PanaMaths Décembre 2004
Soit la fonction f définie sur
⎤⎦− 1;1
⎡⎣par : ( ) ln ( 1 )
1 f x x
=
x + + Déterminer f x ' ( ) .
Analyse
La fonction f est le rapport de deux fonctions simples (composée du logarithme népérien et d’une fonction polynôme du premier degré et polynôme du premier degré).
On dérive en appliquant les règles de dérivation d’un rapport et d’une composée.
Résolution
La fonction x6ln
(
x+1)
admet pour dérivée la fonction 1 x 1x+
6 sur
]
−1 ; 1[
.La fonction x6x+1 admet pour dérivée la fonction x61 sur
]
−1 ; 1[
.La dérivée de la fonction f est donc la fonction f' définie sur
]
−1 ; 1[
par :( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
11 1 ln 1 1 1 ln 1
'
1 1
x x x
f x x
x x
× + − + × − +
= + =
+ +
Résultat final
La dérivée de f définie sur
] [
−1;1 par :( )
ln(
1)
1 f x x
x
= + +
est la fonction f' définie sur
] [
−1;1 par :( ) ( )
( )
21 ln 1
'
1 f x x
x
− +
= +
![Fonction logarithme népérien I. La fonction logarithme népérien 1) Définition La fonction logarithme népérien est une fonction, notée ln, qui vérifie les propriétés suivantes : elle est définie sur l’intervalle ]0 ; +¥](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)