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N = 3 [2 3 7 ] = 7 [2 3 7 ] = 8 [2 3 7 ] . N = 2 3 7

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Diophante A530 Problème 1).

Les entiers N qui nous intéressent sont multiples de 3, de 7 et de 8.

Il s vérifient donc N = 3 x3 = 7 y7 = 8 z8.

On peut poser N = 2 a 3 b 7 c Q où Q est premier avec 2, 3 et 7.

N = 3 x3 équivaut à 2 a 3 b-1 7 c Q = x3 c’est à dire :

a  0 mod 3, b  1 mod 3, c  0 mod 3, Q cube parfait (1) N = 7 y7 équivaut à 2 a 3 b 7 c-1 Q = y7 c’est à dire :

a  0 mod 7, b  0 mod 7, c  1 mod 7, Q puissance 7ème parfaite (2) N = 8 z8 équivaut à 2 a-3 3 b 7 c Q = z8 c’est à dire :

a  3 mod 8, b  0 mod 8, c  0 mod 8, Q puissance 8ème parfaite (3)

Résumons en remarquant que 168 = 3  7  8 où 3, 7, 8 sont premiers entre eux : N = 2 a 3 b 7 c Q où Q est une puissance 168ème parfaite et

a  0 mod 3, a  0 mod 7, a  3 mod 8, (4) b  1 mod 3, b  0 mod 7, b  0 mod 8, (5) c  0 mod 3, c  1 mod 7, c  0 mod 8. (6) (4) équivaut à a  147 mod 168

(5) équivaut à b  112 mod 168 (6) équivaut à a  120 mod 168

Donc le plus petit N qui convient est obtenu en prenant Q = 1 et c’est

N = 2

147

3

112

7

120.

N =

1261115004635698814760204424715703500159930641300056396801517699479803768023325380818 1320474699759718502630287715810062839998904611250003919825590062934199894184552137516 861317371307014072309957787648.

On a bien

N = 3 [2

49

3

37

7

40

]

3

= 7 [2

21

3

16

7

17

]

7

= 8 [2

18

3

14

7

15

]

8

.

Problème 2)

Posons u = 20087 ; v = 20097 et soit l’intervalle d’entiers I = [u , v].

Supposons que deux entiers A et B vérifient u  A6  B et (A + 1)6  B  v (1).

Alors, les 7 entiers de la suite géométrique :

A6  B ; A5  (A + 1)  B ; A4  (A + 1)2  B ; A3  (A + 1)3  B ; A2  (A + 1)4  B ;

A  (A + 1)5  B ; (A + 1)6  B, sont dans I, et de plus, leur produit vaut A21  (A + 1)21  B7 c’est à dire [A3  (A + 1)3  B]7 une puissance septième parfaite.

[A = 2100 et B = 1535 est un tel couple car u  21006  1535 et 21016  1535  v]

Si l’on trouve 287 couples (A , B) vérifiant (1) alors on aura 287 suites géométriques contenant 287  7 = 2009 entiers de I dont le produit est une puissance septième. Encore faut-il que ces 2009 entiers soient distincts.

Ces couples existent :

Prenons par exemple pour valeurs de A tous les entiers compris entre 2008 et 2318 sauf 2137, 2160, 2199, 2206, 2207, 2227, 2228, 2235, 2245, 2252, 2255, 2258, 2263, 2268, 2270, 2282, 2284, 2289, 2294, 2297, 2300, 2307, 2311, 2315.

Il y en a 311 – 24 = 287, et en posant B = l’entier immédiatement supérieur ou égal à 20087 / A6, on obtient bien les 287 couples (A, B) souhaités. [Vérification par informatique ci-dessous]

Un programme informatique vérifie enfin que les 2009 entiers définis plus haut sont distincts.

(2)

Le programme [avec MAPLE] :

S’il existe une démonstration "manuelle" c’est préférable.

On commence par construire l’ensemble des 287 entiers A.

u := 20087: v := 20097 : ens :={}:

for a from 2008 to 2318 do b:=ceil(u/a**6): z:=b*(a+1)**6:

if z  v then ens := ens union {z}: fi:

od:

ens:=sort([op(ens)]):

ens est maintenant un tableau contenant 287 entiers A vérifiant (1).

La deuxième partie du programme sort 2009 ce qui prouve que les 287 progressions géométriques sont composées d’entiers tous distincts.

sol :={} :

for i from 1 to 287 do a :=ens[i] : b:=ceil(u/a**6):

for j from 0 to 6 do z:= a**j*(a+1)**(6-j)*b: sol := sol union {z}:

od:

od:

print (nops(sol)):

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