Nous avons pr´esent´e le cadre conceptuel pour la description de l’organisation spatiale `a l’´echelle locale et `a l’´echelle globale. Actuellement, notre travail vise `a estimer la distance pour chaque ´ev´enement dans la r´egion d’´etude en analysant les attributs d’une image. Il est n´ecessaire de trouver un outil puissant pour estimer la distance. La transformation de distances r´epond `a notre besoin.
La notion de distance joue un rˆole central en analyse d’image et description de formes.
Elle intervient par exemple pour la mesure de la longueur ou de l’´epaisseur des objets pr´esents dans une image, pour la mesure de similarit´e entre les formes et la mise en correspondance, dans les transformations de distances, en morphologie math´ematique, etc.
De nombreuses fonctions de distances existent selon les espaces `a mesurer. Dans certains cas o`u les r´egions ont les formes convexes, la distance euclidienne (plus d´etaill´e voir [13][14] [15]) ( euclidean distance en anglais) peut-ˆetre manipul´ee directement, il poss`ede des avantages (simplicit´e et rapidit´e des algorithmes, notion de plus court chemin,...).
Dans le cas o`u la r´egion a une forme non convexe, un autre type de distance qu’on utilise souvent pour calculer la carte de distance est la distance de chanfrein (Chamfer distance en anglais) (voir l’article [13]). Nous allons prendre en d´etail la transformation de distance dans ces deux cas.
2.3.1 Distance euclidienne
La distance la plus naturellement utilis´ee est la distance euclidienne, d´efinie pour deux pointsp= (p1, p2, ...pn) et q= (q1, q2, ..., qn) de Rn par :
dE(p, q) =p
(p1−q1)2+ (p2−q2)2+....(pn−qn)2 (2.5)
2. Etat de l’art´ 19
Figure 2.13: Le processus de production de carte de distance pour chaque image.
Transformations de distances [13] : Apr`es avoir parl´e de la distance entre points, nous d´efinissons maintenant la distance d’un point `a un ensemble, une m´ethode utile est la transformation de distance (DT - Distance Transformation en anglais). Le but principal de la DT est de calculer la distance de chaque point `a un ensemble. Nous pouvons appliquer la transformations de distances en calculant la distance euclidienne pour tous les pixels dans une image. Les r´esultats que nous allons obtenir est la carte de distance euclidienne pour chaque image (voir la figure2.13.)
En traitement d’image, nous pouvons d´efinir la transformation de distances par la fa¸con suivante : Soit I : Ω⊂Z2 → {0,1} est une image binaire o`u le domaine Ω est convexe.
Particuli`erement, Ω ={1, ..., n} × {1, ..., n}. Par convention, la valeur O est associ´ee au noir, 1 est associ´ee au blanc. De plus, nous avons un objet W
repr´esent´e par des pixels blancs.
_={p∈Ω|I(p) = 1} (2.6)
L’ensemble W
est un objet ou le premier plan peut ˆetre constitu´e des plusieurs sous-ensembles dans le domaine d’image. Ωc = Ω\ W
est un ensemble des pixels noirs dans Ω qui est appell´e le plan arri`ere (background en anglais). Du point de vue de la transformation de distances, les pixels en plan d’arri`ere sont appell´e les points d’int´erˆet, la source.
D´efinition : La transformation de distance (DT) est la transformation qui g´en`ere une carte D dont la valeur de chaque pixel p est la plus petite distance de ce pixel `a Ωc. L’image D est la carte de distance deI. La figure 2.15 est un exemple du calcul de la carte de distance.
Normalisation de la distance : Pour r´eutiliser les r´esultats de la carte de distance dans l’analyse de l’organisation spatiale, nous essayons de normaliser la carte de distance dans le range [0,1]. Le but de ce travail est d’obtenir un volume constant [0,1] `a partir des r´esultats de distance. Pour normaliser de la distance, initialement, nous calculerons le nombre des points possibles dans le domaine possible. Apr`es, nous donnerons une valeur moyenne de distance pour tous les points qui ont la mˆeme distance dans le domaine possible. Enfin, nous diviserons cette valeur sur la valeur maximale de distance. Le r´esultat de normalisation est la carte de distance dans un volume constant [0,1].
2. Etat de l’art´ 20
(a) Image binaire d’origine, la r´egion d’´etude en blanc, le plan arri`ere en
noir.
(b)Image binaire d’origine invers´ee,la r´egion d’´etude en blanc, le plan arri`ere
en noir.
(c) La carte de distance pour image d’origine - r´esultat obtenu en appli-quant la function ’distance map’ dans le logiciel ImageJ. Il s’agit de la dis-tance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les r´egions plus claires sont plus loins du plan
arri`ere.
(d) La carte de distance pour image d’origine `a l’inverse. - r´esultat obtenu en en appliquant la function ’distance map’ dans le logiciel ImageJ. Il s’agit de la distance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les r´egions plus claires sont plus loins du
plan d’arri`ere.
Figure 2.14: Exemple du calcul de la carte de distance Euclidienne
2.3.2 Distances g´eod´esiques
La distance euclidienne est tr`es utile pour calculer la distance entre deux points dans une r´egion qui a la forme convexe. Dans le cas o`u la r´egion a la forme non convexe, la distance de chanfrein est souvent appliqu´ee. (plus d´etaill´e voir [16] [13]).
En conclude, nous avons pr´esent´e quelques notions de distance et les algorithmes de calcul de carte de distance en analysant l’image dans deux cas o`u les domaine d’´etude sont soit convexe soit non convexe. Nous allons appliquer cette m´ethode de calcul dans l’´etape d’impl´ementation suivante (voir 3.0.3,3.0.2).
2. Etat de l’art´ 21
Figure 2.15: Exemple du calcul de la transformation de distance. En (a) : image binaire noir et blanc. En (b), il s’agit de la distance euclidienne de chaque pixel au pixel noir le plus proche. Les valeurs de distance est au carr´e de sorte que seules les
valeurs enti`eres sont stock´ees.
(a) Image binaire d’origine, la r´egion d’´etude en blanche, le plan d’arri`ere en noir. On tire deux points A, B dans la r´egion d’´etude. Si on trace une ligne entre deux points, deux points sont tr`es proche. Mais si on veux tracer un chemin de A `a B dans la r´egion d’´etude, ces deux points sont tr`es loin.
(b)Calcul de la carte de distance pour la r´egion d’´etude non convexe - r´esultat obtenu en appliquant la fonction ’geo-desique’ dans le plugin ’geodesic dis-tance map’ sous le logiciel ImageJ. Il s’agit de la distance chanfrein de point A aux tous les points dans la r´egion
d’´etude.
Figure 2.16:Exemple du calcul de la carte de distance g´eod´esique, r´esultat obtenu en appliquant la fonction ’geodesic’ dans le plugin ’geodesic distance map’ sous le logiciel
ImageJ.
2. Etat de l’art´ 22