Institut Saint Dominique
Mathématiques 5ième secondaire 2 Périodes/Semaine
Croissance de Fonctions
Anouchka PLAS
2019-2020
Table des matières
1 Pourcentage, Fractions et Nombres Décimaux 3
1.1 Écrire un pourcentage sous forme de fraction . . . 3
1.2 Écrire une fraction sous forme de pourcentage . . . 3
1.3 Écrire un pourcentage sous forme de nombre décimal . . . 3
1.4 Écrire un nombre décimal sous forme de pourcentage . . . 3
2 Taux de Croissance Algébrique d’une Fonction 4 2.1 Majoration et Minoration d’un Pourcentage . . . 4
2.2 Combinaison de Différents Taux d’Accroissements . . . 4
2.3 Taux de Croissance Exponentiel . . . 5
2.4 Taux de Croissance Moyen . . . 5
3 Taux de Croissance Graphique d’une Fonction 6 3.1 Croissance d’une Fonction . . . 6
3.2 Décroissance d’une Fonction . . . 6
4 Fonctions de Références et Croissance 7 4.1 Fonction Constante f(x) = k. . . 7
4.2 Fonction Identité f(x) =ax+b . . . 7
4.3 Fonction Carré f(x) = kx2 . . . 7
4.4 Fonction Cube f(x) =kx3 . . . 8
4.5 Fonction Inverse f(x) = xk . . . 9
4.6 Fonction Exponentiellef(x) =ax . . . 10
5 Exercices 11
Introduction
Dans ce chapitre, on étudie le mode de croissance de diverses fonctions à travers divers contextes, principalement celui de l’économie : évolution des prix, des coûts de production, du bénéfice, du prix unitaire...
Néanmoins, on s’intéressera également à la croissance de bactéries, au temps d’action d’un médicament, à la propagation d’une épidémie, à la fréquentation d’une piscine, de salles de sports, de concerts, etc.
1 Pourcentage, Fractions et Nombres Décimaux
Avant toute chose, faisons un bref rappel sur les pourcentages ainsi que sur les écritures frac- tionnaires et décimales.
Un nombre décimal peut être écrit sous forme de pourcentage ou sous forme de fraction. Par exemple voici les trois écritures de 0,5 :
Pourcentage Fraction Décimal
50% 12 0,5
1.1 Écrire un pourcentage sous forme de fraction
Comment écrire 15% sous forme d’une fraction irréductible ? 15% = 15
100 = 15÷5 100÷5 = 3
20
1.2 Écrire une fraction sous forme de pourcentage
Comment écrire 35 sous forme de pourcentage ? Il faut tout simplement trouver la fraction de dénominateur 100 égale à 35. Pour cela il faut chercher par quel nombre il faut multiplier 5 pour obtenir 100 :
5×?= 100 La réponse est 100÷5 = 20car :
5×20= 100 La fraction 35 est égale à :
3
5 = 3×20 5×20 = 60
100 = 60%
1.3 Écrire un pourcentage sous forme de nombre décimal
Comment écrire 8% sous la forme d’un nombre décimal ? 8% = 8
100 = 0,08
1.4 Écrire un nombre décimal sous forme de pourcentage
Comment écrire 0,05 sous la forme d’un pourcentage ? 0,05 + 5
100 = 5%
2 Taux de Croissance Algébrique d’une Fonction
Pour déterminer le taux de croissance moyen dune fonction, nous avons besoin de revoir les notions de majoration et minoration d’un pourcentage, ainsi que la combinaison des taux d’ac- croissements sur plusieurs périodes.
2.1 Majoration et Minoration d’un Pourcentage
Si une quantité passe de 100 à 150, elle a augmenté de 50%.
Au lieu de se demander "combien de % on a ajouté", on peut aussi se demander "par combien la quantité de départ a été multipliée". Ainsi, un nombre qui augmente de 50% est multiplié par 1,5 = 1 + 0,5 .
Taux Nombre Décimal
Associé Coefficient Multiplicateur
Augmenter de 50% +0,5 revient à être multiplié par 1,5 = 1 + 0,5 Diminuer de 50% −0,5 revient à être multiplié par 0,5 = 1−0,5
Augmenter de 20% +0,2 revient à être multiplié par 1,2 = 1 + 0,2 Diminuer de 20% −0,2 revient à être multiplié par 0,8 = 1−0,2
Augmenter de 3% +0,03 revient à être multiplié par 1,03 = 1 + 0,03 Diminuer de 3% −0,03 revient à être multiplié par 0,97 = 1−0,03
Augmenter de 200% +2 revient à être multiplié par 3 = 1 + 2
2.2 Combinaison de Différents Taux d’Accroissements
Que se passe-t-il si on augmente un salaire de 3% cette année, de 5% l’année prochaine et s10%
l’année d’après. Au bout de la troisième année, le salaire sera-t-il augmenté de 3%+5%+10% = 18% ?
Salaire initial Après 1 an Après 2 ans Après 3 ans
1000 = 1000×1,03 = 1000×1,03×1,05 = 1000×1,03×1,05×1,1
= 1030 = 1081,5 = 1189,65
x =x×1,03 =x×1,03×1,05 =x×1,03×1,05×1,1
= 1,03×x = 1,0815×x = 1,18965×x
Au total, le salaire a été multiplié par 1,18965. Cela équivaut à dire que l’augmentation totale a été de 1,18965−1 = 0,18965 = 18,965%. Ce n’est pas loin de 18%, mais c’est tout de même
différent ! On retiendra :
Pour connaître le coefficient multiplicateur total au bout de plusieurs périodes successives, il faut multiplier entre eux les coefficients successifs.
Coefficient Multiplicateur Total
2.3 Taux de Croissance Exponentiel
Il y a néanmoins un cas particulier qui vaut la peine d’être mentionné.
Si le taux de croissance est le même tous les ans, on appelle cela unecroissance exponentielle.
Le taux de croissance total peut être obtenu comme suit : Taux de
crois- sance annuel
Coefficient multiplicateur annuel
Coefficient multiplicateur au bout de 4 ans
Taux de croissance total au bout de 4 ans
5% ×1,05 = 1,05×1,05×1,05×1,05 = 1,22 22%
t% ×1 + 100t ×1 + 100t 4
1 + 100t 4−1
%
2.4 Taux de Croissance Moyen
Le taux de croissance annuel moyen est le taux unique, qui appliqué pendant les n années, a le même effet que a croissance cumulée des différentes années.
Taux de croissance annuels successifs
Coefficient multiplicateur au bout de 4 ans
Coefficient multi- plicateur moyen
Taux de crois- sance moyen
5% ; 7% ; 4% ; 6% = 1,05×1,07×1,04×1,06 = 1,23854
√4
1,23854 = 1,055 5,5%
3 Taux de Croissance Graphique d’une Fonction
Comment peut-on décrire l’allure d’une fonction, repérer son mode de croissance ?
Les graphiques ci-dessous montrent comment on repère des accroissements constants entre des abscisses successives et comment on s’y prend pour voir les accroissements des ordonnées correspondantes. C’est ainsi que l’on décrit l’allure d’une fonction.
3.1 Croissance d’une Fonction
x y
1
1 x
y
1
1 x
y
1 1
Croît de manière régulière Croît de moins en moins vite Croît de plus en plus vite
3.2 Décroissance d’une Fonction
x y
1
1 x
y
1
1 x
y
1 1
Décroît de manière régulière Décroît de moins en moins vite Décroît de plus en plus vite
4 Fonctions de Références et Croissance
L’année dernière, on a étudié un petit catalogue de fonctions de référence. Nous rappelons ici leurs propriétés.
4.1 Fonction Constante f (x) = k
x y
1 1
Expression analytique : f(x) = k pour k∈R. Ici, k= 2.
Domaine :R
Ensemble-image :{k}. Ici,{2}.
Racines: aucune sik 6= 0, tous les nombres réels sik = 0. Ici, aucune.
Croissance: x
f(x) = k Croissance nulle Propriétés
4.2 Fonction Identité f (x) = ax + b
Cas 1 : a >0
x y
1 1
Expression analytique:f(x) =ax+b.Ici, f(x) = 2x+ 3.
Domaine :R
Ensemble-image :R Racines: −ba . Ici,{−32 }.
Croissance: x
f(x) =ax+b % % % Croissance régulière
Propriétés
Cas 2 : a <0
x y
1 1
Expression analytique:f(x) =ax+b.Ici, f(x) =−2x+ 3.
Domaine :R
Ensemble-image :R Racines: −ba . Ici,{32}.
Croissance: x
f(x) =ax+b & & &
Décroissance régulière Propriétés
4.3 Fonction Carré f (x) = kx
2Cas 1 : k > 0
x y
1 1
Expression analytique: f(x) = kx2. Ici, f(x) = x2. Domaine :R
Ensemble-image: R+
Racines: Utiliser ∆. Ici, {0}.
Croissance:
x 0
f(x) = kx2 % 0 &
avec décroît min croît
k > 0 de −en − vite de + en +vite Propriétés
Cas 2 : k < 0
x y1
1 Expression analytique:f(x) =kx2.Ici,f(x) = −x2. Domaine :R
Ensemble-image: R−
Racines: Utiliser ∆. Ici, {0}.
Croissance:
x 0
f(x) =kx2 % 0 &
avec croît max décroît
k <0 de − en− vite de + en +vite Propriétés
4.4 Fonction Cube f (x) = kx
3Cas 1 : k > 0
x y
1 1
Expression analytique: f(x) = kx3. Ici, f(x) = x3. Domaine :R
Ensemble-image: R
Racines: Utiliser Horner. Ici, {0}.
Croissance:
x 0
f(x) = kx3 % 0 %
avec croît min croît
k > 0 de −en − vite de + en +vite Propriétés
Cas 2 : k < 0
x y
1 1
Expression analytique:f(x) =kx3.Ici,f(x) = −x3. Domaine :R
Ensemble-image: R
Racines: Utiliser Horner. Ici, {0}.
Croissance:
x 0
f(x) =kx3 & 0 &
avec décroît max décroît
k <0 de − en− vite de + en +vite Propriétés
4.5 Fonction Inverse f (x) =
kxCas 1 : k > 0
x y
1 1
Expression analytique: f(x) = kx. Ici, f(x) = x1. Domaine :R0
Ensemble-image: R0
Racines: Pas de racines.
Croissance:
x 0
f(x) = kx & &
avec décroît @ décroît
k >0 de + en + vite de −en −vite Cette fonction change de signe sans avoir de racines.
Propriétés
Cas 2 : k < 0
x y
1 1
Expression analytique: f(x) = kx. Ici, f(x) = −1x . Domaine :R0
Ensemble-image: R0 Racines: Pas de racines.
Croissance:
x 0
f(x) = kx % %
avec croît @ croît
k <0 de + en + vite de −en − vite Cette fonction change de signe sans avoir de racines.
Propriétés
4.6 Fonction Exponentielle f (x) = a
xCas 1 : a >1
x y
1 1
Expression analytique: f(x) = ax.Ici, f(x) = 2x. Domaine :R
Ensemble-image: R+0
Racines: Aucune.
Croissance: x
f(x) = ax %
avec croît
a >1 de + en +vite Propriétés
Cas 2 : 0< a <1
x y
1 1
Expression analytique: f(x) = ax.Ici, f(x) = (12)x. Domaine :R
Ensemble-image: R+0
Racines: Aucune.
Croissance: x
f(x) = ax &
avec décroît
à< a <1 de + en +vite Propriétés
5 Exercices
Exercice 0
Écris :
1. 44%, sous forme d’une fraction irréductible.
2. Écrire la fraction 12
25 sous forme de pourcentage.
3. 4% sous la forme d’un nombre décimal.
4. 0,14 sous forme de pourcentage.
5. 0,3 sous forme de pourcentage.
6. 0,82 sous forme de pourcentage.
Exercice 1
Calcule :
1. 18% de 350.
2. 32% de 500.
3. 20,6% de 1200.
Exercice 2
Donne les coefficients multiplicateurs associés à : 1. une augmentation de 7%.
2. une diminution de 12%.
3. une augmentation de 0,3%.
4. une augmentation de 43%.
5. une diminution de 5%.
6. une diminution de 0,25%.
Exercice 3
Donne la variation en pourcentage associée aux coefficients multiplicateurs : 1,12; 1,035; 0,977; 1,72; 0,23; 0,75; 2,54; 0,9995 .
Exercice 4
Lors d’une enquête auprès de jeunes (18-25 ans) on a interrogé 700 garçons et 1100 filles sur leur soirée du réveillon 2020 On a obtenu les réponses suivantes :
Pour les garçons 4% ont passé le réveillon chez leurs parents, 20% ont passé le réveillon au restaurant, tous les autres ont passé le réveillon chez des amis.
Pour les filles 18% ont passé le réveillon chez leurs parents, 30% ont passé le réveillon au res- taurant, toutes les autres ont passé le réveillon chez des amis.
1. Reproduis et complètele tableau suivant :
XXXX
XXXX
XXXX
Réveillon
Sexe Garçons Filles Total
A la maison Au resstaurant
Chez des amis
Total 700 1100
2. Calcule le pourcentage des garçons ayant passé le réveillon chez des amis.
Calcule le pourcentage des filles ayant passé le réveillon chez des amis.
3. Calcule le pourcentage de jeunes ayant passé le réveillon chez leurs parents.
4. Il y a 20% des garçons et 30% des filles qui ont passé le réveillon au restaurant.
Identifie si, en faisant la moyenne, on peut affirmer que 25% des jeunes ont passé le réveillon au restaurant.
Exercice 5
La sécurité sociale rembourse aux assurés une partie du prix de leurs médicaments en utilisant certains pourcentages :
• Médicaments "de confort" : remboursement de 35%
• Médicaments "normaux" : remboursement de 65%
• Médicaments "coûteux" : remboursement de 100%
Calcule le montant des remboursements sur les médicaments dont les prix sont les suivants :
Type de médicament Prix Remboursement 6,40 e
Catégorie "de confort" 3,20 e 32 e 2,40 e Catégorie "normaux" 10,60 e
32 e 50,50 e Catégorie "coûteux" 22,20 e
32 e
Exercice 6
Lorsqu’il va chez son cardiologue M. X paye 23e pour la consultation. 70% de ce montant lui est remboursé par la sécurité sociale. Sur le montant restant à sa charge après remboursement de la sécurité sociale, sa mutuelle lui rembourse 80%.
Calcule quel est le pourcentage du prix de la consultation qu’il a finalement payé.
Exercice 7
Une entreprise a 8 employés, dont les salaires mensuels en euros sont donnés dans le tableau suivant. Elle décide de donner à chacun de ses employés une prime correspondant à 12% de son salaire mensuel.
Complètele tableau suivant en donnant pour chaque employé le montant de sa prime.
Salaire 990 1100 1245 1260 1750 1900 2390 2750
Prime
Même question avec une prime de 14,5%.
Salaire 990 1100 1245 1260 1750 1900 2390 2750
Prime
Exercice 8
Une entreprise a 8 employés, dont les salaires bruts mensuels sont donnés dans le tableau suivant. Chaque employé paye une cotisation pour la retraite. Cette cotisation est égale à 7,85% du salaire brut.
Complètele tableau suivant (les résultats seront arrondis au centime d’euro le plus proche).
Salaire en e 990 1100 1245 1260 1750 1900 2390 2750 Cotisation retraite
Exercice 9
Les livres sont soumis, en Belgique, à une TVA de 5,5% de leur prix HT.
Reproduis etcomplètele tableau suivant. (Pour chaque produit le prix TTC, correspond au prix HT augmenté de la TVA). Les résultats seront arrondis au centime d’euro le plus proche.
Prix HT en e 8,53 16,11 4,27 8,53 14,69 6,35
Prix TTC en e 18 40,50
Exercice 10
Sur une facture d’achat de livres, on trouve la mention suivante : Récapitulatif TVA
Base TTC en e Taux TVA Montant TVA en e
19,55 5,50% 1,02
Justifie le montant de la TVA.
Exercice 11
Sur un ticket de distributeur d’essence on trouve la mention suivante :
Carburant Volume Prix à payer dont TVA 19,6%
SP95 23,21 L 158,75 e 26,02e
1. Identifie quel est le prix au litre du SP 95.
2. Justifie le montant de la TVA
Exercice 12
On a placé 10000een bourse lundi soir. La bourse monte de 12% le mardi, puis baisse de 11%
le mercredi.
1. Identifie si on retire l’argent placé le jeudi matin, le résultat du placement est-il positif, négatif ou nul.
2. Même question si la bourse baisse de 11% le mardi et augmente de 12% le mercredi.
Exercice 13
On dépose 10000esur un compte d’épargne rémunéré à 4,75% par an. Tous les ans les intérêts s’ajoutent au capital (intérêts composés).
1. Calcule le montant dont on dispose au bout d’un an, de deux ans, de trois ans, de dix ans.
2. Calcule au bout de combien d’année le capital a-t-il doublé.
Exercice 14
Promotion sur les petits pois : −20% sur le prix marqué.
La boîte est marquée 1,15e. Calcule combien vais-je la payer.
Exercice 15
Votre voiture à crédit : Payez 20% seulement aujourd’hui.
Votre voiture d’occasion : 40% moins cher.
Votre voiture climatisée : 5% de plus seulement.
Mon choix se porte sur une voiture dont le prix neuf est 12520e.
Calcule quel est le montant du versement que je vais faire dans chacun des cas.
Exercice 16
Une classe de 31 élèves comporte 14 garçons et 17 filles.
Calcule quel est le pourcentage de garçons et quel est le pourcentage de filles.
Exercice 17
Ma facture d’eau est passée de 295e à 212e. 1. Exprime cette variation en pourcentage.
2. Même question si ma facture est passée de 212e à 295e.
Exercice 18
Sur une tablette de 200g de chocolat, il est écrit : Noisettes : 15% ; Raisins secs : 12% ; Cacao : 32%.
Calcule la masse de noisettes, la masse de raisins et la masse de cacao dans cette tablette.
Exercice 19
Répons par vrai ou faux :
• Augmenter un nombre de 100% revient à le multiplier par 2.
• Multiplier un nombre par 14 revient à le diminuer de 25%.
• Diminuer un nombre de 50% revient à le multiplier par 12.
• Diminuer un nombre de 100% revient à le diviser par 2.
• Multiplier un nombre par 2 revient à l’augmenter de 200%
Exercice 20
Lorsque sa température passe de 10◦C à 40◦C , une barre métallique augmente en longueur de 0,15% (dilatation). On appelle l, la longueur de la barre à la température de 10◦C etl0, la longueur de la barre à la température de 40◦C.
1. Calcule quel est le coefficient multiplicateur associé à cette dilatation.
2. Calcule les différentes longueursl0 en complétant le tableau suivant :
Longueur l à 10◦C 100 15 47 153 240 325
Longueur l0 à 40◦C
Exercice 21
Dans un pays A l’inflation est de : 18% en janvier ; 32% en février ; 23% en mars ; 41% en avril ; 16% en mai ; 18% en juin
Calcule quelle a été l’évolution sur 6 mois.
Exercice 22
Une entreprise signe un accord salarial, prévoyant une augmentation des salaires de ses em- ployés de 7,5% par an pendant 10 ans.
1. Si un employé a un salaire mensuel de 1500e.
Calcule quel sera son salaire mensuel après 1 an ? après 2 ans ? après 3 ans ? 2. Si un employé a un salaire mensuel deSe.
Calcule quelle est en pourcentage l’augmentation obtenue par un employé au bout de 2 ans ? au bout de 5 ans
Exercice 23
Sur une voiture de 20000 e est-il préférable de choisir :
• une réduction de 10% suivie d’une réduction de 6%
• une réduction de 6% suivie d’une réduction de 10%
• une réduction de 8% suivie d’une réduction de 8%
• une réduction de 16% ;
Même question sur une voiture de prix P.
