Institut Saint Dominique
Mathématiques 4ième secondaire 5 Périodes/Semaine
Trigonométrie
Anouchka PLAS
Table des matières
1 Cercle trigonométrique 3
1.1 Définition . . . 3
1.2 Quadrants . . . 3
2 Angle orienté 4 2.1 Définition . . . 4
2.2 Angle orienté et cercle trigonométrique . . . 4
2.3 Mesure principale . . . 5
2.4 Angles associés . . . 5
3 Sinus et cosinus d’un angle orienté 6 3.1 Angles remarquables . . . 7
3.2 Propriétés . . . 7
3.3 Signe du sinus et du cosinus . . . 7
Introduction
La trigonométrie étudie l’ensemble des propriétés dans un triangle. Cela ne signifie pas que la seule application de cette discipline se fasse en géométrie, bien que le chapitre se limite d’abord à un exposé sur le plan et particulièrement pour le cercle unité. Le cours donne une grande importance à la notion d’angle, nous la revoyons pour la définir à partir des vecteurs et du cercle trigonométrique. Les ratios trigonométriques sont introduits à l’aide des théorèmes de Thalès et de Pythagore, nous donnons les résultats pour les angles de référence et les relations les plus classiques. Le chapitre se termine par l’analyse des équations faisant intervenir un cosinus ou un sinus.
1 Cercle trigonométrique
1.1 Définition
Dans le plan muni d’un repère (O;i,j), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi :
• unsens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d’une montre
• unsens indirect, ou sens négatif, sens des aiguilles d’une montre.
O i
j
1 1
+
−
Cercle Trigonométrique - Définition
1.2 Quadrants
Le cercle trigonométrique est divisée en 4 qua- drants :
• Le quadrantI: angles compris entre [0◦; 90◦].
• Le quadrant II : angles compris entre [90◦; 180◦].
• Le quadrant III : angles compris entre [180◦; 270◦].
• Le quadrant IV :angles compris entre [270◦; 360◦].
O 0◦
90◦
180◦
270◦
I II
III IV
+
−
2 Angle orienté
2.1 Définition
Un angle orienté de sommetOest un couple de 2 demi-droite de même origine ([OA; [OB).
Les deux demi-droite sont appelées les côtés de l’angle.
O A
B α +
On distingue deux sens :
• le sens positif ou trigonométrique qui est le sens contraire aux aiguilles d’une montre
• le sens négatif qui est le sens dans lequel tournent les aiguilles d’une montre.
Angle Orienté - Définition
2.2 Angle orienté et cercle trigonométrique
Sur le cercle trigonométrique, on trace nos angles d’amplitude positive à partir de l’axeOx comme ci-dessous et en tournant dans le sens anti-horloger. Par exemple, la figure suivante montre un angle de 45◦.
j i
Similairement, on trace nos angles d’amplitude positive à partir de l’axe Ox comme ci- dessous et en tournant dans le sens anti-horloger. Par exemple, la figure suivante montre un angle de −45◦.
j i
2.3 Mesure principale
Remarquons que plusieurs amplitudes déterminent le même point sur le cercle trigonométrique.
Ainsi, le point P déterminant un angle α détermine également l’angleα−360◦, α+ 360◦, etc.
cos sin
La mesure principale d’un angle est son amplitude comprise dans [0◦; 360◦[.
2.4 Angles associés
Deux angles sontopposéssi leur somme est égale à 0. Les angles α et−α sont opposés.
Angles opposés
O x
y
α
−α
Deux angles sont complémen- tairessi leur somme est un angle droit. Les angles α et 90◦ − α sont complémentaires.
Angles complémentaires
O x
y
α
90◦−α
Deux angles sont supplémen- tairessi leur somme est un angle plat. Les anglesα et 180−α sont supplémentaires.
Angles supplémentaires
O x
y
α 180◦−α
Deux angles sont anti- complémentaires si la valeur absolue de leur différence est un angle droit. Les angles α et 90 + α sont anticomplémentaires.
Angles anti-complémentaires
O x
y
α 90◦+α
Deux angles sont anti-
supplémentaires si la valeur ab- solue de leur différence est un angle plat. Les angles α et 180 + α sont anti-supplémentaires.
Angles anti-supplémentaires
O x
y
α 180◦+α
3 Sinus et cosinus d’un angle orienté
Soit M un point du cercle trigonométrique et xune mesure de l’angle orienté (i,OM).
• lecosinus de x, noté cosx, est l’abscisse de M.
• lesinus de x, noté sinx, est l’ordonnée deM. d’une montre.
O i
j
M x
cosx sinx
Sinus et Cosinus d’un angle orienté - Définition
3.1 Angles remarquables
x 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
sinx 0 1
2
√2 2
√3
2 1
cosx 1
√3 2
√2 2
1
2 0
O i
j
45◦
√ 2 2
√2 2
30◦
√ 3 2 1
2
60◦
1 2
√ 3 2
3.2 Propriétés
Pour tout réel x :
• −1cosx1
• −1sinx1
• cos2x+ sin2x= 1
3.3 Signe du sinus et du cosinus
Cosinus Sinus
+
O x
y
I II
III IV
O x
y
I II
III IV
−
O x
y
I II
III IV
O x
y
I II
III IV
Ce qui donne pour les angles remarquables :
O i
j
√2 2
−√ 2 2
√2 2
−√ 2 2
45◦ 135◦
225◦ 315◦
√3 2
−√ 3 2
1 2
−1 2
30◦ 150◦
210◦ 330◦
√ 3 2
−√ 3 2
1 2
−1 2
60◦ 120◦
240◦ 300◦
