AnouchkaPLAS Trigonométrie InstitutSaintDominique

Institut Saint Dominique

Mathématiques 4^ième secondaire 5 Périodes/Semaine

Trigonométrie

Anouchka PLAS

2019-2020

Table des matières

1 Cercle trigonométrique 3

1.1 Définition . . . 3

1.2 Quadrants . . . 3

2 Angle orienté 4 2.1 Définition . . . 4

2.2 Angle orienté et cercle trigonométrique . . . 4

2.3 Mesure principale . . . 4

2.4 Angles associés . . . 5

3 Sinus et cosinus d’un angle orienté 6 3.1 Angles remarquables . . . 7

3.2 Formule fondamentale . . . 7

3.3 Propriétés . . . 7

3.4 Signe du sinus et du cosinus . . . 8

3.4.1 Variation en fonction des quadrants . . . 8

3.4.2 Exemples du deuxième, troisième et quatrième quadrant . . . 8

3.4.3 Appliqués aux valeurs remarquables . . . 9

4 Tangente d’un angle orienté 10 4.1 Angles remarquables . . . 11

4.2 Formule fondamentale . . . 11

4.3 Signe de la tangente . . . 11

4.3.1 Variation en fonction des quadrants . . . 11

4.3.2 Exemples du deuxième, troisième et quatrième quadrant . . . 12

4.3.3 Appliqués aux valeurs remarquables . . . 13

5 Cotangente d’un angle orienté 14 5.1 Formule fondamentale . . . 14

6 Synthèse 14

Introduction

La trigonométrie étudie l’ensemble des propriétés dans un triangle. Cela ne signifie pas que la seule application de cette discipline se fasse en géométrie, bien que le chapitre se limite d’abord à un exposé sur le plan et particulièrement pour le cercle unité. Le cours donne une grande importance à la notion d’angle, nous la revoyons pour la définir à partir des vecteurs et du cercle trigonométrique. Les ratios trigonométriques sont introduits à l’aide des théorèmes de Thalès et de Pythagore, nous donnons les résultats pour les angles de référence et les relations les plus classiques. Le chapitre se termine par l’analyse des équations faisant intervenir un cosinus ou un sinus.

1 Cercle trigonométrique

1.1 Définition

Dans le plan muni d’un repère (O;i,j), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi :

• unsens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d’une montre

• unsens indirect, ou sens négatif, sens des aiguilles d’une montre.

O i

j

1 1

+

−

Cercle Trigonométrique - Définition

1.2 Quadrants

Le cercle trigonométrique est divisée en 4 qua- drants :

• Le quadrantI: angles compris entre [0^◦; 90^◦].

• Le quadrant II : angles compris entre [90^◦; 180^◦].

• Le quadrant III : angles compris entre [180^◦; 270^◦].

• Le quadrant IV :angles compris entre [270^◦; 360^◦].

O 0^◦

90^◦

180^◦

270^◦

I II

III IV

+

−

2 Angle orienté

2.1 Définition

Un angle orienté de sommetOest un couple de 2 demi-droite de même origine ([OA; [OB).

Les deux demi-droite sont appelées les côtés de l’angle.

O A

B α +

On distingue deux sens :

• le sens positif ou trigonométrique qui est le sens contraire aux aiguilles d’une montre

• le sens négatif qui est le sens dans lequel tournent les aiguilles d’une montre.

Angle Orienté - Définition

2.2 Angle orienté et cercle trigonométrique

Sur le cercle trigonométrique, on trace nos angles d’amplitude positive à partir de l’axe Ox comme ci-dessous et en tournant dans le sens anti-horloger. Par exemple, la figure suivante montre un angle de 45^◦.

O x

y

M α

Similairement, on trace nos angles d’amplitude positive à partir de l’axe Ox comme ci-dessous et en tournant dans le sens anti-

horloger. Par exemple, la figure suivante montre un angle de−45^◦. O x y

M

−α

2.3 Mesure principale

Remarquons que plusieurs amplitudes déterminent le même point sur le cercle trigonométrique.

Ainsi, le point M déterminant un angle α détermine également l’angleα−360^◦, α+ 360^◦, etc.

La mesure principale d’un angle est son amplitude comprise dans [0^◦; 360^◦[

O x y

M

.

2.4 Angles associés

Deux angles sontopposéssi leur somme est égale à 0. Les angles α et−α sont opposés.

Angles opposés

O x

y

α

−α

Deux angles sont complémen- tairessi leur somme est un angle droit. Les angles α et 90^◦ − α sont complémentaires.

Angles complémentaires

O x

y

α

90^◦−α

Deux angles sont supplémen- tairessi leur somme est un angle plat. Les anglesα et 180−α sont supplémentaires.

Angles supplémentaires

O x

y

α 180^◦−α

Deux angles sont anti- complémentaires si la valeur absolue de leur différence est un angle droit. Les angles α et 90 + α sont anticomplémentaires.

Angles anti-complémentaires

O x

y

α 90^◦+α

Deux angles sont anti-

supplémentaires si la valeur ab- solue de leur différence est un angle plat. Les angles α et 180 + α sont anti-supplémentaires.

Angles anti-supplémentaires

O x

y

α

180^◦+α

3 Sinus et cosinus d’un angle orienté

Soit M un point du cercle trigonométrique et α une mesure de l’angle orienté (i,OM).

• lecosinus de α, noté cosα, est l’abscisse de M.

• lesinus de α, noté sinα, est l’ordonnée deM. d’une montre.

O x

y

M(cosα; sinα) α

cosα sinα

Sinus et Cosinus d’un angle orienté - Définition

3.1 Angles remarquables

α 0^◦ 30^◦ 45^◦ 60^◦ 90^◦

sinα 0 1

2

√2 2

√3

2 1

cosα 1

√3 2

√2 2

1

2 0

O x

y

45^◦

√ 2 2

√2 2

30^◦

√ 3 2 1

2

60^◦

1 2

√ 3 2

3.2 Formule fondamentale

La relation fondamentale traduit le fait que quelque soit l’engle α, la distance du centre O du cercle au pointM représentant cet angle, vaut 1. Cette relation est valable pour n’importe quel angle.

Soit M un point du cercle trigonométrique et α une mesure de l’angle orienté (i,OM) : sin²α+ cos²α= 1

Relation Fondamentale - Propriété

Démonstration

O i

j

x y

M

M⁰ 1

α

Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore au triangleOM M⁰rectangle enM⁰ :

kOM⁰k²+kM M⁰k² =kOMk² (cosα)²+ (sinα)² = 1

sin²α+ cos²α= 1

3.3 Propriétés

Pour tout réel x :

• −1cosx1

• −1sinx1

• cos²x+ sin²x= 1

3.4 Signe du sinus et du cosinus

3.4.1 Variation en fonction des quadrants

Cosinus Sinus

+

O x

y

I II

III IV O x

y

I II

III IV

−

O x

y

I II

III IV O x

y

I II

III IV

3.4.2 Exemples du deuxième, troisième et quatrième quadrant

Comparons la représentation sur le cercle trigonométrique de l’angle α = 60^◦ avec les angles suivants :

• α= 120^◦ = (180^◦−60^◦), angle du quadrant II.

• α= 240^◦ = (180^◦+ 60^◦), angle du quadrant III.

• α= 300^◦ = (360^◦−60^◦), angle du quadrant IV. O x

y M

(cos 60^◦;sin 60^◦)

60^◦

O x

y M

(−cos 60^◦;sin 60^◦)

120^◦

Dans le quadrant II, nous avons bien :

• cosα négatif (−)

• sinα positif (+)

O x

y

M (−cos 60^◦;−sin 60^◦)

240^◦

Dans le quadrant III, nous avons bien :

• cosα négatif (−)

• sinα négatif (−)

O x

y

M

(cos 60^◦;−sin 60^◦) 300^◦

Dans le quadrant IV, nous avons bien :

• cosα positif (+)

• sinα négatif(−)

3.4.3 Appliqués aux valeurs remarquables

Si nous généralisons aux valeurs remarquables, nous avons

O x

y

√ 2 2

−√ 2 2

√2 2

−√ 2 2

45^◦ 135^◦

225^◦ 315^◦

√ 3 2

−√ 3 2

1 2

−1 2

30^◦ 150^◦

210^◦ 330^◦

√3 2

−√ 3 2

1 2

−1 2

60^◦ 120^◦

240^◦ 300^◦

4 Tangente d’un angle orienté

La tangente d’un angle correspond à la pente de la droite reliant l’origine au point déterminant l’angle. On peut en déduire que la tangente d’un angle est l’ordonnée de l’intersection entre la droite définissant l’angle et la droite d’équation d≡ x = 1.

O

x y

A

A⁰ B

B⁰ α

d

(1;tanα)

Il est à noter que si α = 90^◦ ou α = 270^◦ le point B n’existe pas, car dans ce cas, les droitesOA et d sont parallèles.

Tangente d’un angle orienté - Définition

Démonstration

Par les triangles semblables, nous avons : kBB⁰k

kAA⁰k = kOB⁰k kOA⁰k

CommekOB⁰k= 1, kOA⁰k= cosα et kAA⁰k= sinα, nous avons : kBB⁰k

sinα = 1

cosα ⇔ kBB⁰k= sinα

cosα = tanα

4.1 Angles remarquables

α 0^◦ 30^◦ 45^◦ 60^◦ 90^◦

tanα 0

√3

3 1 √

3 @

O x

y d

(1;tan 45^◦) = (1,1)

45^◦

√2 2

√ 2 2

(1;tan 30^◦) = (1,

√3 3 ) 30^◦

√3 2 1

2

(1; tan 60^◦) = (1,√ 3)

60^◦

1 2

√ 3 2

(1; tan 0) = (1,0)

4.2 Formule fondamentale

sin²α+ cos²α = 1 peut se réécrire de la manière suivante : cos²α

cos²α + sin²α

cos²α = 1 cos²α 1 + sin²α

cos²α = 1 cos²α 1 + tan²α = 1

cos²α

Soit M un point du cercle trigonométrique et α une mesure de l’angle orienté (i,OM) : 1 + tan²α= 1

cos²α

Relation Fondamentale - Propriété

4.3 Signe de la tangente

4.3.1 Variation en fonction des quadrants

+ −

O x

y

I II

III IV O x

y

I II

III IV

4.3.2 Exemples du deuxième, troisième et quatrième quadrant

Comparons la représentation sur le cercle trigonométrique de l’angle α = 60^◦ avec les angles suivants :

• α= 120^◦ = (180^◦−60^◦), angle du quadrant II.

• α= 240^◦ = (180^◦+ 60^◦), angle du quadrant III.

• α= 300^◦ = (360^◦−60^◦), angle du quadrant IV. O x

y M

(cos 60^◦;sin 60^◦)

60^◦

O

d x y

M

120^◦

M⁰ (1;−tanα) Dans le quadrant II, nous avons bien :

• tanα négatif (−)

O

d x y

M

240^◦ M⁰ (1;tanα)

Dans le quadrant III, nous avons bien :

• tanα positif (+)

O

d x y

M 300^◦

M⁰ (1;−tanα) Dans le quadrant IV, nous avons bien :

• tanα négatif(−)

4.3.3 Appliqués aux valeurs remarquables

Si nous généralisons aux valeurs remarquables, nous avons

O x

y

d

(1;tan 45^◦) = (1;tan 225^◦) = (1,1)

(1;tan 315^◦) = (1;tan 134^◦) = (1,−1)

√2 2

−√ 2 2

√ 2 2

−√ 2 2

45^◦ 135^◦

225^◦ 315^◦

(1;tan 30^◦) = (1;tan 210^◦) = (1,

√3 3 )

(1;tan 330^◦) = (1;tan 330^◦) = (1,−√ 3 3 )

√3 2

−√ 3 2

1 2

−1 2

30^◦ 150^◦

210^◦ 330^◦

√3 2

−√ 3 2

1 2

−1 2

60^◦ 120^◦

240^◦ 300^◦

(1; tan 60^◦) = (1; tan 240^◦) = (1,√ 3)

(1; tan 60^◦) = (1; tan 240^◦) = (1,−√ 3) (1; tan 0) = (1; tan 180) = (1,0)

5 Cotangente d’un angle orienté

La cotangente d’un angle correspond à l’abscisse du point d’intersection de la droite d≡y= 1 avec la droite définissant l’angle α.

O

x y

A A⁰

B⁰ B

α d

(1;cotα)

Il est à noter que si α = 0^◦ ou α = 180^◦ le point B n’existe pas, car dans ce cas, les droitesOA et d sont parallèles.

Cotangente d’un angle orienté - Définition

5.1 Formule fondamentale

sin²α+ cos²α = 1 peut se réécrire de la manière suivante : cos²α

sin²α + sin²α

sin²α = 1 sin²α cos²α

sin²α + 1 = 1 sin²α cot²α+ 1 = 1

sin²α

Soit M un point du cercle trigonométrique et α une mesure de l’angle orienté (i,OM) : cot²α+ 1 = 1

sin²α

Relation Fondamentale - Propriété