Harmoniques dans une ligne triphasée avec des charges équilibrées non linéaires. Corrigé

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 5 - 1 -

Harmoniques dans une ligne triphasée avec des charges équilibrées non linéaires. Corrigé

Réponse du § A) :

) (t

i_A présente une symétrie de glissement, donc son spectre ne possède pas d’harmoniques pairs.

Voici une recomposition du courant i_A(t) à partir de ses harmonique 1, 3 et 5 :

0 10 ms 20 ms 30 ms

-10 0 10

Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1 , 3 et 5 iA(t)

t

) (t

i_A I_Aeff 4,13 A

2

2 , 0 3 , 0 5 , 0 6 , 1 3 , 3 5 ,

4 ^{2 2 2 2 2 2}

+ = +

+ +

≈ +

826 , 5 0

, 4

2 , 0 3 , 0 5 , 0 6 , 1 3 , 3

2

2 2

2 2

2 + + + + =

f ≈ THD

Le fondamental du courant i₁(t) est légèrement en retard par rapport à la tension (environ 0,6 ms)

(

^≈12^°

) ( )

0,98

cos ₁ ≈

⇒ ϕ

( )

0,756

826 , 0 1

98 , 0 THD

1 PF cos

k 2 2

f

1 =

+

= +

≈

= ϕ

W 734 13 , 4 . 235 . 756 , 0 I.

V . PF I. P

V PF P

k _{eff eff}

eff eff

=

=

=

⇔

=

=

Ou P Veff I _eff

( )

.0,98 733W 2

5 , .4 1 235 cos 1 .

. = =

= ϕ

On peut estimer que le condensateur C1 ne se décharge que lorsque les diodes sont bloquées, (C’est une approximation). Dans ce cas :

[ ]

V v v

C i dt

t v

d C C C 19,7

10 . 3286 6 10

. 7

3 , ) 2

( 3 1

1 4

1 1 ∆ ⇒∆ ≈

≈

=

−

=

−

= _{− −}

C V C v

C V

V _moy 330 9,8 320

2 1 1

1 _max ∆ ≈ − =

−

≈

⇒ . ⇒ P=VC1_moy.I1 ≈320.2,3=736W Ce qui confirme

bien le résultat précédent.

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 5 - 2 - Réponse du § B) :

) ( ) ( )

(t i t i t

i_N = _A + _B

(

.

)

ˆ .cos

(

3. .

)

ˆ .cos

(

5. .

)

ˆ .cos

(

7. .

)

...

cos ˆ . )

(t = I₁ ω t +ϕ₁ + I₃ ω t+ϕ₃ +I₅ ω t +ϕ₅ + I₇ ω t +ϕ₇ + i_A

(avec T : période = 20 ms et T ω = ²π ) 3)

( )

( T

t i t

i_B = _A −

3 ...

. . 5 cos ˆ . . 3

. 3 cos ˆ . . 3

cos ˆ . )

( _{1 1 3 3 5 5}⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= ω ϕ ω T ϕ I ω t ^T ϕ

t T I

t I

t i_B

3 ...

. 10 . 5 cos ˆ . 3 . 6

. 3 cos ˆ . 3 . 2

cos ˆ . )

( _{1 1 3 3 5 5} ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

⇒i_B t I ω t ϕ π I ω t ϕ π I ω t ϕ π

( )

...

3 . 4

. 5 cos ˆ . .

. 3 cos ˆ . 3 . 2

cos ˆ . )

( _{1 1 3 3 5 5} ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

+ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

⇒i_B t I ω t ϕ π I ω t ϕ I ω t ϕ π

( ) ( ) ( )

( )

( ) ^{3 ...}

. 4 . 5 cos ˆ . .

. 3 cos ˆ . 3

. 2 cos ˆ.

. . 5 cos ˆ . .

. 3 cos ˆ . .

cos ˆ. )

(

5 3 . . 5 cos 5. ˆ

5 5

. 3 . 3 cos 3. .ˆ 2

3 3

1 3 . cos 1. ˆ

1 1

5 5

3 3

1 1

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

+ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

+

+ +

+ +

+

=

⇒

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

4 1 4 4 3 4

4 4 2 4 1

4 4 4 3 4

4 4 4 2

1 ω ϕ π

ϕ π ω

ϕ ω

ϕ π ω ϕ

π ω ϕ ω

ϕ ω ϕ

ω ϕ

ω

t I

t I

t I

N

t I

t I

t I

t I

t I

t I

t i

(Les sommes de fonctions alternatives sinusoïdales de même pulsation peuvent être obtenue par un diagramme de Fresnel).

L’amplitude des harmoniques impairs non multiples de 3 est identique au cas précédent. L’amplitude des harmoniques impairs 3 et multiples de 3 est doublée.

( ) ( )

A

I_Neff 5,78

2

2 , 0 3 , 0 . 2 5 , 0 6 , 1 3 , 3 . 2 5 ,

4 ^{2 2 2 2 2 2}

+ = +

+ +

≈ +

Remarque : s’il n’y avait aucun chevauchement entre les graphes de i_A(t) et de i_B(t),

{ [

iN(t)

]

²

}

_moy serait doublé par rapport au A), et donc I_Neff serait multiplié par 2 (soit 4,13. 2 5,84 A) ce qui est très proche du résultat obtenu).

=

Le spectre d’amplitude de i_N(t) issu de la simulation est le suivant :

0Hz 50Hz 100Hz 200Hz 300Hz 400Hz 500Hz 600Hz

0A 2.5A 5.0A

PowerElecPro – Corrigé de Chap6_exercice 5 - 3 - Réponse du § C) :

) ( ) ( ) ( )

(t i t i t i t

i_N = _A + _B + _C . Les courants i_A(t), et i étant triphasés, alternatifs et équilibrés, seuls les harmoniques 3 et multiples de trois (non nuls) sont présents dans le neutre (voir la démonstration dans le cours (chapitre 5))

) (t

i_{B C}(t)

(

.

)

ˆ .cos

(

3. .

)

ˆ .cos

(

5. .

)

ˆ .cos

(

7. .

)

...

cos ˆ . )

(t = I₁ ω t +ϕ₁ + I₃ ω t+ϕ₃ +I₅ ω t +ϕ₅ + I₇ ω t +ϕ₇ + i_A

(

3. .

)

3. ˆ .cos

(

9. .

)

3. ˆ .cos

(

15. .

)

...

cos ˆ . . 3 )

( = ₃ + ₃ + ₉ + ₉ + ₁₅ + ₁₅ +

⇒i_N t I ω t ϕ I ω t ϕ I ω t ϕ

Le spectre d’amplitude de i_N(t) issu de la simulation est le suivant :

0Hz 50Hz 100Hz 150Hz 200Hz 250Hz 300Hz 350Hz 400Hz 450Hz 500Hz 550Hz 0A

5A 10A

( ) ( )

A

I_Neff 7,03

2

3 , 0 . 3 3 , 3 .

3 ^{2 2}

+ =

≈

Remarque : s’il n’y avait aucun chevauchement entre les graphes de i_A(t), i_B(t) et de i_C(t),

{ [

iN(t)

]

²

}

_moy

serait triplé par rapport au A), et donc I_Neff serait multiplié par 3 (soit 4,13. 3=7,15 A) ce qui est très proche du résultat obtenu).

En triphasé équilibré, le facteur de puissance se défini par

eff eff I.

V . 3 PF P

k = = . Par rapport au A), la puissance active est triplée et les tensions et courants efficaces sont inchangés. Le facteur de puissance est donc le même.