire dimK.
b) Chercher de même dimI en introduisant un supplémentaire I0 deI.
c) Chercher aussi dim(K ∩ I).
Exercice 50. Centrale MP 2001
Soitf un endomorphisme donné deE de dimensionnet F ={g∈ L(E) tqg◦f =f ◦g= 0}. Trouver la dimension deF.
Exercice 51. Rang def 7→u◦f◦v
Soit E un ev de dimension finie et u, v ∈ L(E). Déterminer le rang de l’endomorphisme de L(E) : f 7→u◦f◦v.
L’algèbre L(E) Exercice 52. Centre deL(E)
SoitE unK-ev de dimension finie. Le centre deL(E) est : Z={f ∈ L(E) tq∀g∈ L(E), f◦g=g◦f}.
1) Soitf ∈ L(E) et x∈E. Si (x, f(x)) est libre, montrer qu’il existe g ∈ L(E) telle que g(x) =x et g◦f(x) = 0.
2) En déduire queZ est l’ensemble des homothéties.
3) DéterminerZ0={f ∈ L(E) tq ∀g∈GL(E), f◦g=g◦f}.
Exercice 53. Éléments réguliers dansL(E)
Soient E, F des ev de dimensions finies etf ∈ L(E, F).
1) Montrer que : (f est injectif)⇔(∀g∈ L(E),f◦g= 0⇒g= 0).
2) Montrer que : (f est surjectif)⇔(∀g∈ L(F),g◦f = 0⇒g= 0).
Exercice 54. Sous algèbres
SoitE un ev de dimension finie etAune sous-algèbre deL(E). Montrer que sif ∈ Aetf est bijective, alorsf−1∈ A(on pourra étudier l’application de AdansA: g7→f◦g).
Exercice 55. Idéaux deL(E)
E désigne unK-ev de dimension finie.
Un idéal à gauche deL(E) est un sevI deL(E) tel que : ∀f ∈ I,∀g∈ L(E),f◦g∈ I. SoitI un idéal à gauche.
1) Montrer que sif ∈ I et Img⊂Imf, alorsg∈ I.
2) Soientf1, f2∈ I. Montrer qu’il existeg1, g2∈ L(E) tels que Im(f1◦g1+f2◦g2) = Imf1+ Imf2. 3) Soitf ∈ I tel que rg(f) soit maximal.
Montrer queI={g∈ L(E) tq Img⊂Imf}={f ◦g tqg∈ L(E)}.
Exercice 56. Automorphismes deL(E)
SoitEun ev de dimensionnetΦ:L(E)→ L(E) un automorphisme d’algèbre. On note (e1, . . . , en) une base fixée deE, (ϕij) la base deL(E) associée (ϕij(ek) =δjkei) etψij =Φ(ϕij).
1) Simplifierψij◦ψk`.
2) En déduire qu’il existeu1∈E\ {0} tel queψ11(u1) =u1.
3) On noteui=ψi1(u1). Montrer queψij(uk) =δjkui et en déduire que (ui) est une base deE.
4) Soitf ∈GL(E) définie par : f(ei) =ui. Montrer que : ∀g∈ L(E),Φ(g) =f◦g◦f−1. Exercice 57. Commutants itérés
Soitu∈ L(E). On pose pourv∈ L(E) : ϕ(v) =v◦u−u◦v, et on noteCi= Kerϕi (C0={0},C1est le commutant deu,C2est l’ensemble desv tels quev◦u−u◦v commute avecu,. . .).
1) Calculerϕ(v◦w) en fonction dev, w, ϕ(v) etϕ(w).
2) Montrer queC=S
i∈NCi est une sous-algèbre deL(E).
solutions
Exercice 4.
3) |a| 6=|b|.
Exercice 5.
Non, ils n’ont pas même dimension si E6={0} ouF6={0}.
Exercice 12.
f2=f◦g◦f =f ◦g=f doncf est une projection. gidem.
f ◦g=f donc Kerg⊂Kerf et par symétrie, Kerf = Kerg.
Réciproquement, sif, g sont deux projections de même direction, alorsf◦g et f coïncident sur la base et la direction de g, donc sont égales. De même, g◦f =g.
Exercice 13.
Direction = Kerf et Base = Img.
Exercice 14.
Direction = Kerp∩Kerqet Base = Imp⊕Imq.
Exercice 15.
Si λ6= 1, (id−f)◦((1−λ) id +f) = ((1−λ) id +f)◦(id−f) = (1−λ) id, donc id−f est bijective.
Exercice 18.
2)
2x0 =x−2y−z 2y0=−x−z 2z0 =−x−2y+z.
Exercice 19.
Si A=∅c’est évident.
Sinon,Aest un sous-groupe deGL(E) donc u
cardA est un projecteur et tr(u) = card(A) rg(u).
Exercice 24.
Imf ⊂Kerg⇒rgf+ rgg6dimE.
f +g est surjective⇒Imf+ Img=E⇒rgf + rgg>dimE.
Exercice 25.
2) c)g(x) =z.
Exercice 26.
2) rg(f+g) = rg(f) + rg(g)⇔Imf∩Img={0F}et Im(f+g) = Imf+ Img⇔Imf∩Img={0F} et
∀x, y,∃z tqf(x) +g(y) = (f+g)(z).
⇒: doncf(x−z) =g(z−y) = 0. Poury= 0 : x= (x−z) +z∈Kerf+ Kerg.
⇐: soientx=xf+xg ety=yf+yg : Alors f(x) +g(y) =f(xg) +g(yf) = (f+g)(xg+yf).
Exercice 28.
Soitp= 1 cardG
P
g∈Gg. Alorsg◦p=p, pour tout g∈G doncp2 =p, F ⊂Impet six∈Imp, on a p(x) =xd’où g(x) =x pour tout g ∈G c’est-à-direx∈F. DoncF = Imp et dimF = rg(p) = tr(p) (trace d’un projecteur).
Exercice 33.
1) dimH+ dimK= dimE.
2) SiH etK ne sont pas supplémentaires alorsE n’est pas stable pour◦.
Exercice 40.
f(x) =αx+β(x)u,β∈E∗. Exercice 41.
g= une projection sur Imf eth=f.
Exercice 43.
3) a)(f +g)(x) = 0 ⇒ fk(x) +g◦fk−1(x) = 0. Pour k = p: fk−1(x) = 0, puis pour k = p−1 : fk−2(x) = 0, etc, jusqu’àx= 0.
b) Même principe sur l’équation : (f+g)(x) =y.
On obtient : (f +g)−1=g−1◦(id−g−1◦f+g−2◦f2−. . .+ (−1)p−1g1−p◦fp−1).
Exercice 46.
1) u= (u−g◦f(u)) +g◦f(u).
2) f(Img)⊂Imf et f = (f◦g)◦f ⇒Imf ⊂Im(f ◦g) =f(Img).
Exercice 49.
3) c)dimK= (dimE)(dim Kerf) = dimI, dim(K ∩ I) = (rgf)2. Exercice 50.
On veut Img⊂Kerf et Kerg⊃Imf doncgest entièrement définie par sa restriction à un supplémentaire de Imf, application linéaire à valeurs dans Kerf.
On en déduit dimF = (codim Imf)(dim Kerf) = (dim Kerf)2. Exercice 51.
(rgu)(rgv).
Exercice 56.
1) ψij◦ψk`=δjkψi`.
2) ψ11 est un projecteur non trivial.
3) SiPλkuk= 0, alors en appliquantψ1j : λju1= 0⇒λj= 0.
4) Décomposergsur la base (ϕij).
Exercice 57.
1) ϕ(v◦w) =ϕ(v)◦w+v◦ϕ(w).
2) Par récurrenceϕn(v◦w) =Pn k=0
n k
ϕk(v)◦ϕn−k(w) donc siv∈ Cp etw∈ Cq alorsv◦w∈ Cp+q−1.
