4 Vibrations harmoniques. Corrigé sommaire

M1 Physique et Chimie, Corrigé des TD de Phys. Stat., 06–07 8

4 Vibrations harmoniques. Corrigé sommaire

4.1 Énergie de l’oscillateur harmonique

Les points de rebroussement classique sont±a(E), aveca=p

2E/k. La régle de BS s’écrit

+a

Z

−a

p2m−mkx²dx=√ mk

+a

Z

−a

pa²−x²dx=a²√ mk

+1

Z

−1

p1−u²du=π rm

k = nh 2 , d’oùn=n~ω, avech= 2π~la constante de Planck etω=p

k/mla pulsation classique.

Le traitement exact par l’équation de Schrödinger donne_n= (n+ 1/2)~ωet la règle de quanti- fication est souvent réécrite avecn→n+ 1/2dès le départ.

4.2 Application à un gaz parfait diatomique

1. mest la masse réduite, soitm=M/2.

2. La probabilité estpn= exp(−β_n)/Z.

3. Soit on utilise le résultat du cours ¯ = −(dZ/dβ)/Z, soit on revient à la définition de la moyenne= P

_np_n. La fonction de partition s’obtient par simple sommation d’une série géomé- trique, avec le résultat (le calcul se simplifie carZ = 1/(1−x)⇒Z⁰/Z =x⁰/(1−x))

Z= 1

1−exp(−β~ω) , ¯= ~ω exp(β~ω)−1 .

4. À basse température,¯→0exponentiellement, mais à haute température,¯→~ω, ce qui est la résultat classque, car, selon le théorème d’équipartition de l’énergie, chacun des termesmx˙²/2et kx²/2de l’énergie d’oscillation contribue dekT /2à l’énergie moyenne.

5. L’énergie estU =Npour une mole et la capacité calorifique par unité de volumedU/dT, soit3R/2à basse température, comme pour les gaz monoatomiques,5R/2à plus haute température quand on tient compte des rotations autour des axes perpendiculaires à l’axe de la molécule, et enfin 7R/2quand la vibration contribue. Au-delà, la molécule se dissocie et chaque mole donne deux moles de gaz monoatomique, soit une capacité3R.

4.3 Entropie maximale La variationdS =P

s_idp_i a pour coefficientss_i =−k(1 + lnp_i). Écrire queS,¯=P _ip_i et 1 =P

p_i sont stationnaires se traduit par

0 =s₁dp₁+s₂dp₂+· · · 0 = dp₁+ dp₂+· · · 0 =₁dp₁+₂dp₂+· · · qui se produira simultanémement si les vecteurs

{s₁, s2, . . .}, {1,1, . . .}, {₁, 2. . .},

sont simultanément orthogonaux à{dp₁,dp2, . . .}, ce qui sera le cas s’ils sont colinéaires, soit s_i =γ+δ_i,

avec des coefficients indépendants dei, ce qui se traduit par lnp_i=γ⁰+δ⁰_i, et donc une probabilité de type Maxwell–Bolzmann pour lespi.

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4.4 Modèle d’élasticité à l’échelle microscopique

i) L(i) =ai+ (N −i)b≡N`.¯

ii) La différence d’énergie estF(a−b). On peut prendre0etF(a−b), ou, en décalant l’origine,

H=−Fa−b

2 , V= +Fa−b 2 . iii)

p_H= 1

Z exp(u), p_V= 1

Z exp(−u), u=βF(a−b)/2, Z = 2 chu iv) La longueur moyenne d’un maillon est

`¯=apH+bpV= a+b

2 +a−b 2 thu ,

v) Si T → 0, u → ∞ et`¯ → a : tous les maillons se mettent à l’horizontale. Mais à haute température,thu∼uet on trouve une relation linéaire entre force et longueur,

L=N`¯=N

"

a+b 2 +βF

a−b 2

2#

qui correspond à la loi de Hookes familière pour les ressorts.