4 Vibrations harmoniques

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4 Vibrations harmoniques

4.1 Énergie de l’oscillateur harmonique

Une particule de massemest soumise à un potentiel harmoniquekx²/2. Son énergie est donc

= p²

2m +kx² 2 .

Les niveaux d’énergie permis,_nsont supposés être donnés par la règle de quantification de Bohr–

Sommerfeld

+a()

Z

−a()

pdx= nh 2 ,

oùhest la constante de Planck et[−a(),+a()]délimitent la région classiquement permise.

En déduire que_n =n~ω, avech = 2π~etω =p

k/m. Comparer avec le traitement exact par l’équation de Schrödinger (consulter un cours de Mécanique Quantique).

4.2 Application à un gaz parfait diatomique

On applique un modèle d’oscillateur harmonique pour décrire les vibrations longitudinales d’une molécule diatomiqueM−Mautour de sa position d’équilibre.

1. Quelle est la valeur demen fonction de la masseMde chaque atome ?

2. Quelle est, à une température donnéeT, la probabilité qu’une molécule soit dans l’étatn?

3. Quelle est la valeur moyenne¯de l’énergie associée à ce mouvement interne ?

4. Étudier le comportement de¯dans les limites~ω kT et~ω kT.

5. Quelles conclusions peut-on tirer pour la capacité calorifique à volume constant d’un gaz de molécules diatomiques ?

4.3 Entropie maximale

On admet que l’entropie est donnée par

S=−kX

i

pilnpi,

oùp_iest la probabilité de trouver l’état d’étiquettei. Calculer les coefficientss_ide la variationdS = Psidpiconsécitive à une modiification infinitésimale des probabilités.

Montrer qu’une distribution de Bolzmannp_i ∝exp(−β_i)assure que les quantitiés

S=−kX

i

pilnpi, 1 =X

i

pi, ¯=X

i

ipi,

sont simultanément stationnaires. Une possibilité est de considérer que les variationsP

s_idp_i,P

idp_i et P

i_idp_i sont nulles en même temps si les vecteurs{s_i}, {1} et{_i} sont coplanaires, soit une relation du typesi=γ+δi, avecγ etδindépendants dei.

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4.4 Modèle d’élasticité à l’échelle microscopique

On assimile une chaîne rectiligne (disons horizontale) à une succession de maillons elliptiques.

Chaque maillon peut être soit horizontal, auquel cas il contribue deaà la longueur de la chaîne, soit vertical, auquel cas, il ne contribue que deb, avecb < a.

i) Quelle est la longueur de la chaîne siimaillons sont horizontaux etN −iverticaux ?

ii) Une compression F est appliquée le long de la chaîne. Quelle est la différence d’énergie V−_Hentre la position verticale et l’horizontale ? On pourra exprimerVetHen s’arrangeant pour qu’ils soient opposés.

iii) À la températureT quelles sont les probabilités de chaque position ?

iv) En déduire la relation entre la longueur de la chaîne et la tensionF?

v) Étudier les limites de basse et haute température.