Modélisation de l information spatiale dans des images 3D biomédicales

Rapport de Stage

Mod´ elisation de l’information spatiale dans des images 3D biom´ edicales

Auteur :

Tran Thi Nhu Hoa

Encadrants : Thomas Boudier (UPMC) Ludovic Roux (IPAL)

Master 2 - Syst`emes Intelligents et Multim´edia Institut de la Francophonie pour l’Informatique

Septembre 2014

Remerciements

Je tiens `a remercier dans un premier temps, mon encadrant de stage, Monsieur Thomas Boudier, pour m’avoir accueilli au sein de l’´equipe, pour son soutien tout au long du stage, sa disponibilit´e, et ses conseils nombreux et ´eclair´es.

Je remercie ´egalement Monsieur Ludovic Roux, Monsieur Lu Shijian pour m’avoir aid´e

`

a me familiariser avec l’environnement de recherche `a IPAL, ses conseils mais surtout pour sa gentillesse et son implication dans mon stage.

Sans oublier mes amis du bureau des ´etudiants IPAL, pour l’accueil chaleureux, pour l’ambiance de travail tr`es amicale.

Merci enfin `a Mme Coralie Hunsicker pour m’avoir aid´e `a r´esoudre toutes les d´emarches administratives difficiles qui ont permis la r´ealisation de mon stage.

Tran Thi Nhu Hoa

Table des mati` eres

Contents iii

List of Figures v

1 Introduction 1

1.1 Introduction. . . 1

1.1.1 IPAL & Partenaires . . . 1

1.2 Objectif du stage . . . 2

1.2.1 Contexte du travail. . . 2

1.2.2 Objectif du stage . . . 3

2 Etat de l’art´ 5 2.1 Rappel de biologie . . . 5

2.1.1 Structure de la cellule . . . 5

2.1.2 Cancer du sein . . . 6

2.1.3 Diab`ete et insuline . . . 9

2.2 Analyse de l’organisation spatiale . . . 10

2.2.1 Travaux similaires . . . 10

2.2.2 Analyse `a l’´echelle locale. . . 11

2.2.3 Analyse `a l’´echelle globale . . . 13

2.2.3.1 Statistique spatiale . . . 13

2.2.3.2 Fonctions d’estimation de la distribution . . . 15

2.3 Estimation de la distance . . . 18

2.3.1 Distance euclidienne . . . 18

2.3.2 Distances g´eod´esiques . . . 20

2.4 Environnement logiciel utilis´e . . . 22

3 Impl´ementation 24 3.0.1 Mod´elisation de la structure d’une cellule . . . 24

3.0.2 Mod´elisation `a l’´echelle locale . . . 25

3.0.2.1 Forme analytique de la cellule . . . 25

3.0.2.2 Formes complexes de la cellule . . . 29

3.0.3 Mod´elisation `a l’´echelle globale . . . 34

3.0.4 Mod´elisation `a multi-´echelles . . . 38

3.0.5 Langage de description de l’organisation spatiale . . . 42

4 R´esultat & Discussion 46 4.1 R´esultat . . . 46

iii

Table des mati`eres iv

4.1.1 R´esultat de mod´elisation de la structure d’une cellule . . . 47

4.1.2 R´esultat de mod´elisation de la distribution de v´esicules dans une cellule . . . 49

4.1.3 R´esultat des exp´erimentations `a multi-´echelles . . . 50

4.1.4 R´esultat de g´en´eration al´eatoire des positions des cellules . . . 52

4.2 Conclusion et Perspective . . . 53

Bibliographie 55

Table des figures

1.1 Image & Pervasive Access Lab (IPAL) logo. . . 1 2.2 Etapes du cancer du sein :´ Normal cells, Ductal hyperplasia - trop de

cellules. Atypical ductal hyperplasia - trop de cellules qui commencent `a apparaˆıtre anormale (´egalement connu sous le nom ADH) .Ductal carci- noma in situ - trop de cellules qui se d´eveloppent comme un cancer mais sont encore confin´es `a l’int´erieur du conduit (DCIS). DCIS-MI (DCIS avec micro-invasion) - plusieurs sous-types de DCIS, certains plus graves que d’autres. Invasive ductal cancer - L’´etat incontrˆol´e des cellules qui ont pass´e `a travers des barri`eres tissulaires normales. . . 8 2.3 Les ˆılots de Langerhans (A-D) Les micrographies confocales montrent des

ˆılots pancr´eatiques de Langerhans `a partir de sections chez l’humain (A), le singe (B), la souris (C) et le cochon (D). L’insuline immunor´eactive (rouge) - β cellule, glucagon immunor´eactive (vert) - α cellule, et la somatostatine-immunor´eactives (cellules bleues - δ cellule) (d’apr`es [1]) . . . 10 2.4 Les relations RCC5D et RCC8D. Les r´egions sont repr´esent´ees en des

cercles 2 dimentions (l’objet plus lumineux est X et l’objet fonc´e est Y). . 12 2.5 La correspondance de Discrete M´er´eotopologie et Morphologie Math´ematique,

d´efini dans RCC8D (d’apr`es [2]). . . 12 2.6 Algorithme de d´etection des relations spatiales entre les r´egions . Cet al-

gorithme 0, 1 est cod´ee pour l’image X et 0, 2 est cod´e pour Image Y (0 est le plan arri`ere, le fond et 1, 2 repr´esente la r´egion pixels). L’histogramme de la somme (X + Y) ne contient que valeurs de 0 (fond), 1 (r´egion X), 2 (r´egion Y), ou 3 (ces deux r´egions occupent l’emplacement de ce pixel) et il peut ˆetre utilis´e pour trouver la relation RCC5D entre les r´egions.

Par exemple si le nombre de pixels de l’histogramme 1 et 2 (les valeurs de r´egions X et Y) sont tous ´egaux `a 0 et la somme S (valeur ´egal `a 3) est sup´erieure `a 0, la relation est EQ (d’apr`es [2]). . . 13 2.7 Exemple : Illustration 2D de l’extraction de compartiment Promyelocy-

tic Leukemia (PML) (l’image extraite `a partir de l’article de David J.

Weston, voir [3]). A) l’image d’origine B) PML est segment´e `a partir de cette image. C) Chaque noyau est remplac´e par son centre de gravit´e.

Une question que nous pouvons poser, les composants (en vert ) PML sont distribu´ees au hasard ou ont des relations les uns aux autres. . . 14 2.8 Diff´erents types de distribution spatiale. Les positions peuvent ˆetre uni-

form´ement et ind´ependamment distribu´es (compl`etement al´eatoire mod`ele), ou attraction mutuelle (mod`ele agr´eg´e) ou r´epulsion mutuelle (mod`ele r´egulier, uniforme) (d’apr`es [4]). . . 15

v

Liste des figures vi 2.9 G-function, les points observ´es - ´ev´enements (events en anglais) : 1, 2,

3,...,12 dans une r´egion d’´etude . Pour chaque ´ev´enement, nous avons trouv´e leur voisin avec la plus proche de distance possible (nearest neigh- bor). Par exemple : le plus proche de l’´ev´enement 1 est l’´ev´enement 10 avec la distance r_min = 25.59. (d’apr`es [5]) . . . 16 2.10 Graphe du G-function. La forme de function G nous pr´esente la fa¸con

dont les ´ev´enements sont espac´ees dans un mod`ele (pattern) de points.

(d’apr`es [5]) . . . 16 2.11 La F-function est la function de distribution cumul´ee de la distance entre

les points qui ont ´et´e g´ener´e al´eatoirement dans la r´egion d’´etude (croix bleues) et leur plus proche ´ev´enement (points observ´es - des cercles dans la figure) (d’apr`es [5]) . . . 17 2.12 Le r´esultat SDI du F-function (graphe en couleur noire) est la mesure de

la distance du vide dans la r´egion d’´etude. Cette distance a la tendance `a ˆ

etre grande pour le mod`ele agr´eg´e et plus petite pour le mod`ele r´egulier.

Si le graphe de F-function est situ´e entre deux graphes avec les valeurs de confiance 5% et 95%, des ´ev´enement ont la distribution al´eatoire. Si cette graphe est situ´e au-dessous du graphe de 5%, c’est-`a-dire une distribution agr´eg´e (cluster) et au-dessus du graphe de 95%, c’est-`a-dire r´egularit´e (uniformit´e) des ´ev´enements dans la r´egion d’´etude. . . 17 2.13 Le processus de production de carte de distance pour chaque image. . . . 19 2.14 Exemple du calcul de la carte de distance Euclidienne . . . 20 2.15 Exemple du calcul de la transformation de distance. En (a) : image binaire

noir et blanc. En (b), il s’agit de la distance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les valeurs de distance est au carr´e de sorte que seules les valeurs enti`eres sont stock´ees. . . 21 2.16 Exemple du calcul de la carte de distance g´eod´esique, r´esultat obtenu en

appliquant la fonction ’geodesic’ dans le plugin ’geodesic distance map’

sous le logiciel ImageJ. . . 21 2.17 ImageJ - logiciel d’analyse et de traitement d’image. . . 22 3.1 Sch´ema de la structure d’une cellule. . . 25 3.2 Illustration du calcul 8 relations RCC8 (DC, EC, PO, EQ, TPP, NTPP,

TPPi, NTPPi) . . . 26 3.3 Illustration du r´esultat de l’algorithme 2 en 2D. Des relations spatiales

entre les objetsS₁, S₂, ..., S_net entre ces objets et le domaine de recherche P sont pr´esent´es dans la table de relation. Notre but est de produire al´eatoirement ces objets dans le domaine de recherche P et satisfaire ces r`egles de relation. . . 29 3.4 Comparaison deux m´ethodes de production d’un mod`ele spatial . . . 29 3.5 Illustration du r´esultat de la fonction TPPi 3 calcul du domaine TPPi

possible . . . 31 3.6 Illustration de l’algorithme 4 : calcul du domaine DC possible . . . 33 3.7 Etapes d’impl´´ ementation de l’algorithme 5. . . 34 3.8 Illustration de l’algorithme 6 : calcul du domaine de distribution en se

basant sur le param`etre de distribution α . . . 36

Liste des figures vii 3.9 Illustration d’une ´etape d’impl´ementation de l’algorithme 7 pour produire

un mod`ele agr´eg´e (cluster). ´Etat initial : domaine de recherche P + un objet S<sub>1</sub> existant, le but est de g´enerer un objet S<sub>2</sub> qui est associ´e avec S1, `a l’ext´erieur de S1. . . 38 3.10 Sc´enario 1 : dans la mod´elisation de la structure d’une cellule, les v´esicules

S1, S2, ..., Sn sont `a l’int´erieur de noyau N : le noyau est `a l’int´erieux de cellule P, les v´esicules sont `a l’int´erieur de noyau et les v´esicules sont disconnect´es les uns aux autres.Si TPPiN,Si (DC, EC)Sj,Si TPPi P. . . 39 3.11 Sc´enario 2 : dans la mod´elisation de la structure d’une cellule, les v´esicules

S₁, S₂, ..., S_nsont `a l’int´erieur de cytoplasme : les v´esicules sont `a l’int´erieur de la celluleP, l’ext´erieur du noyauN.S_i TPPiP,S_i (DC, EC) S_j,S_i DC N. . . 39 3.12 Sc´enario 3 : dans la mod´elisation de la structure d’une cellule, les v´esicules

S1, S2, ..., Snsont `a l’int´erieur du cytoplasmeP et `a l’int´erieur ou l’ext´erieur du noyau N.S_i TPPi P,S_i DC, EC S_j,S_i DCN ou S_i TPPi N. . . . 39 3.13 Sc´enarios 4 : dans la mod´elisation de la structure des cellules, la premi`ere

´

etape du cancer du sein (voir la section 2.1.2), cellules normalesS₁, S₂, ..., S_n, plusieurs cellules ont la connexion externe. Si ECSi+1,Si TPPiP. . . . 39 3.14 Sc´enario 5 : dans la mod´elisation globale, les v´esiculesS₁, S₂, ..., S_n sont

distribu´es al´eatoirement dans le domaine de recherche P. Si TPPi P, R^Sdistribution ∈ {random} . . . 39 3.15 Sc´enario 6 : dans la mod´elisation globale, les v´esiculesS1, S2, ..., Sn sont

distribu´es r´eguli`erement. (repulsion, uniform), chaque v´esicule est le plus loin possible des autres. Si TPPi P,R^Sdistribution ∈ {unif orm} . . . 40 3.16 Sc´enario 7 : dans la mod´elisation globale, les v´esiculesS₁, S₂, ..., S_n sont

clusteris´e (mod`ele agr´eg´e). Il s’agit des centroids (des v´esicules attirent l’attention des autres) et des autres ont ´et´e attir´es par les centroids. Si

TPPP,R^Sdistribution ∈ {clustered} . . . 40 3.17 Sc´enario 8 : dans la mod´elisation des prot´eins : les prot´eins A sont dis-

tribu´es al´eatoirement, les prot´eins B sont colocalis´es avec les prot´eins A, B disjoint A. Comment trouver la distribution des prot´eins B ? R^Adistribution

∈ {random},B DCA, A, B TPPP,R^Bdistribution? . . . 40 3.18 Sc´enario 9 : dans la mod´elisation des prot´eins : les prot´eins A sont dis-

tribu´es al´eatoirement, les prot´eins B sont colocalis´es avec les prot´eins A, B et A se touchent. Comment trouver la distribution des prot´eins B ? R^Adistribution ∈ {random},B ECA,A, B TPPP,R^Bdistribution? . . . 40 3.19 Sc´enario 10 : des clusters en membrane, les v´esiculesS1, S2, ..., Snsont ont

la connection int´erieure du membrane. Le probl`eme est comment g´en`erer un mod`ele satisfaisant ces r`egles spatiaux ? S_i TPP P, Rdistribution^S ∈ {clustered}. . . 40 3.20 La conception globale des objets. Il s’agit de cinq objets, structures prin-

cipaux : image, algorithme, request, mereo-topologie, structure. . . 43 3.21 La conception globale des objets et des relations entre les objets. Cette

conception fait le lien entre les objets, strutures et r´epondre `a la question comment cette connaissance structurelle et spatiale peut ˆetre utilis´ee pour guider l’interpr´etation d’images.. . . 44

Liste des figures viii 3.22 Impl´ementation du langage de description de l’organisation spatiale n3.

Initialement, nous avons d´efini les ontologies, des r`egles, et des queries.

Ensuite, l’ex´ecution le logiciel EYE Engine sur ces fichiers n3, nous avons obtenu un fichier du r´esultat. Apr`es, nous avons utilis´e un programe Java pour lire les structures dans le fichier du r´esultat n3 et obtenu des relations logiques. Enfin, nous avons ex´ecut´e le programe sur des images d’entr´ee et des requˆetes, obtenu des images de sortie. . . 45 4.1 L’interface du programme - un plugin ”3D Statistic” avec des options

sous le logiciel ImageJ (2.4). . . 46 4.2 Choisir l’option3D Aggregated Pattern dans le plugin”3D Statistic”sous

le logiciel ImageJ (2.4), une fˆenetre pour saisir des param`etres d’entr´ee comme le nombre des clusters, la taille de la cellule. . . 47 4.3 R´esultat de g´en´eration d’un mod`ele spatial dans le sc´enario 3.0.4 en 2D. Il

s’agit de 6 v´esicules sont `a l’int´erieur du noyau et 1 noyau est `a l’int´erieur de la cellule. . . 47 4.4 R´esultat de g´en´eration d’un mod`ele spatial dans le sc´enario 3.0.4 en deux

dimentions. Il s’agit de 10 v´esicules sont `a l’int´erieur de la cellule et `a l’ext´erieur du noyau. Le noyau est `a l’int´erieur de la cellule. . . 48 4.5 R´esultat de g´en´eration d’un mod`ele spatial dans le sc´enario 3.0.4 en deux

dimentions. Il s’agit de 13 v´esicules sont `a l’int´erieur de la cellule et

`

a l’ext´erieur du noyau, 2 v´esicules sont `a l’int´erieur de la cellule et `a l’int´erieur du noyau. Le noyau est `a l’int´erieur de la cellule. . . 48 4.6 R´esultat dans la mod´elisation d’une cellule en trois dimentions, il s’agit

de 6 v´esicules qui sont `a l’int´erieur de la cellule et sont disjointes. . . 48 4.7 R´esultat de g´en´eration du mod`ele des cellules normales dans la premi`ere

´

etape du cancer du sein (voir la section 2.1.2) . . . 49 4.8 R´esultat de g´en´eration du mod`ele spatial en mod´elisation `a l’´echelle glo-

bale en ex´ecution le plugin 3D Statistic sous ImageJ. Dans la figure, nous avons obtenu trois mod`eles de distribution qui correspondent `a trois sc´enarios (3.0.4, 3.0.4, 3.0.4). Le graphe de F-function (la couleur bleu) - la figure (A) est situ´e entre deux graphes (en couleur vert) 5% et 95% avec la valeur de confiance de F-function SDI = 0.65 ou 65% c’est-`a-dire, la distribution al´eatoire - les v´esicules al´eatoire. Cette graphe - la figure (B) est situ´e au-dessous du graphe de 5% , avec la valeur de confiance de F- function SDI = 0.02, c’est-`a-dire la distribution agr´eg´e (les v´esicules clus- teris´es) . Le graphe de F-function (la couleur bleu) au-dessus du graphe de 95% avec la valeur de confiance de F-function SDI = 1.0 - 100% dans la figure (C), c’est-`a-dire r´egularit´e (uniformit´e) des v´esicules uniforme dans la r´egion d’´etude. Les r´esultats obtenus montrent que les mod`eles spatiaux a ´et´e produit correctement. . . 50 4.9 R´esultat de g´en´eration du mod`ele spatial en mod´elisation `a multi-´echelle,

correspond au sc´enario (3.0.4) - cluster en membrane. . . 51 4.10 Les diff´erents types de cellulesα,β,δ`a l’origine. Par convention l’insuline

est produite par les cellules β en couleur rouge, le glucagon est produit par les cellules α en couleur verte, la somatostatine est produite par les cellules δ en couleur bleu. . . 52 4.11 Le r´esultat de g´en´eration al´eatoire les positions des cellulesδ (les cellules

δ en couleur bleu,β en couleur rouge, αen couleur verte). . . 53

Liste des figures ix 4.12 R´esultat du F-function (le graphe en couleur bleu) et r´esultat du G-

function (le graphe en couleur rouge) en estimant la distribution des cellules δ dans 5 propositions d’organisation spatiale .La valeur SDI de F-function dans 5 cas : n1 = 0.98, n2 = 0.98, n3 = 0.35, n4 = 0.87, n5 = 0.87. C’est-`a-dire dans deux premiers cas, les cellules δ sont cluste- ris´e, les autres cas, les cellulesδ sont g´ener´es al´eatoirement. . . 53

List of Algorithms

1 Algorithme de Monte Carlo pour tirer un objet al´eatoire qui satisfait les

r`egles de relationR dans le domaine de recherche P . . . 27

2 G´en´erer de nombreux objets `a l’int´erieur du domaine de recherche P et satisfaire les r`egles de relations RCC en utilisant la m´ethode de Monte-Carlo 28 3 Fonction TPPi : tirer le domaine du centre d’un objetSiqui est `a l’int´erieur du domaine de recherche P et a radiusr et la relation S_i TPPi P. . . 30

4 Fonction DC : tirer le domaine du centre d’un objetSi qui est `a l’int´erieur du domaine de recherche P, `a l’ext´erieux des objets existes S et a radius r et la relation Si DC P. . . 32

5 Am´elioration de l’algorithme 1 de Monte Carlo :g´en´eration de nombreux objetsS1, S2, ..., Sn `a l’int´erieur du domaine de rechercheP en utilisant la carte de distance. . . 32

6 Fonction de distribution en appliquant la carte de distance. Param`etre de distributionα∈[0,1] . . . 35

7 G´en´eration de nombreux objets S1, S2, ..., Sn `a l’int´erieur du domaine de recherche P, et sont distribu´e (al´eatoire, agr´eg´e, uniforme) en utilisant la carte de distance. . . 37

8 Algorithme pour r´ealiser le sc´enario 10 : des clusters en membrane. . . 41

- Function genererCentroidVesicules (celluleP, nbCentroid k) . . . 41

- Function genererElementPerCluster (listeCentroidC,n) . . . 42

x

Chapitre 1

Introduction

1.1 Introduction

1.1.1 IPAL & Partenaires

Figure 1.1: Image & Pervasive Access Lab (IPAL) logo.

L’IPAL, `a l’origineImage Processing & Application Laboratory, est cr´e´e en 1998 comme laboratoire international de recherche du CNRS, dans le but de cr´eer un espace de recherche collaboratif entre les 4 entit´es suivantes :

1. Le CNRS(Centre national de la recherche scientifique), organisme public fran¸cais de recherche scientifique.

2. L’Universit´e Joseph Fourier de Grenoble (UJF)(science, technologie, sant´e).

3. L’Institut de Recherche en Technologies de l’Information et de la Communi- cation (I2R) de l’Agence Singapourienne de Science, Technologie et Recherche (A*STAR).

4. L’Universit´e Nationale de Singapour (NUS).

Aujourd’hui Image & Pervasive Access Lab (IPAL), il est codirig´e depuis 2008 par le professeur Daniel RACOCEANU, pour la partie fran¸caise, et par le Dr. Joo Hwee LIM pour la partie singapourienne.

1

Chapter 1. Introduction 2 L’IPAL concentre ses recherches autour de deux th`emes :

1. MIU(Medical Image Understanding), autour de l’exploration cognitive et s´emantique d’images m´edicales pour l’aide au pronostic et au pronostic ;

2. PAWN (Pervasive Access and Wellbeing Management), autour des environne- ments intelligents destin´es aux personnes ˆag´ees d´ependantes.

Le projet le plus r´ecent sur le th`eme des images m´edicales MIU est le projet MICO, Microscopie Cognitive Virtuelle. Ce projet a ´et´e lanc´e en 2006, cherche `a d´evelopper une plateforme permettant, `a partir d’une lame d’histopathologie, la visualisation et le traitement num´erique de cet ´echantillon.

Ce projet r´esulte donc de r´eels besoins exprim´es par les pathologistes. L’objectif du projet MICO n’est pas de remplacer le rˆole du pathologiste mais de lui offrir un outil d’assistance et de validation, permettant `a la fois un gain en temps et en justesse de pronostic. Dans un deuxi`eme temps, le projet vise `a offrir aux m´edecins une interface pertinente et adapt´ee `a leurs besoins. L’IPAL a d´evelopp´e pour cela une ontologie des- tin´ee `a repr´esenter les connaissances m´edicales. Le focus ´etant sur le cancer du sein, le mod`ele d’ontologie est bas´e sur le Syst`eme de Gradation de Nottingham, syst`eme standard de gradation de ce type de cancer.

1.2 Objectif du stage

1.2.1 Contexte du travail

La description des relations spatiales entre objets dans les images fournit une s´emantique forte qui vient enrichir les techniques bas niveau de repr´esentation du contenu visuel des images. Dans les travaux r´ecents du laboratoire, Nicolas Lom´elie et Daniel Racoceanu ont d´evelopp´e une application [6] qui concerne l’analyse de la structure des images de microscopies et la mod´elisation haut niveau des relations spatiales. Notre stage `a conce- voir va continuer sur ce th`eme et se basera sur quelques articles ([7]), ([4]) concernant la description de l’organisation spatiale.

Afin de mieux comprendrecomment les cellules s’organisent dans les tissus, notamment lors de la survenue d’un cancer. Nous proposons de concevoirun syst`eme de r`egles pour

Chapter 1. Introduction 3

d´efinir des relations spatiales dans les images, puis de les appliquer afin de re-cr´eer des structures virtuelles dans des images. L’application principale concernera l’´etude des connaissances concernant la structure de la cellule dans des images histopathologiques.

Ce stage consistera donc en la programmation JAVA pour analyser le syst`eme de r`egles et pour construire les images d´ecoulant de ces r`egles.

Ce stage est co-encadr´e par Thomas BOUDIER, Maˆıtre de conf´erences `a l’Universit´e Pierre et Marie Curie, Ludovic ROUX, ing´enieur de recherches `a IPAL, ainsi que par Shijian LU dans le cadre d’une collaboration entre IPAL et I2R. Notre stage se d´eroule au laboratoire IPAL, UMI CNRS 2955, Singapour.

1.2.2 Objectif du stage

L’objectif du stage est d’impl´ementer un syst`eme de r`egles pour d´efinir des relations spatiales dans les images. Afin de concevoir ce syst`eme, il est, dans un premier temps, important d’avoir une r´eflexion sur l’´etude des connaissances concernant la structure de la cellule dans des images histopathologiques. Ainsi, il sera n´ecessaire de comprendre comment d´ecrire les mod`eles et leur relations spatiales par des r`egles logiques et les concevoir. Ensuite, nous serons en mesure de v´erifier et d’estimer ces mod`eles par des techniques d’apprentissage.

En principe, nous allons concevoir ce syst`eme d’apr`es les ´etapes d’un processus de mod´elisation et simulation. La suite de ce m´emoire est organis´ee en trois parties qui sont les suivantes :

1. Premi`ere partie : ´etat de l’art. Dans un premier temps, nous allons d´efinir le probl`eme `a ´etudier et l’analyser. Le domain d’application de ce travail est l’ima- gerie bio-m´edicale, nous allons nous concentrer sur l’organisation spatiale dans ces images et trouver comment d´ecrire cette organisation spatiale au niveau des cellules et des tissus. Ensuite, nous les formulerons par des mod`eles conceptuels : des composants et des relations spatiales les uns aux autres.

De plus, les solutions existantes sont pr´esent´ees en vue de d´ecrire ces mod`eles.

Les relations spatiales sont consid´er´ees `a l’´echelle locale et `a l’´echelle globale.

L’analyse de l’organisation spatiale `a l’´echelle locale concerne la relation relative de deux objets dans une image ou des images diff´erentes. L’analyse de l’organisa- tion spatiale `a l’´echelle globale se concentre sur la distribution de l’ensemble des objets dans l’espace de recherche : les objets sont distribu´es de mani`ere al´eatoire, uniforme ou regroup´e.

2. Deuxi`eme partie : impl´ementation. A partir d’un mod`ele conceptuel, nous al- lons essayer de visualiser le mod`ele dans des images deux dimentions et trois

Chapter 1. Introduction 4 dimentions. Particuli`erement, nous appliquerons les techniques d’estimation de distance comme les transformations de distances. Par ailleurs, `a partir des ana- lyses pr´esent´ees dans la premi`ere partie, nous proposons des sc´enarios d’organi- sation spatiale et des solutions (contribution de notre travail).

3. Troisi`eme partie : r´esultat, conclusion et perspectives. Nous montrerons les r´esultats obtenus et les analyserons pour valider les solutions que nous avons apport´ees.

La conclusion, les perspectives, et les r´ef´erences cloturont ce m´emoire.

Chapitre 2

Etat de l’art ´

Ce chapitre pr´esente la recherche bibliographique sur toutes les m´ethodes, les tech- niques, et les travaux pr´eliminaires concernant ce sujet, leurs avantages ainsi que leurs inconv´enients. Cela m’aide `a ´etablir un protocole d’´etude adapt´e et fiable pour que la r´ealisation du sujet soit men´ee `a terme.

2.1 Rappel de biologie

La cellule est l’unit´e de structure, fonctionnelle et reproductrice constituant toute partie d’un ˆetre vivant. Chaque cellule est une entit´e vivante qui, dans le cas d’organismes multicellulaires, fonctionne de mani`ere autonome, mais coordonn´ee avec les autres. Les cellules sont r´eunies en tissus. L’´etude de l’architecture de la cellule est devenu une ´etape pr´ealable de la biologie cellulaire et la mod´elisation bio-m´edicale.

Dans cette section, nous allons ´etudier quelques ph´enom`enes, en priorit´e, nous allons observer l’organisation spatiale de l’ensemble des cellules dans deux maladies : le cancer du sein et le diab`ete. En se basant sur ces connaissances, nous pouvons formaliser les probl`emes et d´ecrire le mod`ele.

2.1.1 Structure de la cellule

Toutes les cellules contiennent les structures suivantes (plus d´etaill´e voir [8]) :

— Membrane plasmique - s´epare la cellule de l’environnement ext´erieur.

— Cytoplasme - int´erieur de la cellule remplie de liquide.

— Les composants nucl´eaires (noyau et nucl´eole) - le noyau est une structure cellu- laire, pr´esent dans la majorit´e des cellules, et contenant l’essentiel du mat´eriel

5

2. Etat de l’art´ 6

(a) Structure d’une cellule : plasma membrane, cytoplasme, noyau et nucl´eole, v´esicules (plus d´etaill´e voir [8]).

(b)Le noyau tel qu’il apparaitrait si on lui retranchait un segment

(plus d´etaill´e voir [8]).

g´en´etique de la cellule (ADN). Il a deux fonctions principales : contrˆoler les r´eactions chimiques du cytoplasme et stocker les informations n´ecessaires `a la division cellulaire. Le nucl´eole est un sous-compartiment cellulaire du noyau et est le lieu o`u se produit la transcription des ARN ribosomiques1 (ARNr), qui vont participer `a la construction des prot´eines, les deux sous-unit´es des ribosomes.

— V´esicules sont de petits sacs remplis de liquide. Ces sacs peuvent ˆetre tr`es petit, et circule dans le cytosol o`u elle peut stocker, transporter ou encore dig´erer des pro- duits et des d´echets cellulaires. Il existe diff´erents types de v´esicules : v´esicules de transport qui d´eplacent des mol´ecules `a l’int´erieur de la cellule, v´esicules synap- tiques qui stockent des neurotransmetteurs, etc. La v´esicule est un composant tr`es important dans la structure de la cellule. Le processus de mod´elisation se concentre souvent sur ce composant.

Dans notre travail, nous allons nous concentrer sur la position relative des v´esicules dans la cellule.

2.1.2 Cancer du sein

Le cancer du sein (plus d´etaill´e voir [9]) est un type de cancer tr`es r´epandu, surtout pour les femmes. En principe, cancer est un probl`eme tr`es s´erieux car il n’y a pas de rem`ede efficace, et il est estim´e que pr`es de 1 femme sur 8 aux ´Etat Unis d´eveloppera un cancer du sein invasif au cours de sa vie. Ce type de cancer se forme dans les tissus du sein, habituellement les conduits et les lobules.

2. Etat de l’art´ 7 Etapes du cancer du sein´ Le cancer du sein, g´en´eralement comme toute sorte de cancer, a des diff´erentes ´etapes. Ainsi, le cancer du sein peut ˆetre ”ductal” ou ”lobular”, et pour ces emplacements, ”in situ” ou ”envahissants”. En g´en´eral, 80 % de cas sont le carcinome ductal. Nous montrerons les diff´erents ´etapes de cancer dans la figure (2.2).

2. Etat de l’art´ 8

Figure 2.2: Etapes du cancer du sein :´ Normal cells, Ductal hyperplasia - trop de cellules. Atypical ductal hyperplasia - trop de cellules qui commencent `a apparaˆıtre anormale (´egalement connu sous le nom ADH) .Ductal carcinoma in situ - trop de cellules qui se d´eveloppent comme un cancer mais sont encore confin´es `a l’int´erieur du conduit (DCIS).DCIS-MI (DCIS avec micro-invasion) - plusieurs sous-types de DCIS, certains plus graves que d’autres.Invasive ductal cancer - L’´etat incontrˆol´e des cellules

qui ont pass´e `a travers des barri`eres tissulaires normales.

2. Etat de l’art´ 9 2.1.3 Diab`ete et insuline

L’insuline est une hormone s´ecr´et´ee par le pancr´eas, plus pr´ecis´ement par des cellules sp´ecialis´ees situ´ees dans les ˆılots de Langerhans. Elle agit comme une cl´e qui ouvre une porte permettant ainsi l’entr´ee du glucose (sucre) dans les cellules de l’organisme.

Celles-ci utiliseront le glucose comme carburant ou le mettront en r´eserve pour une utilisation future. L’insuline joue donc un rˆole de r´egulateur en maintenant la glyc´emie

`

a des valeurs normales. Si le pancr´eas, pour une raison ou une autre, est incapable de fournir une quantit´e suffisante d’insuline ou que celle-ci n’arrive pas `a faire son travail, le diab`ete apparaˆıt.

Les ˆılots de Langerhans (plus d´etaill´e voir [10], [11], [1]) sont de petits organes situ´es aux pancr´eas qui sont cruciaux pour l’hom´eostasie du glucose. Les hormones produites par les ˆılots de Langerhans sont s´ecr´et´ees directement dans la circulation sanguine par au moins quatre types de cellules :

1. L’insuline est produite par les cellules β (65-80 % des ˆılots).

2. Le glucagon est produit par les cellules α (15-20 %).

3. La somatostatine est produite par les cellules δ (3-10 %).

4. Le polypeptide pancr´eatique par les cellules F (ou PP) (1 %).

Dans notre travail, nous essayons d’estimer la distribution et l’interaction entre les types de cellulesα,β,δ. De plus, nous allons proposer d’autres organisation de ces cellules.

2. Etat de l’art´ 10

Figure 2.3:Les ˆılots de Langerhans (A-D) Les micrographies confocales montrent des ˆılots pancr´eatiques de Langerhans `a partir de sections chez l’humain (A), le singe (B), la souris (C) et le cochon (D). L’insuline immunor´eactive (rouge) -β cellule, glucagon immunor´eactive (vert) -αcellule, et la somatostatine-immunor´eactives (cellules bleues

-δcellule) (d’apr`es [1]) .

2.2 Analyse de l’organisation spatiale

2.2.1 Travaux similaires

La mod´elisation de l’organisation spatiale a ´et´e un sujet de recherche actif et a attir´e l’int´erˆet de diff´erentes communaut´es scientifiques. `A l’heure actuelle, il existe des tra- vaux qui se focalisent sur ce th`eme, par exemple le travail men´e par Robert F. Murphy et son ´equipe (voir l’article [12]) qui ont propos´e des m´ethodes de calcul, `a partir de donn´ees d’image, g´en´erer des mod`eles statistiques de formes cellulaires et nucl´eaires et calculer l’arrangement des structures sous-cellulaires et des prot´eines en leur sein. Une autre recherche de David J. Weston concernant la cellule (voir l’article [3]) nous montre l’organisation spatiale des objets nucl´eaires. Particuli`erement, en analysant de motifs de points spatiaux pour chaque image, nous pouvons distinguer des mod`eles de points diff´erents, les points sont distribu´es au hasard, de mani`ere uniforme ou regroup´es.

2. Etat de l’art´ 11 Diverses approches sous-tendent la mod´elisation des relations spatiales, qui est un do- maine h´et´erog`ene et interdisciplinaire. Une premi`ere classification est r´ealis´ee entre trois niveaux de repr´esentation : g´eom´etrique, informatique, et utilisateur.

Au niveau g´eom´etrique, les objets spatiaux peuvent ˆetre consid´er´es comme des ensembles de points, et les relations peuvent ˆetre formellement d´efinies en termes math´ematiques (voir la section 2.2.2, 2.2.3.1). Au niveau informatique, les objets sont repr´esent´es en tant que types de donn´ees spatiaux et les relations sont calcul´ees au moyen d’op´erateurs spatiaux (voir la section 2.2.2). Au niveau utilisateur, les objets et les relations appar- tiennent `a une ontologie d´ependante du contexte (voir la section 3.0.5). Nous essayons d’analyser les relations spatiales dans deux ´echelles locale, globale et `a trois niveaux de repr´esentation.

2.2.2 Analyse `a l’´echelle locale

Actuellement, nous consid´erons les applications d’imagerie intelligentes qui visent `a ef- fectuer un certain niveau de raisonnement m´ecanique sur le contenu de l’image. Et la connaissance des relations entre les r´egions est une notion important dans ce proces- sus. Particuli`erement, une m´ethodologie en se basant sur la M´er´eotopologie Discr`ete (voir l’article [2]) est souvent utilis´ee. Cet m´ethodologie pr´esente la logique spatiale en Morphologie Math´ematique et permet de fournir un ensemble de relations spatiales qui peuvent ˆetre utilis´es pour d´ecrire la topologie et l’organisation des images num´eriques.

Ces relations spatiales sont un ensemble de contacts dans l’espace 2D discret existent entre des paires de zones binaires dans une image, ainsi qu’entre r´egions `a travers diff´erentes images (tels que des images multi-canaux, o`u les structures marqu´ees de la mˆeme image sont cod´es dans des s´epar´es canaux).

Nous pouvons d´efinir la m´er´eotopologie discr`ete (DM) = mereology + topologie comme une logique combinant mereologie (comme la th´eorie des relations d’inclusion) et de la topologie de l’espace. Nous pouvons ´egalement utiliser un langage de contraintes spa- tiale RCC8 qui est une sous-th´eorie de la logique spatiale RCC (Region Connection Calculus en anglais) pour la connexion des r´egion. L’ensemble RCC8 d´ecrit huit rela- tions disjointes sur des paires de r´egions X et Y (DC, EC, PO, EQ, TPP, NTPP, TPPi, NTPPi). L’ensemble RCC5 d´ecrit cinq relations disjointes conjointement exhaustives sur des paires de r´egions X et Y (DR, PO, EQ, PP, PPi).

Les principales relations sont pr´esent´es comme suit : 1. DC : disjoints et ext´erieur l’un `a l’autre..

2. EC : connexion externe, se touchent.

2. Etat de l’art´ 12

Figure 2.4: Les relations RCC5D et RCC8D. Les r´egions sont repr´esent´ees en des cercles 2 dimentions (l’objet plus lumineux est X et l’objet fonc´e est Y).

3. PO : s´ecants partiel.

4. TPP : tangents int´erieurement - X est int´erieux de Y.

5. NTPP : tangents int´erieurement - disjoints, X est int´erieur de Y..

6. EQ : deux objets identiques : confondus.

7. TPPi : est invers´e de TPPi, tangents int´erieurement - connection int´erieur, Y est int´erieur de X.

8. NTPPi : est invers´e de NTPP, tangents int´erieurement - Disjoints, int´erieur Y `a X.

Une des raisons qui fait que la m´er´eotopologie discrete est tr`es populaire et est ap- pliqu´e largement, c’est la correspondance entre m´er´eotopologie discrete et morpholo- gie math´ematique. De plus, les op´erations de morphologie math´ematique sont facile `a impl´ementer en traitement d’image. La formule ”X⊕A” dans le tableau (2.5) indique

Figure 2.5: La correspondance de Discrete M´er´eotopologie et Morphologie Math´ematique, d´efini dans RCC8D (d’apr`es [2]).

une dilatation de l’imageX avec le noyauA , et ”T

” signifie intersection, ”∅” indique un r´esultat nul, et ”−” signifie l’ensemble th´eorique diff (la diff´erence asym´etrique ou soustraction logique) op´eration calcul´ee entre les deux images binairesX etY.

Particuli`erement, en se basant sur les relation RCC5 et RCC8, Landini, Randell et Gal- ton (voir l’article [7], [2]) ont impl´ement´e un algorithme efficace pour calculer les relations

2. Etat de l’art´ 13 RCC5 et RCC8 entre les r´egions dans deux images. Elle consiste `a encoder les images binaires avec des valeurs 0, 1 pour imageXet 0, 2 pour imageY , o`u on inspecte l’histo- gramme de la somme des deux images (les valeurs 1, 2 ou 3). Cette algorithme est illustr´e dans la figure (2.6) suivante : Ces auteurs ont d´evelopp´e un plugin ”RCC8D Multi”

Figure 2.6: Algorithme de d´etection des relations spatiales entre les r´egions . Cet algorithme 0, 1 est cod´ee pour l’image X et 0, 2 est cod´e pour Image Y (0 est le plan arri`ere, le fond et 1, 2 repr´esente la r´egion pixels). L’histogramme de la somme (X + Y) ne contient que valeurs de 0 (fond), 1 (r´egion X), 2 (r´egion Y), ou 3 (ces deux r´egions occupent l’emplacement de ce pixel) et il peut ˆetre utilis´e pour trouver la relation RCC5D entre les r´egions. Par exemple si le nombre de pixels de l’histogramme 1 et 2 (les valeurs de r´egions X et Y) sont tous ´egaux `a 0 et la somme S (valeur ´egal `a 3) est

sup´erieure `a 0, la relation est EQ (d’apr`es [2]).

pour effectuer cette tˆache (voir sur le site :http ://www.dentistry.bham.ac.uk/landinig/

software/spatial/rcc8d.html). Cet algorithme donne des avantages en analysant des re- lations spatiales entre des paires de zones binaires dans une seule image, ainsi qu’entre les r´egions `a travers diff´erentes images. Nous allons appliquer ces r´esultats de recherche pour mod´eliser l’organisation cellulaire et tissulaire.

2.2.3 Analyse `a l’´echelle globale

2.2.3.1 Statistique spatiale

Analyse de mod`ele de points (PPA - Point pattern analysis en anglais) est l’´etude de la disposition spatiale des points dans l’espace de recherche (la r´egion d’´etude). La

2. Etat de l’art´ 14

Figure 2.7: Exemple : Illustration 2D de l’extraction de compartiment Promyelocytic Leukemia (PML) (l’image extraite `a partir de l’article de David J. Weston, voir [3]).

A) l’image d’origine B) PML est segment´e `a partir de cette image. C)Chaque noyau est remplac´e par son centre de gravit´e. Une question que nous pouvons poser, les com- posants (en vert ) PML sont distribu´ees au hasard ou ont des relations les uns aux

autres.

formulation la plus simple est un ensemble S={s∈P} o`u P est l’espace de recherche.

Dans une r´egion d’´etude, une question que nous pouvons poser, c’est que les objets observ´esS ={s∈P} (des ´ev´enements) sont distribu´ees au hasard ou ont des relations les uns aux autres. Notre objectif est de d´eterminer s’il y a une tendance des ´ev´enements pour exposer sch´ema syst´ematique sur une zone plutˆot que d’ˆetre distribu´ees au hasard.

Un exemple d’illustration sur la Promyelocytic Leukemia (voir la figure2.7). Le probl`eme devient comment trouver le motif (mod`ele) de points spatiaux ou la relation entre les points dans l’ensembleS. Les donn´ees ponctuelles ont souvent des attributs, mais nous sommes seulement int´eress´es par la localisation (la position du centre de cet objet) (voir l’article [4]).

Distributions statistiques

— Distribution al´eatoire (completely random pattern - CRS en anglais) - chaque point est ´egalement susceptible de se produire `a n’importe quel endroit et la position de chaque point n’est pas affect´ee par la position de n’importe quel autre point.

— Distribution uniforme (en anglais : uniform distribution, regular pattern, repul- sion) - chaque point est le plus loin possible de l’ensemble de ses voisins, la distance est uniforme entre tous les points.

— Mod`ele agr´eg´e, cluster (clustered pattern en anglais) - plusieurs points sont concentr´es rapproch´es, et il existe de grandes zones qui contiennent tr`es peu de points.

2. Etat de l’art´ 15

Figure 2.8: Diff´erents types de distribution spatiale. Les positions peuvent ˆetre uni- form´ement et ind´ependamment distribu´es (compl`etement al´eatoire mod`ele), ou at- traction mutuelle (mod`ele agr´eg´e) ou r´epulsion mutuelle (mod`ele r´egulier, uniforme)

(d’apr`es [4]).

2.2.3.2 Fonctions d’estimation de la distribution

Afin d’analyser leur distribution spatiale,toutes les r´egions ou les objets sont repr´esent´ees par leur centres de gravit´e. Nous essayons de trouver des fonctions qui peuvent estimer la distribution des points. Et les functions de distance sont des outils standards dans le processus d’analyse statistique. Certaines des fonctions tr`es utiles et largement utilis´e dans l’estimation du mod`ele des points sont les fonctions ’F-function’, ’G-function’ et

’H-function’

G-function: est une mesure simple, cette fonction examine la distribution de la fr´equence cumul´ee des plus proches des distances voisines. La fonction G d’un mod`ele de point est la fonction de distribution de la distance entre un point X typique du mod`ele et son plus proche voisin (voir l’´equation 2.1, plus d´etaill´e voir l’article [4]).

G(x) =P(X < x) (2.1)

Apr`es avoir trouv´e le plus proche voisin, nous allons calculer la distance entre ces deux paires des ´ev´enements. A partir de ces r´esultats, nous allons compter le nombre des points avec la distance inf´erieur d’un mesure de distance (voir l’´equation 2.2). Ce ratio est calcul´e par le nombreux de paires de points o`u r_min ≤ r divise par le total de nombreux de point dans la r´egion d’´etude (voir la formulation2.2).

G(r) = [rmin(si)< r]

n (2.2)

F-function: est un mesure simple, cette function examine la distribution de la fr´equence cumul´ee de la distance Y entre une position typique dans le noyau et son point le plus

2. Etat de l’art´ 16

Figure 2.9: G-function, les points observ´es - ´ev´enements (events en anglais) : 1, 2, 3,...,12 dans une r´egion d’´etude . Pour chaque ´ev´enement, nous avons trouv´e leur voisin avec la plus proche de distance possible (nearest neighbor). Par exemple : le plus proche

de l’´ev´enement 1 est l’´ev´enement 10 avec la distancermin= 25.59. (d’apr`es [5])

Figure 2.10: Graphe du G-function. La forme de function G nous pr´esente la fa¸con dont les ´ev´enements sont espac´ees dans un mod`ele (pattern) de points. (d’apr`es [5])

proche dans la r´egion d’´etude(plus d´etaill´e voir l’article [4], [3] et [5]).

F(y) =P(Y < y) (2.3)

Trois ´etapes de calcul de F-function :

— Produire al´eatoirement n points (p₁, p₂, ..., p_n).

— Calculer dmin(pi, s) comme le plus courte distance de la location pi `a tous les

´

ev´enements dans le mod`ele des points S.

— CalculerF(d) (voir l’´equation 2.4).

2. Etat de l’art´ 17

Figure 2.11:La F-function est la function de distribution cumul´ee de la distance entre les points qui ont ´et´e g´ener´e al´eatoirement dans la r´egion d’´etude (croix bleues) et leur

plus proche ´ev´enement (points observ´es - des cercles dans la figure) (d’apr`es [5])

Figure 2.12:Le r´esultat SDI du F-function (graphe en couleur noire) est la mesure de la distance du vide dans la r´egion d’´etude. Cette distance a la tendance `a ˆetre grande pour le mod`ele agr´eg´e et plus petite pour le mod`ele r´egulier. Si le graphe de F-function est situ´e entre deux graphes avec les valeurs de confiance 5% et 95%, des ´ev´enement ont la distribution al´eatoire. Si cette graphe est situ´e au-dessous du graphe de 5%, c’est-

`

a-dire une distribution agr´eg´e (cluster) et au-dessus du graphe de 95%, c’est-`a-dire r´egularit´e (uniformit´e) des ´ev´enements dans la r´egion d’´etude.

F(r) = [r_min(s_i)< r]

n (2.4)

Notre objectif est de trouver la signification des fonctions et d´efinir la distribution ou le mod`ele des ´ev´enements dans la r´egion d’´etude (soit agr´eg´e, soit uniformit´e, soit distri- bution al´eatoire). Une des m´ethodes populaire (voir [5]) est d’utiliser les param`etres de

2. Etat de l’art´ 18 confiance.

— D’abord, on va simuler un grand nombre (n fois, par exemple n = 10000 fois) de processus spatiaux et et estimer la fonction d’estimation pour chacune de celles-ci.

— Ensuite on va enregistrer les valeurs obtenues de cette function G pour tous les processus et les normaliser dans le range [0,1].

— De plus, a partir de ce range, on peut observer les valeurs de confiance 5% et 95%.

— Enfin, on peut trouver la signification de la function G en se basant sur les valeurs de confiance (voir la figure 2.12).

2.3 Estimation de la distance

Nous avons pr´esent´e le cadre conceptuel pour la description de l’organisation spatiale `a l’´echelle locale et `a l’´echelle globale. Actuellement, notre travail vise `a estimer la distance pour chaque ´ev´enement dans la r´egion d’´etude en analysant les attributs d’une image. Il est n´ecessaire de trouver un outil puissant pour estimer la distance. La transformation de distances r´epond `a notre besoin.

La notion de distance joue un rˆole central en analyse d’image et description de formes.

Elle intervient par exemple pour la mesure de la longueur ou de l’´epaisseur des objets pr´esents dans une image, pour la mesure de similarit´e entre les formes et la mise en correspondance, dans les transformations de distances, en morphologie math´ematique, etc.

De nombreuses fonctions de distances existent selon les espaces `a mesurer. Dans certains cas o`u les r´egions ont les formes convexes, la distance euclidienne (plus d´etaill´e voir [13][14] [15]) ( euclidean distance en anglais) peut-ˆetre manipul´ee directement, il poss`ede des avantages (simplicit´e et rapidit´e des algorithmes, notion de plus court chemin,...).

Dans le cas o`u la r´egion a une forme non convexe, un autre type de distance qu’on utilise souvent pour calculer la carte de distance est la distance de chanfrein (Chamfer distance en anglais) (voir l’article [13]). Nous allons prendre en d´etail la transformation de distance dans ces deux cas.

2.3.1 Distance euclidienne

La distance la plus naturellement utilis´ee est la distance euclidienne, d´efinie pour deux pointsp= (p₁, p₂, ...p_n) et q= (q₁, q₂, ..., q_n) de Rⁿ par :

d_E(p, q) =p

(p1−q1)²+ (p2−q2)²+....(pn−qn)² (2.5)

2. Etat de l’art´ 19

Figure 2.13: Le processus de production de carte de distance pour chaque image.

Transformations de distances [13] : Apr`es avoir parl´e de la distance entre points, nous d´efinissons maintenant la distance d’un point `a un ensemble, une m´ethode utile est la transformation de distance (DT - Distance Transformation en anglais). Le but principal de la DT est de calculer la distance de chaque point `a un ensemble. Nous pouvons appliquer la transformations de distances en calculant la distance euclidienne pour tous les pixels dans une image. Les r´esultats que nous allons obtenir est la carte de distance euclidienne pour chaque image (voir la figure2.13.)

En traitement d’image, nous pouvons d´efinir la transformation de distances par la fa¸con suivante : Soit I : Ω⊂Z² → {0,1} est une image binaire o`u le domaine Ω est convexe.

Particuli`erement, Ω ={1, ..., n} × {1, ..., n}. Par convention, la valeur O est associ´ee au noir, 1 est associ´ee au blanc. De plus, nous avons un objet W

repr´esent´e par des pixels blancs.

_={p∈Ω|I(p) = 1} (2.6)

L’ensemble W

est un objet ou le premier plan peut ˆetre constitu´e des plusieurs sous- ensembles dans le domaine d’image. Ω_c = Ω\ W

est un ensemble des pixels noirs dans Ω qui est appell´e le plan arri`ere (background en anglais). Du point de vue de la transformation de distances, les pixels en plan d’arri`ere sont appell´e les points d’int´erˆet, la source.

D´efinition : La transformation de distance (DT) est la transformation qui g´en`ere une carte D dont la valeur de chaque pixel p est la plus petite distance de ce pixel `a Ω_c. L’image D est la carte de distance deI. La figure 2.15 est un exemple du calcul de la carte de distance.

Normalisation de la distance : Pour r´eutiliser les r´esultats de la carte de distance dans l’analyse de l’organisation spatiale, nous essayons de normaliser la carte de distance dans le range [0,1]. Le but de ce travail est d’obtenir un volume constant [0,1] `a partir des r´esultats de distance. Pour normaliser de la distance, initialement, nous calculerons le nombre des points possibles dans le domaine possible. Apr`es, nous donnerons une valeur moyenne de distance pour tous les points qui ont la mˆeme distance dans le domaine possible. Enfin, nous diviserons cette valeur sur la valeur maximale de distance. Le r´esultat de normalisation est la carte de distance dans un volume constant [0,1].

2. Etat de l’art´ 20

(a) Image binaire d’origine, la r´egion d’´etude en blanc, le plan arri`ere en

noir.

(b)Image binaire d’origine invers´ee,la r´egion d’´etude en blanc, le plan arri`ere

en noir.

(c) La carte de distance pour image d’origine - r´esultat obtenu en appli- quant la function ’distance map’ dans le logiciel ImageJ. Il s’agit de la dis- tance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les r´egions plus claires sont plus loins du plan

arri`ere.

(d) La carte de distance pour image d’origine `a l’inverse. - r´esultat obtenu en en appliquant la function ’distance map’ dans le logiciel ImageJ. Il s’agit de la distance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les r´egions plus claires sont plus loins du

plan d’arri`ere.

Figure 2.14: Exemple du calcul de la carte de distance Euclidienne

2.3.2 Distances g´eod´esiques

La distance euclidienne est tr`es utile pour calculer la distance entre deux points dans une r´egion qui a la forme convexe. Dans le cas o`u la r´egion a la forme non convexe, la distance de chanfrein est souvent appliqu´ee. (plus d´etaill´e voir [16] [13]).

En conclude, nous avons pr´esent´e quelques notions de distance et les algorithmes de calcul de carte de distance en analysant l’image dans deux cas o`u les domaine d’´etude sont soit convexe soit non convexe. Nous allons appliquer cette m´ethode de calcul dans l’´etape d’impl´ementation suivante (voir 3.0.3,3.0.2).

2. Etat de l’art´ 21

Figure 2.15: Exemple du calcul de la transformation de distance. En (a) : image binaire noir et blanc. En (b), il s’agit de la distance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les valeurs de distance est au carr´e de sorte que seules les

valeurs enti`eres sont stock´ees.

(a) Image binaire d’origine, la r´egion d’´etude en blanche, le plan d’arri`ere en noir. On tire deux points A, B dans la r´egion d’´etude. Si on trace une ligne entre deux points, deux points sont tr`es proche. Mais si on veux tracer un chemin de A `a B dans la r´egion d’´etude, ces deux points sont tr`es loin.

(b)Calcul de la carte de distance pour la r´egion d’´etude non convexe - r´esultat obtenu en appliquant la fonction ’geo- desique’ dans le plugin ’geodesic dis- tance map’ sous le logiciel ImageJ. Il s’agit de la distance chanfrein de point A aux tous les points dans la r´egion

d’´etude.

Figure 2.16:Exemple du calcul de la carte de distance g´eod´esique, r´esultat obtenu en appliquant la fonction ’geodesic’ dans le plugin ’geodesic distance map’ sous le logiciel

ImageJ.

2. Etat de l’art´ 22

2.4 Environnement logiciel utilis´ e

Dans ce travail, nous disposons d’un syst`eme logiciel tr`es puissant permettant d’effec- ture de diff´erents traitements complexes. Dans le cardre de ce stage, nous reposons sur l’environnement logiciel ImageJ qui est un logiciel libre, fonctionne aussi bien sous la plate-forme Windows, Mac ou Linux. Ce logiciel est initialement d´evelopp´e pour analyser des images biologiques par l’institut national de la sant´e am´ericain (voir [17]). ImageJ est un outil performant pour effectuer des calculs `a partir d’images ou des vid´eos (voir la figure 2.17).

Figure 2.17: ImageJ - logiciel d’analyse et de traitement d’image.

Op´erations de base sur ImageJ : les op´erations sont tr`es completes pour l’analyse d’image (co-localisation, traitement de stacks (pile d’images), colorim´etrie, recherche de contours, segmentation, projection z, overlay, filtres, 3D, cr´eation d’animations .AVI .GIF, d´econvolution 3D, . . . ) permettant de cr´eer des macros et des plugins. Un grand avantage importante de ce logiciel c’est que ImageJ permet aux utilisateurs de d´evelopper facilement des plugins, des macros, des modules, de les int´egrer et de les ex´ecuter sans difficult´e. De plus, l’environnement de d´eveloppement ImageJ est Java - langage orient´e objet tr`es efficace.

Le traitement et l’analyse des images trois dimensions avec ImageJ : ImageJ peuvent non seulement effectuer des op´erations de base, mais ˆetre tr`es fonctionel pour des images en trois dimensions.

2. Etat de l’art´ 23 Visualisation 3D : Il s’agit des plugins ”Volume Viewer plugin” et ”ImageJ 3D Vie- wer Plugin” (voir [18]) qui permet de visualiser (sur diff´erentes vues : sagittale, axiale, coronale et en 3D), d’analyser (histogramme, affichage du profil,...) et traiter (fusion, segmentation,..) les diff´erents types de volumes de donn´ees en 3D.

Plugin ”mcib3d” - traitement des images 3D : ce module [19] constitu´e des fonctions diff´erents pour des traitements des images 3D :

1. 3D Filtrage (mean, median, max, min, tophat, max local, . . . ) 2. 3D Segmentation.

3. Outils pour calculer la Morphologie Math´ematique 3D. Particuli`erement, nous pouvons utiliser la function de transformation de distances pour calculer la carte de distance (voir la section 2.15).

4. Outils pour l’analyse des objets 3D, les points d’int´erˆet.

5. Outils pour calculer des relations RCC8D comme pr´esent´e ci-dessus (voir la sec- tion 2.2.2,2.5).

6. Outils pour calculer les fonctions de calcul de distance ”F-function”, ”G-function”,

”H-function” (voir la section2.2.3.1).

Chapitre 3

Impl´ ementation

Au cours de cette section nous aborderons, dans un premier temps, la mod´elisation de la structure d’une cellule. Ensuite, nous allons faire de la mod´elisations `a l’´echelle locale et `a l’´echelle globale. Particuli`erement, nous essayerons de combiner les deux parties locales et globale en mod´elisation de la structure d’une cellule `a multi-´echelles. Enfin, nous pr´esenterons un langage de description de l’organisation spatiale pour d´ecrire les relations logiques.

3.0.1 Mod´elisation de la structure d’une cellule

A partir des descriptions de la structure d’une cellule (2.1.1) que nous vous avons montr´e dans l’´etat de l’art, nous pouvons les formuler sous la forme suivante :

Les contraintes entre les composants dans la structure d’une cellule ( par convention Cellule : S1, Noyau :S2, Nucl´eole : S3, V´esicule : S4) :

— S3 ⊂ S2 ⊂ S1.

— S4 ⊂ S1, taille S4 < taille S1.

— taille S3 < taille S2 < taille S1.

— S4 ⊂ S2, taille S4 < taille S2.

=⇒ Notre but est de d´ecrire le mod`ele de l’organisation spatiale pour ces composants et le concevoir.

D´ecrire le mod`ele d’organisation spatiale de la cellule : premi`erement, nous d´efinissons des classes d’objets : cellule, noyau, nucl´eole, v´esicule. Deuxi`emement, des attributs correspondant `a chaque composants sont d´eclar´es : label, la position du centre, radius ou rayon, la forme, la rotation et la couleur. Troisi`emement, nous d´efinissons l’op´eration de base ”⊂” entre les composants. De plus, nous pouvons d´efinir une classe abstraite ”Components” S et les composants Cellule : S1, Noyau : S2, Nucl´eole : S3,

24

3. Impl´ementation 25 V´esicule : S4 sont h´erit´es de S. Le m´eta-mod`ele est repr´esent´e dans la figure 3.1) ci- dessous.

Figure 3.1: Sch´ema de la structure d’une cellule.

3.0.2 Mod´elisation `a l’´echelle locale

Dans la section pr´ec´edente (2.2.2), nous avons analys´e une m´ethodologie ([7], [2]) en se basant sur la M´er´eotopologie Discr`ete qui est de fournir un ensemble de relations spatiales qui peuvent ˆetre utilis´es pour d´ecrire la topologie et l’organisation des images num´eriques. Sp´ecialement, nous avons abord´e deux ensembles de la relation RCC8 et RCC5 qui sont des sous-th´eories de la logique spatiale RCC (Region Connection Calculus en anglais) pour la connexion des r´egion. Nous trouvons que RCC8 est plus pr´ecise que RCC5 car il d´ecrit huit relations disjointes possibles. Dans le cadre de ce stage, nous allons analyser des relations RCC8 entre les objets observ´es dans les images.

Mod`eles de la forme des cellules : les composants nucl´eaires et le membrane plasmique de la cellule forment des composants de mati`ere cellulaire et sont donc les premi`eres structures `a mod´eliser. Nous commen¸cons par la mod´elisation de la forme de membrane plasmique (c’est la forme de la cellule aussi) dans des images `a deux dimensions (2D) et trois dimentions (3D). Nous pouvons s´eparer les formes des objets observ´es en deux types principaux : les formes analytiques (comme le cercle, ellipse,..) et les formes complexes (difficile `a analyser).

3.0.2.1 Forme analytique de la cellule

Cas cercle 2D : nous commen¸cons avec une forme facile `a analyser : le cercle. Dans le cas les relations RCC8D, les calculs se r´eduisent `a des in´egalit´es de distance. Par

3. Impl´ementation 26

(a) DC : disjoints et ext´erieur l’un `a l’autre.

d > r1 +r2

(b)EC : connexion externe.

d=r1 +r2

(c) PO : s´ecants partiel.

d >|r1−r2|etd < r1 +r2

(d) EQ : deux cercles de rayons identiques :

confondus.

d= 0

(e) TPP, TPPi : tangents int´erieurement - connection

int´erieux.

d <|r1−r2|

(f)NTPP, NTPPi : tangents int´erieurement - disjoints,

int´erieur l’un `a l’autre.

d <|r1−r2|

Figure 3.2: Illustration du calcul 8 relations RCC8 (DC, EC, PO, EQ, TPP, NTPP, TPPi, NTPPi)

convention d est la distance entre deux centres des deux cercles O₁, O₂, le radius des deux cercles r1,r2.

M´ethode de Monte-Carlo

Le terme ”m´ethode de Monte-Carlo”, ou m´ethode Monte-Carlo, d´esigne toute m´ethode visant `a calculer une valeur num´erique en utilisant des proc´ed´es al´eatoires, c’est-`a-dire des techniques probabilistes. Nous appliquons cette technique dans notre travail : d’abord nous tirons un objet al´eatoire dans le domaine de recherche, ensuite nous v´erifirons des r`egles de l’organisation spatiale. Si objet observ´e satisfait des conditions, nous l’ajoutons dans la liste, sinon nous recommen¸cons.

Nous pouvons formuler cette m´ethode pour le domaine de recherche multi-dimentions : soit l’espace n dimentions de travail : P(p1, p2, ..., pn) est une r´egion. Soit un point S de coordonn´ees (s1, s2, ..., sn) o`u 0 < s1 < p1,0 < s2 < p2, ...,0 < sn < pn. On tire al´eatoirement les valeurs des1, s2, ..., sn. Le pointS est choisi si et seulement si l’objet avec le centreS et radiusrsatisfait des conditions de relation spatial (DC, EC, PO, EQ,

3. Impl´ementation 27 TPP, NTPP, TPPi, NTPPi) par rapport au domaine de recherche et les objets existants.

Algorithm 1:Algorithme de Monte Carlo pour tirer un objet al´eatoire qui satisfait les r`egles de relationR dans le domaine de recherche P

Input:

n: nombre des objets S1, S2, ..., Sn

P : domaine de recherche

Table de la relation :Si R P,R ∈ {DC, EC, P O, EQ, T P P, N T P P, T P P i, N T P P i}

Output:

S ={S₁, S2, ..., Sn} : objets satisfaisant des conditions.

initialisation;

iteration = 0 listeObjets S =∅

while iteration <=nombre de propagation do Tirer la position d’un Si ;

V´erifier : if S_i R P then Ok;

ajouter Si dans la liste S ; else

recommencer;

return listeObjets S;

Avantage de cet algorithme: facile `a comprendre et `a appliquer. Dans le cas o`u les objets ont une forme analytique comme le cercle, l’algorithme est tr`es efficace car nous pouvons v´erifier facilement la relation spatiale entre les objets.

Inconv´enient: Le temps de calcul d´epend du nombre de propagation et le domaine de recherche. Si le domaine de recherche est petit, la complexit´e augmente fortement. Dans le cas o`u les objets ont la forme complexe, nous avons besoins d’autre outil puissant pour analyser cette relation.

Nous pouvons d´ecrire pr´ecis´ement cet algorithme dans le cas o`u les objets ont la forme d’un cercle avec la position du centre de gravit´e et le domaine de recherche P est un

3. Impl´ementation 28 cercle aussi.

Algorithm 2:G´en´erer de nombreux objets `a l’int´erieur du domaine de recherche P et satisfaire les r`egles de relations RCC en utilisant la m´ethode de Monte-Carlo

Input:

n: nombre des objets S1, S2, ..., Sn

Object3DVoxel P : domaine de recherche Table de relation : Si R P,Si R Sj

R ∈ {DC, EC, P O, EQ, T P P, N T P P, T P P i, N T P P i}

Output:

S ={S₁, S2, ..., Sn} : ensemble d’objet satisfait.

initialisation;

iteration = 0 listeObjets S =∅

while iteration <=nombre de propagation do

radiusObjet = tirerAleatoireRadius(min, radiusP ) ;

centrerPositionObjet = tirerAleatoirePosition (min, centrePositionP) ; nouveauObjet = creerObjet (radiusObjet, centrePositionObjet) ; if (nouveauObjet R P) then

if (nouveauObjet R Sk) et (Sk ∈ listeObjets S) then listeObjets S ajouter nouveauObjet ;

iteration += 1 ; else

recommencer;

else

recommencer;

return listeObjets S;

3. Impl´ementation 29

Figure 3.3: Illustration du r´esultat de l’algorithme 2 en 2D. Des relations spatiales entre les objets S₁, S₂, ..., S_n et entre ces objets et le domaine de recherche P sont pr´esent´es dans la table de relation. Notre but est de produire al´eatoirement ces objets

dans le domaine de rechercheP et satisfaire ces r`egles de relation.

3.0.2.2 Formes complexes de la cellule

Dans le cas o`u les objets ont une forme complexe, nous avons besoins d’autre outil puissant pour analyser l’organisation spatiale et la position relative entre les objets. Au lieu d’utiliser la m´ethode de Monte-Carlo, la m´ethode de transformation de distance (voir 2.3) est la plus appropri´ee. Nous pouvons faire la comparaison entre les deux m´ethodes dans la table (3.4) suivante :

Figure 3.4:Comparaison deux m´ethodes de production d’un mod`ele spatial