Moyennes harmoniques

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ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

FERNANDOALCALDECUESTA

Moyennes harmoniques

Tome XIX, n^o3-4 (2010), p. 493-512.

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pp. 493–512

Moyennes harmoniques

Fernando Alcalde Cuesta⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— Nous introduisons une notion de moyenne harmonique pour une marche aléatoire sur une relation d’équivalence mesurée graphée, qui généralise la notion classique de moyenne invariante. Pour les graphages

`

a géométrie bornée, une telle moyenne existe toujours. Nous prouvons qu’une moyenne harmonique devient invariante lorsque la marche aléatoire sur presque toute orbite jouit de bonnes propriétés asymptotiques telles que la propriété de Liouville ou la récurrence.

ABSTRACT.— We introduce a notion of stationary mean for random walks on graphed measured equivalence relations, which generalizes the classical notion of invariant mean. For graphings of bounded geometry, such mean always exists. We prove that any stationary mean becomes invariant if the random walk on a.e. orbit has good asymptotic properties such as triviality of Poisson boundary or recurrence.

1. Introduction

Les groupes moyennables furent introduits par J. von Neumann en 1929, mais l’´etude des moyennes invariantes remonte aux travaux de H. Lebesgue qui posa la question de l’existence d’une mesure ﬁniment additive invariante par translation sur R. Ce ne fut que vingt ans plus tard que M. M.

Day interpr´eta une moyenne invariante commeune forme lin´eaire continue

(∗) Re¸cu le 12/12/2008, accept´e le 28/05/2009

Ce travail a été financé par les ministères espagnols de la Science et de la Technologie BFM2002-04439-C01 et de l’ Éducation et de la Science MTM2004-08214

(1) Departamento de Xeometr´ıa e Topolox´ıa, Universidade de Santiago de Compostela, E-15782 Santiago de Compostela (Espagne)

fernando.alcalde@usc.es

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sur l’algèbre de Banach des fonctions essentiellement bornées qui est posi- tive, unitaire et invariante par translation. Il d´emontra que la donnée d’une moyenne invariante est équivalente à celle d’une suite de moyennes asymptotiquement invariantes, ainsi que le théorème de point fixe qui porte son nom [13, 25, 31]. Nous nous contenterons de rappeler la première condition pour un groupe discret dénombrable Γ [15, 17] :

(CD0)Il y a une suite de mesures de probabilit´eλn surΓtelle que la norme λn−γ.λn₁→0pour tout γ∈Γ.

Soit Γ un groupe dénombrable d’automorphismes d’un espace borélien standard X, muni d’une mesure de probabilité quasi-invariante µ. Sup- posons que l’ensemble de points fixes est de mesure nulle. L’action de Γ surX induit une action de Γ surL^∞(X, µ) définie par l’opérateur de Koop- man (γ.f)(x) = f(γ⁻¹(x)) pour tout γ ∈ Γ et tout x ∈ X. De mˆeme, l’action diagonale sur Γ×X induit une action surL^∞(Γ×X,µ) o` uµest le produit de la mesure de comptage sur Γ parµ. D’après les travaux de R. J.

Zimmer [30, 31], la moyennabilité de l’action de Γ surX est équivalente à la donnée de :

(M G1) une application L^∞(X, µ)-lin´eaire m: L^∞(Γ×X,µ)→L^∞(X, µ) qui est positive, unitaire et ´equivariante pour les actions naturelles deΓ;

(M L1)un syst`eme mesurablemde moyennesmxsur les orbitesΓ.xtel que pourµ-presque tout x∈X et touty∈Γ.x, on amx=my.

Pour étendre la condition de Day, il suffit de remplacer chaque mesureλ_n par un système mesurable de mesures de probabilité sur les orbites : (CD₁)Il existe une suite de systèmes mesurables λ_n de mesures de proba- bilité λ^x_n sur Γ.xtelle que λ^x_n−λ^y_n₁ →0 pour µ-presque toutx∈X et touty∈Γ.x.

L’action de Γ surX s’identifie avec la relation d’équivalenceR définie par les orbites car (β, α) : (γ, x)∈Γ×X →(x, γ⁻¹(x))∈X×X définit un isomorphisme de groupo¨ıdes boréliens entre le groupo¨ıde transformationnel Γ×X et le graphe deRhors d’un ensemble saturé négligeable. Les critères ci-dessus s’étendent donc facilement aux relations d’équivalence mesurables discrètes. SoitX un espace borélien standard, muni d’une mesure de proba- bilité µ. Une relation d’´equivalence R sur X est mesurable discrète si le graphe deRest un borélien deX×X et toute classe d’équivalenceR[x] est dénombrable. La mesureµestquasi-invariantesi le saturé d’un borélien de

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mesure nulle reste de mesure nulle. On dit alors que (R, X, µ) est unerela- tion d’équivalence mesurée discrète[9]. En identifiantRavec son graphe, on peut munirRde la mesureµobtenue par intégration de la mesure de comptage contreµ. Pour tout borélienA deR, on a donc µ(A) =

|A^x|dµ(x) où |A^x| est le nombre d’éléments de A^x = {y ∈ X/(x, y) ∈ A} ⊂ R[x].

Si on note δ la dérivée de Radon-Nikodym de µ par rapport à son im- ageµ⁻¹ par l’inversionι(x, y) = (y, x), alorsµ(A) =

1A(x, y)dµ(x, y) = 1A(x, y)δ(x, y)dµ(y, x) =

|Ay|ydµ(y) oùAy ={x∈X /(x, y)∈A} ⊂ R[y] et|x|y=δ(x, y). En fait, toute relation d’´equivalence mesurée discrète est définie par l’action d’un pseudogroupe mesurable Γ, engendré par une famille dénombrable Φ d’isomorphismes boréliensϕi : Ai →Bi entre par- ties boréliennes de X qui préservent les ensembles de mesure nulle. Grâce au système de générateurs Φ, on peut réaliser chaque classe R[x] comme l’ensemble de sommets d’un grapheRΦ[x], muni de la distancedΦdéfinie par la longueur des Φ-mots. Il suffit de relier deux sommetsy=zpar une arête (et l’on écrira y ∼Φ z avec d_Φ(y, z) = 1) s’il existe un générateur ϕ ∈ Φ tel que z = ϕ^±¹(y). On dira que Φ est un graphage de R. Il est à géométrie bornée si le nombre v_Φ(x) d’arêtes in- cidentes à x et le cocycle de Radon-Nikodym δ(x, y) = dµ(x)/dµ(y) avec x∼Φy sont uniformément bornés pourµ-presque toutx∈X.

D’après un théorème de A. Connes, J. Feldman et W. Weiss [6], une relation d’équivalence mesurée discrète (R, X, µ) est moyennable si et seulement si elle est hyperfinie, i.e. il existe une suite croissante de relations d’équivalence finies Rn telle que R[x] =

n∈NRn[x] pour µ-presque tout x∈X. Ce résultat est l’aboutissement d’une longue suite de travaux. Dans [7], H. A. Dye a démontré que toute action libre deZpréservant une mesure de probabilité sans atome définit une relation d’équivalence hyperfinie, puis il a étendu ce résultat aux groupes à croissance polynomiale [8]. Plus tard, C. Series a prouvé l’analogue pour les relations d’équivalence mesurables [28], alors que M. Samuélidès a enlevé la condition d’invariance rendant le résultat valable pour toute mesure quasi-invariante [27].

Dans ce travail, nous introduirons une notion demoyenne harmonique sur une relation d’équivalence mesurée graphée (R, X, µ,Φ), dégagée de [6], dans l’esprit des mesures harmoniques définies par L. Garnett [12]. Il s’agit d’une moyenne qui n’est plus préservée par les transformations partielles de R, mais par la marche al´eatoire sur les orbites de Φ. Cela veut dire qu’on choisit un pointx∈X au hasard pourµ, puis on se déplace au hasard dans RΦ[x] avec une certaine probabilité de passage d’un sommet à l’un de ses voisins. Comme les mesures harmoniques, les moyennes harmoniques“ont l’avantage d’exister”mais le prix à payer est leur dépendance de la marche

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aléatoire. Cela comporte la perte d’une propriété importante des moyennes invariantes, à savoir qu’une relation d’équivalence induite sur une partie borélienne hérite d’une relation d’équivalence moyennable une moyenne invariante, mais c’est le cœur du travail. En fait, bien que l’existence d’une moyenne invariante soit une propriété dynamique, la plupart des critères connus dépendent de propriétés métriques des orbites. Nous verrons qu’une moyenne harmonique devient invariante lorsque les orbites génériques jouis- sent de bonnes propriétés asymptotiques telles que larécurrence(i.e. toute fonction superharmonique positive est constante) ou lapropriété de Liou- ville(i.e. toute fonction harmonique bornée est constante), cf. [6, 18]. Nous retrouverons ainsi les résultats de C. Series et M. Samuélidès, ainsi que leurs généralisations en termes de croissance sous-exponentielle [17] et de nombre de branchement [3] lorsqueµest harmonique.

2. Définitions et préliminaires

Soit (R, X, µ,Φ) une relation d’équivalence mesurée graphée. Avant d’introduire la notion de moyenne harmonique, nous aurons besoin de quelques préliminaires.

2.1. Marche al´eatoire sur R

Unnoyau de transition est une application mesurableπà valeurs dans ]0,1], définie sur les arêtes des orbitesRΦ[x] et dont la restriction aux arêtes issues de µ-presque tout point x est markovienne, i.e.

x∼Φyπ(x, y) = 1. Nous venons d’identifier abusivement l’ensemble des arêtes avec K = {(x, y)∈ R/x∼Φy}. L’application induite surKs’étend en une application surR, notée encoreπ, qu’on identifie au système mesurable de mesures de probabilitéπ(x,−) sur R[x] oùπ(x, y) est la probabilité de passage dexà y six∼Φy etπ(x, y) = 0 sinon.

On appelle marche aléatoire sur RΦ[x] l’ensemble des trajectoires Z = {Z_n}_n∈_N, muni de la σ-alg`ebre engendrée par les cylindres {Z ∈ R[x]^N/Z₀ =x₀, . . . , Z_n =x_n} où x₀, . . . , x_n ∈ R[x] et de la mesure de probabilité

P_x[Z₀=x₀, . . . , Z_n =x_n] =π^x₀(x₀)π(x₀, x₁). . . π(x_n−1, x_n) (2.1) où π^x₀ est la mesure de Dirac en x. On appelle distribution de la marche aléatoire au temps n la mesure de probabilité πn(x,−) = (αn)_∗Px induite par la projection αn : Z ∈ R[x]^N → Zn ∈ R[x]. Les mesures π₀^x et π(x,−) sont donc les distributions de la marche al´eatoire aux temps

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n = 0 et n = 1. La marche aléatoire sur R est la moyenne pour µ des marches aléatoires sur les orbitesRΦ[x] [26], c’est-à-dire l’ensemble des trajectoires Ω =

x∈XR[x]^N, muni de laσ-algèbre engendrée par les cylindres C={Z ∈Ω/Z₀∈B₀, . . . , Z_n∈B_n}oùB₀, . . . , B_n sont des boréliens deX et de la mesure de probabilitéP =

P_xdµ(x) donn´ee par : P(C) =

P_x(C∩ R[x]^N)dµ(x). (2.2) Dans le langage probabiliste, c’est une chaˆıne de MarkovZ d’espace d’´etats X avec probabilit´e de transitionπet distribution initialeµ.

Exemples 2.1. —i) Si les orbites RΦ[x] sont localement finies, on peut supposer que le passage d’un sommet à l’un de ses voisins est équiprobable.

On obtient ainsi le noyau de transitionπ(x, y) = _v ¹

Φ(x) définissant lamarche aléatoire simple. La marche al´eatoireréversibleest caractérisée par la donnée d’une fonction mesurablec:X →]0,+∞[ telle quec(x)π(x, y) =c(y)π(y, x) pourµ-presque toutx∈Xet touty∼Φx. On appelleconductancede l’arête reliantxà y la quantitéc(x, y) =c(x)π(x, y) et conductance totale dexla quantitéc(x) =

y∼Φxc(x, y).

ii) Soit Γ un groupe discret dénombrable, muni d’une mesure de proba- bilitéπ. On appellemarche aléatoire à droitela chaˆıne de Markov d’espace d’états Γ ayant probabilité de transitionπR(γ, η) =π(γ⁻¹η) avec γ, η∈Γ [19]. Cela signifie qu’un étatγn de la marche aléatoire au tempsns’obtient

`

a partir d’un état initial γ0 par composition à droite avec des éléments ϕ₁, . . . , ϕ_n choisis au hasard. L’ensemble des éléments de Γ qui sont at- teignables à partir de l’élément neutre e co¨ıncide avec le semi-groupe en- gendré par le support de π. De mˆeme, la marche aléatoire à gauche est définie en rempla¸cant π_R parπ_L(γ, η) =π(ηγ⁻¹) ouπpar ˇπ(γ) =π(γ⁻¹).

Le choix d’une distribution initialeπ₀permet de munir l’ensemble Γ^Nd’une mesure de probabilit´e

P[Z0=γ0, . . . , Zn =γn] =P(Cγ0,γ1,...,γn) =π0(γ0)π(γ₀⁻¹γ1). . . π(γ_n−1⁻¹ γn) obtenue comme l’image de la mesureπ0⊗(_∞

i=1π) sur Γ^N= Γ×(_∞

i=1Γ) par l’application (γ₀, ϕ₁, ϕ₂, . . .)∈Γ^N→(γ₀, γ₀ϕ₁, γ₀ϕ₁ϕ₂, . . .)∈Γ^N. Siπ₀ est la mesure de Dirac en e, alors la distribution de la marche al´eatoire au temps n0 se réduit au produit de convolutionπ_n =π∗ . . .ⁿ ∗π. Enfin,π définit une structure de graphe orienté sur Γ de manière que deux sommets γ, η ∈ Γ sont reliés par une arête si π(γ⁻¹η)> 0. Si π est non dégénérée (i.e. Γ est égal au semi-groupe engendré par son support), ce graphe est connexe.

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2.2. Mesures harmoniques

On appelleopérateur de diffusionl’opérateur markovien D_π:L^∞(X, µ)→L^∞(X, µ)

d´eﬁni par :

D_πf(x) =

y∼Φx

π(x, y)f(y). (2.3)

On appellelaplacienl’opérateur ∆_π :L^∞(X, µ)→L^∞(X, µ) défini par :

∆_πf(x) =D_πf(x)−f(x) =

y∼Φx

π(x, y)f(y)−f(x). (2.4) L’opérateur Dπ agit par dualité sur les mesures sur X. En particulier, les itérés de l’opérateur dual D^∗_π appliqués à µ redonnent les distributions (αn)_∗P. En effet, les distributionsπn(x,−) = (αn)_∗Px co¨ıncident avec les mesures (D^∗_π)ⁿπ^x₀ obtenues par diffusion deπ^x₀ et donc

(α_n)_∗P(B) =

(

1_B(Z_n)dP_x(Z) )dµ(x)

=

(

xi∼Φxi+1

π(x, x1). . . π(x_n−1, xn)1B(xn) )dµ(x)

=

D_πⁿ1_B(x)dµ(x)

= (D^∗_π)ⁿµ(B).

pour tout bor´elienB deX.

Définition 2.2. — Une mesure quasi-invariante m sur X est dite π- harmoniqueouπ-stationnaire [12, 19, 26] si elle vérifie l’une des deuxcon- ditions équivalentes suivantes :

i)m est préservée par l’opérateurD^∗_π;

ii) pour toute fonction mesurable born´eef :X →R, on a

∆πf dm= 0.

Soith : X → R la fonction intégrable (essentiellement bornée lorsque Φ est à géométrie bornée) définie par h(x) =

y∼Φxπ(y, x)δ(y, x) et q ui v´eriﬁe :

h(x)dµ(x) =

y∼Φx

π(y, x)δ(y, x)dµ(x) =

1X(y)dµ(y) = 1. (2.5)

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De mˆeme, pour toute fonction mesurable born´eef :X →R, on a :

D_πf(x)dµ(x) =

h(y)f(y)dµ(y) (2.6) et donc h est la dérivée de Radon-Nikodym de D_π^∗µ par rapport à µ. Si on pose | |x= δ(−, x), alors D_π^∗δ(−, x)(y) =

z∈R[y]Dπ1_{y}(z)δ(z, x) =

z∼Φyπ(z, y)δ(z, x) =h(y)δ(y, x) pour touty∈ R[x]. Il en r´esulte que : Lemme 2.3. — Les trois conditions suivantes sont ´equivalentes :

i) la mesureµ estπ-harmonique ; ii) la fonctionh=1_X presque partout ;

iii) pourµ-presque tout x∈X, la mesure | |x est π-harmonique.

La mesure de probabilité P définie par la formule (2.2) se projette par l’application (α₀, α₁) : Ω→ R ⊂X×X en une mesure de probabilitéµsur R. Ses images par les projections

β: (x, y)∈ R →x∈X etα: (x, y)∈ R →y∈X

co¨ıncident avec les distributions µ et D_π^∗µ aux temps n = 0 et n = 1 respectivement. Si σ : Ω→Ω est le d´ecalage σ({Zn}) ={Zn+1}, alors la distribution de P au temps n= 1 co¨ıncide avec la distribution de σ_∗P au tempsn= 0. Ces deux remarques impliquent le r´esultat suivant [12, 26] :

Lemme 2.4. — Les trois conditions suivantes sont ´equivalentes : i) la mesureµ estπ-harmonique ;

ii) les mesures de probabilit´eα_∗µ etβ_∗µ surX sont ´egales ;

iii) la mesure de probabilit´eP sur Ωest invariante par le d´ecalageσ.

2.3. L¹-extension, dualit´e et diﬀusion sur R

Si Φ est à géométrie bornée, l’opérateurD_πs’étend àL¹(X, µ) et l’extension est donnée par :

Dπg(x) =

y∼Φx

π(x, y)g(y) (2.7)

pour tout g ∈L¹(X, µ). C’est un opérateur linéaire continu avec Dπ h_∞, qui préserve les fonctions constantes et qui est positif sur les fonctions

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positives. L’op´erateur dualD^∗_π:L^∞(X, µ)→L^∞(X, µ) est donn´e par : D^∗_πf(x) =

y∼Φx

π(y, x)f(y)δ(y, x) (2.8)

pour toutf ∈L^∞(X, µ). Il s’agit encore d’un opérateur linéaire continu, qui préserve les fonctions positives, mais tel queD^∗_π(1_X) =h. Il est markovien si et seulement siµestπ-harmonique. En fait,D_π^∗ est l’opérateur de diffusion Dπˇ où ˇπ(x, y) =π(y, x)δ(y, x) siy∼Φxet ˇπ(x, y) = 0 sinon.

Tous ces opérateurs s’étendent sans peine au graphe d’une relation d’équi- valence mesurée graphée (R, X, µ,Φ). D’abord, on appelleopérateur de dif- fusion à gauche sur R l’opérateur markovienD_π :L^∞(R,µ) →L^∞(R,µ) défini par :

DπF(x, z) =

y∼Φx

π(x, y)F(y, z) (2.9) pour toutF∈L^∞(R,µ) et µ-presque tout (x, z) ∈ R. Si Φ est `a géométrie bornée,Dπest extensible àL¹(R,µ), i.e. sa restriction ` aL¹(R,µ)∩L ^∞(R,µ) l’est. En effet, par analogie avec la formule (2.7), l’extension est donnée par :

D_πG(x, z) =

y∼Φx

π(x, y)G(y, z) (2.10)

pour tout G∈ L¹(R,µ) et µ-presque tout (x, z) ∈ R. C’est un op´erateur linéaire continu avecDπh_∞, qui préserve les fonctions constantes et qui est positif sur les fonctions positives. Par analogie avec la formule (2.8), l’opérateur dual est donné par :

D^∗_πF(x, z) =

y∼Φx

π(y, x)F(y, z)δ(y, x) (2.11)

pour tout F ∈ L^∞(R,µ) et µ-presque tout (x, z) ∈ R. Dans ce cas, on a D_π^∗(1_R) =β^∗h. Comme d’habitude, on peut d´eﬁnir unop´erateur laplacien

`

a gauche∆_π sur L^∞(R,µ), une extension ∆_π `a L¹(R,µ) et un op´erateur dual ∆^∗_π surL^∞(R,µ).

Soient β^∗ : L^∞(X, µ) → L^∞(R,µ) et α^∗ : L^∞(X, µ) → L^∞(R,µ⁻¹) les plongements isom´etriques induits par les projections β(x, y) = x et α(x, y) = y. Soit ι^∗ : L^∞(R,µ) → L^∞(R,µ⁻¹) l’isom´etrie induite par l’inversionι(x, y) = (y, x). Notons encoreα^∗et ι^∗ les applications obtenues en rempla¸cantµ⁻¹ parµ.

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Définition 2.5. — Une fonction F ∈ L^∞(R,µ) est dite invariante à droite (resp. à gauche) si F appartient à l’image de β^∗ (resp. α^∗), i.e.

F(x, z) =F(x, w) (resp.F(z, x) =F(w, x)) pourµ-presque tout point x∈ X et tout couplez, w∈ R[x]. Elle est diteharmonique `a gauchesi∆_πF = 0.

Toute fonction invariante `a gauche est harmonique `a gauche.

2.4. Syst`emes de mesures de probabilit´e et convolution

Tout système mesurable λ={λ^x}x∈X de mesures de probabilitéλ^xsur R[x] s’identifie avec la fonction mesurable λ : (x, z) ∈ R → λ^x(z) ∈ R.

Ces fonctions forment un sous-ensemble convexeP(R) deL¹(R,µ), qui est préservé parDπ. Siπ0∈ P(R) s’identifie au système de mesures de Dirac π^x₀, alorsπ=D_ππ₀∈ P(R) est la fonction définie par le noyau de transition sur R. Plus généralement, la fonction π_n =Dⁿ_ππ₀∈ P(R) correspond aux distributions π_n(x,−) = (D^∗_π)ⁿπ₀^x.

Pour conclure, nous verrons que les opérateurs de diffusion surRsont définis par convolution. Considérons les actions par convolution de P(R) surL^∞(X, µ) etL¹(X, µ) induites par l’action à gauche deRsurX :

L(λ)(f)(x) = (λ∗f)(x) =

y∈R[x]

λ(x, y)f(y), (2.12) L(λ)(g)(x) = (ˇλ∗g)(x) =

y∈R[x]

λ(y, x)g(y)δ(y, x), (2.13)

oùλ∈ P(R),f ∈L^∞(X, µ),g ∈L¹(X, µ) etx∈X [4]. AlorsDπ =L(π) et D_π^∗ =L(ˇπ) lorsque µestπ-harmonique. De même, pour toutλ∈ P(R), on définit des opérateurs de convolution :

L(λ)(F)(x, z) = (λ∗F)(x, z) =

y∈R[x]

λ(x, y)F(y, z) (2.14) L(λ)(G)(x, z) = (ˇλ∗G)(x, z) =

y∈R[x]

λ(y, x)G(y, z)δ(y, x) (2.15)

oùF ∈L^∞(R,µ), G∈L¹(R,µ) et (x, z)∈ R. Les op´erateurs de diffusion à gauche sur L^∞(R,µ) etL¹(R,µ) co¨ıncident avec L(π) etL(ˇπ) respective- ment.

3. Moyennes harmoniques

Nous introduirons ici la notion de moyenne harmonique pour une relation d’équivalence mesurée graphée (R, X, µ,Φ), munie d’un noyau de

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transitionπ. Le graphage Φ sera toujours supposé à géométrie bornée dans la suite.

Définition 3.1. — On appellemoyenne globaleun opérateurL^∞(X, µ)- linéaire continum:L^∞(R,µ) →L^∞(X, µ), qui est positif et unitaire. Une telle moyenne est π-harmonique ou stationnaire pour la marche aléatoire sur R si m préserve les fonctions harmoniques, i.e. pour toute fonction F ∈ L^∞(R,µ) harmonique à gauche, la fonction m(F) ∈ L^∞(X, µ) est harmonique.

Définition 3.2. — Un système de moyennes locales est un système m = {mx}x∈X de moyennes mx sur les classes R[x]. C’est-à-dire m_x∈l^∞(R[x])^∗ est une forme linéaire positive et unitaire. Un tel système est mesurable si pour toute fonction mesurable F : R → R, la fonction m(F) : X → R définie par m(F)(x) = m_x(F(x,−)) l’est aussi. Il est π-harmoniquesim_x=

y∼Φxπ(x, y)m_y pourµ-presque tout x∈X.

Définition 3.3. — Considérons une suite de systèmes mesurables λn = {λ^x_n}x∈X de mesures de probabilité λ^x_n sur les classes d’équivalence R[x]. Ils sontasymptotiquementπ-harmoniquessi

y∼Φx

π(x, y)λ^y_n−λ^x_n₁→0

pour µ-presque toutx∈X. Si on identiﬁe chaque syst`eme λ_n ={λ^x_n}x∈X

avec une fonctionλ_n∈ P(R), alors ∆πλn₁ = Dπλn−λn₁

=

|

y∼Φx

π(x, y)λ_n(y, z)−λ_n(x, z)| dµ(x, z) (3.1)

=

y∼Φx

π(x, y)λ^y_n−λ^x_n₁dµ(x).

Les fonctionsλ_n∈ P(R)sont doncasymptotiquementπ-harmoniquessi et seulement si ∆_πλ_n₁=D_πλ_n−λ_n₁→0.

Théorème 3.4. — Soit (R, X, µ) une relation d’équivalence mesurée discrète, munie d’un graphageΦà géométrie bornée et d’un noyau de tran- sition π. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(M G) Il existe une moyenne π-harmoniquem:L^∞(R,µ) →L^∞(X, µ).

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(M L) Il existe un systèmeπ-harmonique de moyennes localesm={m_x}x∈X. (CD) Il existe une suite de systèmes mesurables asymptotiquementπ-harmo- niquesλn={λ^x_n}x∈X de mesures de probabilitéλ^x_n sur les classes R[x];

Démonstration. — Pour avoir l’équivalence (M G)⇔(M L), il suffit de remarquer qu’une moyenne globalemet un système mesurable de moyennes localesm={mx}x∈Xsont reliées par l’égalitém(F)(x) =mx(F(x,−)) avec F ∈L^∞(R,µ) et x∈X.

Pour montrer l’implication (CD) ⇒ (M L), on considère une suite de fonctionsλ_n ∈ P(R) dont chacune définit une moyenne globale surR. En effet, à chaqueF∈L^∞(R,µ), on lui associe la fonctionλ_n(F)∈L^∞(X, µ) définie parλ_n(F)(x) =λ^x_n(F(x,−)) =

z∈R[x]F(x, z)λ^x_n(z) pourµ-presque tout x∈X. On définit la moyenne localem(F)(x) =m_x(F(x,−)) comme lalimite médiale[22] des moyennesλn(F)(x) =λ^x_n(F(x,−)). Ce syst`eme de moyennes locales est mesurable carm(F) est mesurable d’après le théorème 2 de [22]. Si les fonctionsλnsont asymptotiquementπ-harmoniques, les fonctions (∆πλn)(F)(x) =

y∼Φxπ(x, y)λ^y_n(F(x,−))−λ^x_n(F(x,−)) convergent vers 0 dansL¹(X, µ) et leur limite m´ediale est nulleµ-presque partout [22].

Pour démontrer la réciproque (M L)⇒(CD), considérons le plongement isométrique deP(R) dansL^∞(R,µ) ^∗₁⁺ induit par l’inclusion canonique de L¹(R,µ) dans son bidual L^∞(R,µ)^∗. À chaque fonction λ∈ P(R), on lui associe la forme linéaire positive et unitairel(λ)∈L^∞(R,µ) ^∗+₁ définie par :

l(λ)(F) =

F(x, z)λ(x, z)dµ(x, z) =

λ^x(F(x,−))dµ(x) (3.2) pour toutF ∈L^∞(R,µ). La dualit´ e entre les op´erateursD_πetD_π^∗ agissant surL¹(R,µ) et L^∞(R,µ) implique que l(D_πλ)(F) =l(λ)(D_π^∗F) et donc

l(∆_πλ)(F) =l(λ)(∆^∗_πF). (3.3) De mˆeme, tout syst`eme mesurable de moyennes locales m = {mx}x∈X

définit une forme linéairel∈L^∞(R,µ) ^∗+₁ donnée par l(F) =

mx(F(x,−))dµ(x).

Par application du théorème de Hahn-Banach, l appartient à la fermeture faible de l’image deP(R) [4]. Simestπ-harmonique, alors :

l◦∆^∗_π =l◦D^∗_π−l= 0 (3.4)

(13)

car

l(F) =

m_x(F(x,−))dµ(x)

=

y∼Φx

π(x, y)m_y((F(x,−))dµ(x)

=

y∼Φx

π(x, y)m_y((F(x,−))δ(x, y)dµ(y)

=

my(

x∼Φy

π(x, y)F(x,−)δ(x, y))dµ(y)

=

my((D^∗_πF)(y,−))dµ(y) = l(D^∗_πF).

Pour conclure, considérons le sous-ensemble convexeQ={∆_πλ / λ∈ P(R)} de L¹(R,µ). Les conditions de compatibilit´ e (3.3) et d’harmonicité (3.4) impliquent que 0 appartient à la fermeture faible de l’image de Q dans L^∞(R,µ) ^∗. Il s’ensuit que 0 appartient à la fermeture faibleQdansL¹(R,µ).

Par convexité deQ, d’après le théorème de Mazur, 0 appartient à la fermeture normique deQ. Il existe donc une suite de fonctions λn ∈ P(R) telle que∆πλn₁→0. D’où le théorème.

Chacune des conditions ci-dessus peut être vue comme le pendant harmonique des conditions d’invariance (GM), (LM) et (AI) de [15]. Quel que soit le noyau de transition considéré, ces conditions entraˆınent les conditions (M G), (M L) et (CD). Notre but est de prouver la réciproque lorsque le noyauπjouit de bonnes propriétés.

Pour illustrer les définitions ci-desssus, nous allons revenir sur l’exemple 2.1. Considérons un groupe dénombrable Γ, muni d’un système fini de générateurs Φ. Pour simplifier, supposons que Φ est symétrique et qu’il ne contient pas l’élément neutree. Alors Γ est l’ensemble de sommets d’un graphe non orienté, sans boucle, ni arête multiple, appelé legraphe de Cay- ley de Γ, où deux sommetsγ, η∈Γ sont reliés par une arête siγ⁻¹η ∈Φ.

La marche al´eatoire simple sur ce graphe co¨ıncide avec la marche al´eatoire

`

a droite sur Γ, muni de la mesure de probabilitéπ= _|Φ|¹ 1_Φ, non dégénérée de période d= 2. Pour toutn0, on a :

π_n =π∗. . .ⁿ ∗π= 1

|Φ|ⁿ1Φⁿ

où Φⁿ est l’ensemble des Φ-mots de longueurnayant la même parité q ue n. Doncπn etπn+1 sont mutuellement singulières avecπn+1−πn₁= 2.

(14)

Néanmoins, si on ajouteeà Φ (ce qui revient à ajouter une boucle à chaque sommet), π devient apériodique, π_n et π_n+1 ne sont plus mutuellement singulières et

∆^∗_ππ_n₁=D^∗_ππ_n−π_n₁=π_n+1−π_n₁→0. (3.5) En général, les mesuresπ_n= ^πⁿ^+π₂ⁿ⁺¹ et π_n+1=^πⁿ⁺¹^+π₂ ⁿ⁺² vérifient :

∆^∗_ππ_n₁=π_n+1−π_n₁→0. (3.6) Les mesures πn ou πn définissent des moyennes dans l^∞(Γ)^∗₁⁺. Par com- pacité faible del^∞(Γ)^∗₁⁺, ces moyennes ont un point d’accumulationm. Les conditions (3.5) et (3.6) montrent que m(∆πf) = 0 pour toute fonction f ∈l^∞(Γ). Ceci nous amène à introduire la définition suivante :

Définition 3.5. — Soit (Γ, π) un groupe dénombrable mesuré. Nous dirons qu’une moyenne m est π-harmonique `a droite ou stationnaire pour la marche aléatoire à droite sur (Γ, π) sim(∆πf) = 0 pour toute fonction f ∈l^∞(Γ).

Nous venons de prouver qu’un graphe de Cayley admet toujours une moyenne stationnaire pour la marche aléatoire simple. De même, nous avons la condition suffisante suivante (dont la réciproque s’obtient en procédant comme dans la preuve du théorème 3.4) :

Proposition 3.6. — Pour qu’un groupe dénombrable Γ possède une moyenne harmonique à droite pour une mesure de probabilité π, il faut et il suffit qu’il existe une suite de mesures de probabilité λn sur Γ telle que ∆^∗_πλn₁→0.

Pour les graphes de Cayley, l’existence d’une moyenne harmonique décou- le d’un calcul direct qui illustre la loi 0-2 pour les opérateurs markoviens [11, 24]. Nous allons rappeler ici une version discrète d’un résultat de S. R.

Foguel sur les itérés d’une convolution [10]. Dans notre contexte, si π est une mesure de probabilité non dégénérée de périoded1, alors les mesures π_n et π_n+k sont mutuellement singulières avec π_n+k −π_n₁ = 2 pour tout n ∈N et tout 0k < d, mais lim_n→+∞ π_n+d−π_n= 0. Comme auparavant, les mesuresπ_n= ^πⁿ^+...+π_d ^n+d vérifient :

n→+∞lim ∆^∗_ππn₁= lim

n→+∞ πn+1−πn₁= 0

carπn etπn+1 ne sont pas mutuellement singuli`eres. Nous aurons donc :

(15)

Proposition 3.7. — SoitΓun groupe dénombrable, muni d’une mesure de probabilité non dégénéréeπ. Alors la marche aléatoire à droite sur(Γ, π) possède une moyenne stationnaire.

4. Existence de moyennes harmoniques

Le but de cette section est de prouver qu’une relation d’équivalence mesurée graphée (R, X, µ,Φ), munie d’un noyau de transition π, poss`ede toujours une moyenne π-harmonique. Dans un premier temps, nous appli- querons la même démarche utilisée pour les groupes dénombrables. Pour cela, rappelons que le produit de convolution à droite parπdéfinit une contraction positive D^∗_π :l¹(Γ)→l¹(Γ) dont l’opérateur sous-markovien dual est l’opérateur de diffusionDπ :l^∞(Γ)→l^∞(Γ). Le résultat de Foguel est donc une extension de la loi 0-2 pour les opérateurs markoviens ergodiques et conservatifs agissant sur L¹ prouvée dans [24]. En général, l’opérateur de diffusion Dπ : L^∞(X, µ) → L^∞(X, µ) agit par dualité sur l’espace de mesures sur X. Puisque les mesures finies absolument continues par rapport àµs’identifient aux éléments de L¹(X, µ), on obtient une contraction positiveT =D^∗_π:L¹(X, µ)→L¹(X, µ) qui envoie chaque dérivée de Radon- Nikodymg=dν/dµsurT(g) =dD^∗_πν/dµ. L’op´erateur sous-markovien dual T^∗:L^∞(X, µ)→L^∞(X, µ) co¨ıncide avecD_π.

D´efinition 4.1 ([24]). — La contractionT =D^∗_π:L¹(X, µ)→L¹(X, µ) (resp.T^∗=D_π:L^∞(X, µ)→L^∞(X, µ)) est diteergodique conservativesi la somme_∞

i=0 Tⁱg(resp._∞

i=0Dⁱ_πf) est soit inﬁnie, soit nulle pour toute fonction g∈L¹(X, µ)(resp.f ∈L^∞(X, µ)) positive ou nulle.

D’une part, T = D^∗_π et T^∗ = Dπ sont ergodiques si µ est ergodique.

Pour montrer qu’elles sont conservatives, il faut considérer les opérateurs de Perron-Fröbenius σ_∗ et de Koopmanσ^∗ induits par le décalage σ de la marche aléatoire surR. Avec les notations précédentes, pour toute fonction g∈L¹(X, µ) positive ou nulle, la mesureD^∗_πν est la distribution initiale de l’image parσ_∗de la mesure de probabilité sur Ω ayant comme distribution initiale ν. Si l’op´erateur σ_∗ est conservatif, la somme _∞

i=0 Tⁱg ne prend que les valeurs +∞ou 0 (car il en est ainsi pour_∞

i=0 σⁱ_∗(g◦α₀)). Pour toute fonctionf ∈L^∞(X, µ) positive ou nulle, la fonctionD_πf est la moyenne des σ^∗(f◦α₀)∈L^∞(Ω, P) pour le système mesurable de mesures de probabilité Px sur les fibres α⁻¹₀ (x) de la projection α0 : R → X. Si l’opérateur σ^∗ est conservatif, la somme _∞

i=0 Dⁱ_πf ne prend encore que les valeurs +∞

ou 0 (car il en est ainsi pour _∞

i=0(f◦α0)◦σⁱ). On sait d’ailleurs que les op´erateurs σ_∗ et σ^∗ sont conservatifs si et seulement si le d´ecalage σ est

(16)

conservatif, i.e. il n’admet pas d’ensemble errant de mesure positive [20].

Nous dirons alors que la mesure µestπ-conservative. En particulier, toute mesureπ-harmonique estπ-conservative.

Théorème 4.2. — SoitRune relation d’équivalence mesurable discrète sur un espace borélien standard X, munie d’un graphage Φ à géométrie bornée, d’un noyau de transitionπet d’une mesure de probabilitéπ-conserva- tive µ. Alors il existe une moyenneπ-harmonique.

Démonstration. — D’abord, quitte à remplacer µ par chacune de ses composantes ergodiques, nous pourrons supposer queµest ergodique. Soient πn = D_πⁿπ0 ∈ P(R) les fonctions obtenues par diffusion `a gauche de la fonction de Diracπ0. Pour toutx∈X, on a :

∆ππn(x,−) =Dⁿ⁺¹_π π0(x,−)−Dⁿ_ππ0=πn+1(x,−)−πn(x,−).

D’apr`es la loi 0-2, la suite ∆_ππ_n ₁ =

∆_ππ_n(x,−)₁dµ(x) con- verge soit vers 0, soit vers 2. Si la limite est nulle, les fonctionsπn ∈ P(R) sont asymptotiquement π-harmoniques. C’est le cas si l’op´erateur de diffusion Dπ sur L^∞(X, µ) est apériodique. En général, puisque la proba- bilité d’emprunter une arête est positive, cet opérateur est soit apériodique, soit de période 2. Néanmoins, pour éviter le problème de l’existence d’une période, D. Ornstein et L. Sucheston démontrent que la loi 0-2 reste valable pour les contractions conservatives de L¹ (ou de L^∞) définies par un noyau stochastique dont tous les itérés sont ergodiques [24]. Dans notre cas, les puissances impaires deDπsont ergodiques. En fait, toutes les puissances deD_π= Îd+D₂ ^π sont ergodiques. Enfin, nous considérons les fonctions

πn=D_πⁿπ0∈ P(R) telles que :

πn+1−πn=Dππn−πn=∆ππn

2

D’après le théorème 3.4 de [24], la suiteπ_n+1−π_n₁converge vers 0, ou bien la norme π_n+1−π_n₁ = 2 pour tout n ∈N. Il en résulte que les fonctionsπ_n sont asymptotiquementπ-harmoniques.

En réalité, aucune contrainte n’est vraiment nécessaire pour prouver l’existence d’une moyenne harmonique :

Théorème 4.3. — Toute marche aléatoire sur une relation d’équivalence mesurée graphée admet une moyenne stationnaire ou harmonique.

Démonstration. — Considérons les sommes de Cèsaro λ_n=π0+. . .+πn−1

n ∈ P(R)

(17)

des produits de convolution π_n ∈ P(R). Ces fonctions sont asymptotiquement π-harmoniques car la suite ∆_πλ_n₁ = _n¹ π_n−π₀₁ ²_n tend

vers 0.

5. Crit`eres de moyennabilit´e

Nous démontrerons ici que toute moyenne harmonique devient invariante lorsque la marche aléatoire se comporte bien. Grâce à cette propriété, nous retrouverons quelques critères de moyennabilité.

5.1. Propri´et´e de Liouville

Nous dirons qu’une marche aléatoire sur une relation d’équivalence mesu- rée graphée (R, X, µ,Φ) a lapropriété de Liouvillesiµ-presque toute orbite RΦ[x] n’a pas de fonction harmonique bornée non constante. Dans [6], on démontre que cette propriété implique la moyennabilité deRpourµ. En fait, cela est valable pour tout groupo¨ıde mesuré d’après [18]. Nous retrouvons l’implication grâce au résultat élémentaire suivant :

Lemme 5.1. — Soit(R, X, µ,Φ)une relation d’équivalence mesurée gra- phée, munie d’un noyau de transition π. Si la marche aléatoire surRa la propriété de Liouville, alors toute moyenne π-harmonique sur Rest inva- riante.

Démonstration. — Soitm={m_x}x∈X un système de moyennes locales π-harmonique. Pourµ-presque toutx∈X, à chaque fonctionf ∈l^∞(R[x]), on lui associe une fonctionh_f ∈l^∞(R[x]) définie parh_f(y) =m_y(f) pour touty∈ R[x]. Puisque les moyennesm_y sontπ-harmoniques, la fonctionh_f l’est aussi. En effet,D_πh_f(y) =

z∼Φyπ(y, z)h_f(z) =

z∼Φyπ(y, z)m_z(f)

=m_y(f) =h_f(y) pour tout y ∈ R[x]. Par hypoth`ese, h_f est constante et doncmy=mx pour touty∈ R[x].

Théorème 5.2 ([6]). — Soit(R, X, µ,Φ)une relation d’équivalence me- surée graphée, munie d’un noyau de transitionπ. Si la marche aléatoire sur Ra la propriété de Liouville pourµ, alors Rest moyennable pour µ.

Définition 5.3. — Une relation d’équivalence mesurée graphée (R, X, µ,Φ) est dite à δ-croissance polynomiale (resp. sous-exponentielle) si pourµ-presque tout point x∈X, la fonction de volume

vx,δ(n) =|BdΦ(x, n)|x=

dΦ(y,x)n

δ(y, x)

(18)

est à croissance polynomiale (resp. sous-exponentielle), i.e.v_x,δ est dominée par un polynôme (resp. Gr_δ(x) = lim inf_n→+∞¹_nlog(v_x,δ(n)) = 0). C’est la définition employée par M. Samuélidès dans [27]. Si µest invariante, alors v_x,δ est le volume usuelv_x(n) =|B_d_Φ(x, n)|et cette définition co¨ıncide avec la définition usuelle. En général, siµest ergodique, le tauxde δ-croissance exponentielleGr_δ(x)est constantµ-presque partout [3].

D’après [14], si R est croissance sous-exponentielle et si µ est harmonique, alors R a la propriété de Liouville pour µ. En combinant ce résultat avec le théorème 5.2, nous retrouvons les résultats de C. Series [28] et V. Kaimanovich [17] rappelés dans l’introduction :

Corollaire 5.4. — SoitRune relation d’équivalence mesurable discrè- te sur un espace borélien standard X, munie d’un graphage Φ à géométrie bornée, d’un noyau de transition réversible πayant un système de conduc- tances minoré et majoré et d’une mesure de probabilitéπ-harmoniqueµ. Si Rest à croissance sous-exponentielle pour µ, alors Rest moyennable pour µ.

Dans les conditions du corollaire, la mesure µ est de fait invariante.

Cependant, grâce au théorème 1.1 de [29], il reste valable quand on rem- place la condition de croissance sous-exponentielle par celle deδ-croissance sous-exponentielle (et l’on retrouve ainsi le résultat de [27] dans le cas harmonique). En effet, l’entropie de la marche aléatoire sur R devient nulle [3, 16] et doncRa la propriété de Liouville pourµ.

Par ailleurs, il y a une manière de définir le nombre moyen d’arêtes issues d’un sommet d’un arbre d’après R. Lyons [21]. Cette quantité, appelénom- bre de branchement, joue un rˆole important dans certains processus proba- bilistes comme la marche aléatoire et la percolation. Dans [3], on étend cette notion aux relations d’équivalence mesurées graphées et on prouve un critère de moyennabilité plus général que ceux de C. Series et V. Kaimanovich :

Corollaire 5.5. — Dans les conditions du corollaire 5.4, si le nombre de branchement de Rest ´egal `a1, alors Rest moyennable pourµ.

5.2. R´ecurrence

Nous dirons qu’une marche aléatoire sur une relation d’équivalence mesu- rée graphée (R, X, µ,Φ) estrécurrentesi µ-presque toute orbiteRΦ[x] n’a pas de fonction superharmonique positive non constante. L’effet de cette

(19)

propriété sur les moyennes π-harmoniques est identique `a celui de la pro- priété de Liouville :

Lemme 5.6. — Si la marche al´eatoire surRest r´ecurrente pourµ, alors toute moyenne π-harmonique sur Rest invariante.

Le nombre de bouts des orbites est une autre propriété métrique em- ployée dans l’étude de la moyennabilité des relations d’équivalence. Dans [1], S. Adams démontre qu’une relation d’équivalence mesurée arborée est moyennable si presque toute orbite a un nombre fini de bouts. L’arborage est essentiel si les orbites ont 1 bout, mais il est inutile dans le cas où les orbites génériques ont 2 bouts [5]. Pour toute relation d’équivalence mesurée graphée, les relations d’équivalence induites sur les réunions des orbites finies et des orbites ayant un nombre fini de bouts>2 sontdissipatives, en ce sens qu’il existe des boréliens qui rencontrent chaque orbite suivant un point. Toute moyenne harmonique est invariante sur la réunion des orbites finies. Par approximation, il en est de même pour toute relation dissipative [2]. Grâce au résultat suivant, qui regroupe ces remarques, nous pourrons supposer que les relations d’équivalence considérées sont conservatives :

Lemme 5.7. — Toute moyenne π-harmonique est invariante sur la par- tie dissipative de R.

Pour voir l’effet du nombre de bouts sur la marche aléatoire, nous nous servirons du critère de récurrence de Nash-Williams [23] :

Lemme 5.8. — Soit (R, X, µ,Φ) une relation d’équivalence mesurée graphée à géométrie bornée, munie d’un noyau de transition réversible π ayant un système de conductances majoré. Siµ-presque toute orbiteRΦ[x]

est un arbre ayant un nombre fini de bouts, ou bien siµ-presque toute orbite RΦ[x]a exactement2 bouts, alors la marche aléatoire surRest récurrente.

Démonstration. — Chaque orbiteRΦ[x] est la réunion d’une suite croissante de graphes finis Fn dont le bord ∂ΦFn = {(y, z) ∈ K/y ∈ Fn, z /∈ Fn} est une séparatrice (i.e. tout rayon issu de x contient une arête de∂ΦFn) et l’extrémité de toute arête de∂ΦFnappartient àFn+1. SiRΦ[x]

vérifie l’une des conditions ci-dessus, le nombre d’éléments de∂ΦFnest ma- joré. Si le système de conductances est majoré, la somme des conductances est aussi majorée. Si l’on notec(∂ΦFn) cette quantité, le réseau électrique défini par le système de conductances surRΦ[x] estlentement rempliau sens de [23] car la série_∞

i=1 1

c(∂ΦFn) diverge. D’après le critère de récurrence de [23], la marche aléatoire surRΦ[x] est récurrente.