ASI 3
Méthodes numériques pour l’ingénieur
Introduction :
vecteurs, matrices
et applications linéaires
Opérations sur les vecteurs
Vecteur x
base (canonique) bi , i=1,n
espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension
( )
∈ =
=
∈ ∃ ∈ =
=
∈
=
∈
∈ +
∈
∀
∈
∀
∈
=
=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
0 )
ker(
: de
noyau
de s.e.v.
,
, 1 soient
,
, ,
0
1 0
1 1
1 1
1
k i
i i k
i
i i i
i k
i
i i i
n i
n i
i i
n i
x W
y W
W
V x
y R V
y W
R x
k i
V x
V y
x R
V y
x
R x
b b
x x
x x x
α α
α
α α
µ λ
µ λ
Opérations sur les vecteurs
Somme
multiplication ? Vecteur transposé Norme
produit scalaire,
vecteurs orthogonaux
( )
{
( , ) 0}
' )
, (
; ' )
, (
' '
2 1
1 2 2
1
=
∈
=
=
=
=
=
=
=
+
= +
=
∑
∑
=
=
y x R
y
x x x
x x
y x y
x y
x
x x x
x
x x
x x
y x
z y
x z
n n i
i i n
i
i
n i
i i
i
Normes et produit scalaire
( )
2 2 12 2 1 2
, 1 1 1
1 1
2 2 2
, : Schwartz de
inégalité :
propriété
e euclidienn )
, (
; )
, ( ) , (
;
exemple ( , ) ( )
) , ( )
, ( )
, (
) , ( )
, (
) , ( )
, ( vérifiant
) , ( ,
:
scalaire produit
sup
;
; ) 1 (
;
;
exemples ( ) ( ) ( ) ) ( )
(
0 0
) (
positivité 0
) ( iant
vérif )
(
: : norme
y x
y x
x x
x x y
x y
x y
x p
R
E p x x n x
z y p z
x p z
y x
p
y x p y
x p
x y p y
x p y
x p y
x
R E
E p
x x
x x
p x
x x
x
R E
y n x
n y
x n
x n x
n
x x
n x n x
n x
R E
n
n i
i n
i
i i n
i n i n
i
i n
i
p i p
p n
i
i
n
≤
=
=
=
=
=
=
+
= +
=
=
× →
=
=
≥
=
=
=
+
≤ +
=
=
⇔
=
≥
→
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
∞ =
=
=
=
+
λ λ
λ λ
Matrices
=
nk nj
n
ik ij
i
k j
a a
a
a a
a
a a
a
A
1 1
1 1
11
Tableau de n lignes et k colonnes
Remarque fondamentale :
on ne peu rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente
Ay Ax
y x
A
Ax y
x
R R
A k n
µ λ
µ
λ + = +
→ =
) (
: linéaire
:
Applications linéaires
( )
1, une base de , et( )
1, une base desoit ei ∈E i = k E fi ∈ F i = n F
Noyau : image :
Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(ei)
rang = dim(Im(u))
u injective (ker(u) = 0) u surjective Im(u) = F
Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice
{ }
{
y F x E u x y}
u
x u E x
u == ∈∈ ∃ ∈= = ) ( que tel
) Im(
0 )
( )
ker(
Définition :
Propriétés :
Soient E et F deux espaces vectoriels
) ( )
( )
( : ssi linéaire est
) (
:
y u x
u y
x u u
x u y
x
F E
u
µ λ
µ
λ + = +
→ =
) ( alors
) ( que tels
s définisson
1
x u f
a e
u a
n j
j ji i
ji
∑
= =
Applications linéaires et matrices
( )
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
= =
=
=
=
=
=
nk ik
k
k
nj ij
j
j
n i
i i i
k j
j ij i
j k
j
j
n i
i ij k
j
j n
i
i ij k
j
j
j k
j
j k
j
j j
n i
i ij j
ij
a a a x
a a a x
a a a x y
y y
x a y
a x Ax
y
f a
x f
a x
e u x e
x u
x u y
f a e
u a
1 1
1 1 11
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
...
...
et
) (
alors
) ( que tels
s définisson
Propriétés des matrices
{ }
( )
{ }
{ }
0 , l'application linéaire associée est injective) ( ker si
de s.e.v.
un est c'
0 ker(A)
surjective est
associée linéaire
n applicatio l'
, )
( Rg si
tes indépendan nt
linéaireme de
colonnes de
nombre le
est c'
) Im(
dim )
( Rg
) Im(
ssi solution une
admet
de colonnes les
par engendré
s.e.v.
le est c'
que
tel )
Im(
=
=
∈
=
=
=
∈
=
=
∈
∃
∈
=
A
R Ax
R x
n A
A A
A
A b
b Ax
A y
Ax R
x R
y A
k k
k n
Rk Rn
Ker(A) •0
Img(A) u, A
Propriété des matrices
Noyau
Rang (nombre de colonnes linéairement indépendantes) variables équivalentes
équations équivalentes
systèmes liés - systèmes libres (matrices blocs) vecteurs propres
( )
( )
(
Rg( ) dim ker( ) 0)
et ssi
unique solution
une admet équation
l'
donné,
pour
Corolaire
) ker(
dim )
( Rg
=
⇔
=
= =∀
= +
A n
A n
k
b Ax
b A
k A
A Théorème
– Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F – soit k = dim(E) et n=dim(F)
Question fondamentale
A quelles conditions l’équation Ax = b admet-elle une solution unique ? Théorème
Dim(Im u)+dim(ker u) = dim(F) rang(u)+dim(ker u) = dim(F) corollaire
Opérations sur les matrices
Somme :
somme des applications linéaires produit :
composition des
applications linéaires
B A
C
b a c
AB C
n B
A B
A
b a
c B
A C
B A
n k
kj ik ij
ij ij
ij
que colonnes
de autent et
que lignes
de autant a
;
de lignes de
nombre de
colonnes de
nombre
avec matrices
deux et
soient
e.v.
un est taille
même de
matrices des
ensemble l'
: remarque
;
taille même
de matrices deux
et soient
∑
1= =
=
=
= +
= +
=
A
B n
n
p q
p AB
C v u w q
p A
u n
B v q
R G
R E
R G
R F
R E
=
→
=
=
→
=
→
=
=
= ,
, ,
AB n’est pas BA (non commutatif)
Complexité algorithmique
Quel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ? Définitions
– grand O – petit o
– équivalence asymptotique
( )
( )
( ) 1
) (
) lim (
lorsque )
( )
(
) 0 (
) lim ( lorsque
) ( )
(
infini l'
à borné étant
) ( ), ( ) ( ) ( lorsque
) ( )
(
=
≡
∞
→ Ω
=
=
≡
∞
→
=
=
≡
∞
→
=
∞
→
∞
→
x g
x x f
x g x
f
x g
x x f
x g o x f
x H x H x g x f x
x g x
f
x x
O
O(n2) < Algorithme < O(n3)
=
22 21
21 11
22 21
21 11
22 21
21 11
c c
c c
b b
b b
a a
a a
A, B et C sont des matrices carrées de taille n
Exemple, n=2
23 = 8 multiplications Comme Strassen, 1969 sauriez vous faire mieux ?
22 22
12 21
22
21 22
11 21
21
22 12
12 11
12
21 12
11 11
11
b a
b a
c
b a
b a
c
b a
b a
c
b a
b a
c
× +
×
=
× +
×
=
× +
×
=
× +
×
=
Complexité algorithmique
Quel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ?
=
22 21
21 11
22 21
21 11
22 21
21 11
c c
c c
b b
b b
a a
a
Exemple, n=2 a
o(n2) < Algorithme < O(nlog27)
log10(n) n3/n(log2(7)) 1 1.5 2 2.4 3 3.7 4 5.8 5 9.1
6 14.3
7 22.3
8 34.7
9 54.1 10 84.4
Strassen, 1969
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
12 22) (
21 22)
7
12 11
11 21
6
22 12
11 5
21 11
22 4
22 12
11 3
11 22
21 2
22 11
22 11
1
b b
a a
Q
b b
a a
Q
b a
a Q
b b
a Q
b b
a Q
b a
a Q
b b
a a
Q
+
×
−
=
+
×
−
=
× +
=
+
−
×
=
−
×
=
× +
=
+
× +
=
6 2
3 1
22
5 3
21
4 2
12
7 5
4 1
11
Q Q
Q Q
c
Q Q
c
Q Q
c
Q Q
Q Q
c
+
− +
=
+
=
+
=
+
− +
=
2,807
Opérations sur les matrices
Inverse
(a.l. bijective <=> matrice carrée) matrice identité I
Transposée (adjointe pour les complexes)
A est symétrique ssi A’=A
Permutation p associé à la matrice P (changement de base de ei à ep(i))
I AA
A
A−1 = −1 =
=
1 0
0
0 1
1 0
0 0
1
In
( )
est carrée:( )
1 '( )
' 1si
; ' )'
(
; ' ' )'
(
; ' '
)' (
; '
' Propriétés
' : ' Définition
− = −
=
= +
= +
=
=
A A
A
kA kA
A B AB
B A
B A
A A
a a
A ij ji
AP P
A P
P i P
p
i 1 1
'
; '
0 1
0 0
0 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
; 1 4
2 3
) (
4 3
2
1 − −
=
=
=
Opérations sur les matrices
Changement de base
déterminant d’une matrice carrée
1 ,~
~ 1
, ~
: ,~
~ ,~
~
,
,
-
A i i u
A i i u
PAP A
e E e
E
P P
e E e
E
=
→
↓
↑
→
−
passage de
matrice :
~ Pe P
ei = i
sinon) (-1
tion transposi
de pair nombre
un en
décomposer peut
on si 1
possibles ns
permutatio des
ensemble l'
désigne
...
...
) ( )
det(
taille de
carrée matrice
) ( )
( 2
) 2 ( 1 ) 1 (
p sign(p)
P
a a
a a
p sign A
n A
P p
n n p i
i p p
p
=
= ∑
∈
Quelques matrices particulières
Matrices carrées
Matrices diagonales
Matrices triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices par bandes
Matrice diagonale (strictement) dominante Matrice symétrique
Matrice de Vandermonde (déjà vu en introduction) Matrice de Toeplitz
Matrice de Hankel
ii
ij a
a n
i 1, ( ) ,
carrée matrice
une pour
n i j 1, j
<
≤
∈
∀
∑
≠
=
∑
=n − = =i
i j
j
i x y i n
a
1
, 1
,
4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque l’on : 1. permute 2 lignes
2. permute 2 colonnes
3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre
de fois une autre ligne
