4 Produit de formes modulaires

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

Loïc Merel

Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris-Diderot, UFR de Mathématiques, case 7012, 2 place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France [email protected]

À Yuri Ivanovich Manin à l'occasion de son soixante-dixième anniversaire

1 Introduction

1.1 Les symboles de Manin

SoitN un entier> 0. Soit f une forme modulaire parabolique de poids k = 2 pour le groupe de congruenceΓ1(N). Dans [10], Y. Manin lui associe une fonction ξf : (Z/NZ)² →C dont les valeurs sont les symboles de Manin def. Cette fonction est dénie ainsi.

Soit (u, v) ∈ (Z/NZ)². On pose ξ_f(u, v) = 0 si (u, v) n'est pas d'ordre N dans le groupe additif (Z/NZ)². Sinon on considère une matrice g = a b

c d

∈SL₂(Z)telle que (c, d)∈(u, v)et on pose

ξf(u, v) =−i Z g∞

g0

f(z)dz,

où l'intégrale est prise le long d'un chemin continu du demi-plan de Poincaré.

L'applicationf 7→ξf est injective. On peut même être plus précis. Si on pose ξ⁺_f(u, v) = (ξf(u, v) +ξf(−u, v))/2 et ξ_f⁻(u, v) = (ξf(u, v)−ξf(−u, v))/2, les applicationsf 7→ξ_f⁺ etf 7→ξ⁻_f sont injectives [10].

Rappelons en quoi cette construction est utile à l'étude des symboles mo- dulaires : elle a notamment permis a Manin d'établir sa loi de réciprocité [10, 11, 14] et est souvent le fondement des calculs sur ordinateur concernant les formes modulaires (voir [5] et les tables de W. Stein).

Par ailleurs, les expressions (si utiles en vue de construire des fonctionsL p-adique, d'établir des théorèmes de non-annulation...) en termes de symboles modulaires des valeurs ens= 1des fonctions Ldes tordues def ne font pas

intervenir les symboles de Manin. C'est à ce lien manquant que fait référence notre titre. Notre objectif est, en réalité, inverse de ce qui est obtenu par la démarche classique : lorsque f est une forme primitive (i.e. propre pour l'algèbre de Hecke, nouvelle et normalisée), nous exprimons les symboles de Manin def purement en termes des fonctionsLdes torduesf. Nous verrons même qu'il sut de tordref par des caractères de niveaux divisantN. 1.2 Analyse de Fourier multiplicative

Supposons désormaisf primitive de niveauN. Nous calculons la transfor- mée de Fourier multiplicative deξf en le sens suivant.

Pour tout entier m ≥ 1, on note Σ_m le support de m dans l'ensemble des nombres premiers. Supposons (u, v) ∈ (Z/NZ)² d'ordre N. Notons N⁰ l'ordre deuv dansZ/NZ. Soit S un sous-ensemble de Σ_N contenant le sup- port de u mais disjoint du support de v. Posons S¯ = Σ_N −S. On identie (Z/NZ)à∪_d|N(Z/dZ)^∗(parw7→wN_w⁰ /N (modN_w⁰), oùN_w⁰ est l'ordre de wdans(Z/NZ)). Les images de uet v par cette identication sontuN_S⁰/N_S et vN_S⁰_¯/NS¯ respectivement ; les entiers NS/N_S⁰ et NS¯/N_S⁰_¯ ne dépendent pas du choix deS. Toute fonctionξ: (Z/NZ)²→C s'écrit sous la forme

ξ(u, v) =X

α,β

c_α,βα(N_S⁰_¯v/NS¯)β(N_S⁰u/N_S),

oùcα,βdépend seulement deξ,α,βetN⁰et oùαetβparcourent les caractères de Dirichlet primitifs de niveaux divisantN⁰. Le théorème 1 donne une forme explicite aux coecientscα,β lorsqueξ=ξf.

Soitχun caractère de Dirichlet de conducteur à support dansΣN. Notons f⊗χla forme primitive dont lep-ième coecient de Fourier estap(f)χ(p)(p nombre premier ne divisant pas N). Notons Nχ le niveau de f⊗χ. Notons L(f ⊗χ, s) la fonction L de f ⊗χ. Elle admet un développement en série de DirichletP∞

n=1a_n(f⊗χ)/n^set en produit eulerienQ

pL_p(f⊗χ, p^−s), où L_p(f⊗χ, X) = 1/(1−a_p(f⊗χ)X+a_p,p(f⊗χ)p^k−1X²)(pnombre premier) ; on complète ce produit pour former

Λ(f ⊗χ, s) = (2π)^−sΓ(s)N_χ^s/2L(f⊗χ, s).

On pose ap = ap(f) et ap,p = ap,p(f). Notons ψ le caractère de Dirichlet vériant ψ(p) = ap,p(f) (p nombre premier ne divisant pas N). On pose f¯=f⊗ψ¯, et on aan( ¯f) = ¯an(f)(nentier≥1).

LorsqueT⁺et T⁻ sont des ensembles nis de nombres premiers, on prive Λ(f ⊗χ, s)de certains facteurs d'Euler en posant

Λ^[T+,T−](f⊗χ, s) = Λ(f⊗χ, s) Q

p∈T⁺L_p(f⊗χ, p^−s)Q

p∈T⁻L_p( ¯f⊗χ, p¯ ^s−k). Lorsque R⁺ etR⁻ sont des sous-ensembles de T⁺ et T⁻ respectivement, on pose

Λ^[T

+ R+,^T−

R−]

(f⊗χ, s) = Λ^{[T+−R+,T−−R−]}(f⊗χ, s) Q

p∈R⁺L_p(f ⊗χ, p^−s−1Q

p∈R⁻L_p( ¯f⊗χ, p¯ ^s−k+1). Nous dirons que les nombres premiers pqui vérient v_p(N) = 1 (où v_p est la valuation p-adique) et ψ non ramié en p sont spéciaux pour f (ils cor- respondent aux représentations spéciales deGL₂(Q_p)). NotonsΣ_f l'ensemble des nombres premiers spéciaux pourf. Le cas qui nous intéressera est le cas oùR⁺ et R⁻ sont composés de nombres premiers spéciaux pour f.

Pour S sous-ensemble de ΣN et M nombre entier ≥ 1 de support ΣM ⊂ ΣN, posons M = MSMS¯ où MS et MS¯ sont à supports dans S et S¯ respectivement. On pose S(M) = ΣM ∩S et S(M¯ ) = ΣM ∩S¯. On note wS( ¯f⊗χ)la pseudo-valeur propre def¯⊗χ pour l'opérateur d'Atkin-Lehner associé à S (voir [1] ou la mise au point de la section 2.2). On note de plus w(f⊗χ) =wΣ_N(f ⊗χ); on a

Λ^[T+,T−](f⊗χ, s) =i^kw(f ⊗χ)Λ^[T−,T+]( ¯f⊗χ, k¯ −s).

Pour α caractère de niveau à support dansΣN, on convient de décomposer αsous la forme α=α_SαS¯, oùα_S et αS¯ sont des caractères de Dirichlet de niveaux à supports dansS etS¯respectivement.

Pour p ∈ Σ_N et χ caractère de Dirichlet, notons m_χ le conducteur du caractère primitif associé àχ divisantN et Q_p,f,χ(X)la fraction rationnelle suivante :

Qp,f,χ(X) = (¯app^1−k/2)^vp(N0/mχ) sauf siap= 0,vp(N⁰) = 1etvp(mχ) = 0, auquel cas on a

Qp,f,χ(X) =−¯χ(p)X⁻¹.

Cet objet désagréable dépend dep,ap,χ(p),vp(mχ),ketvp(N⁰); c'est donc un objet local. De plus on noteτ⁰(χ)la somme de Gauss associée au caractère primitif provenant deχ. Notonsφla fonction indicatrice d'Euler.

Théorème 1. On a ξf(u, v) = w(f)

φ(N⁰) X

χ

χS¯(mχ,S)( ¯ψSχ¯S)(mψ¯χ,¯S¯)χS(−1)τ⁰(χS)τ⁰( ¯ψS¯χ¯S¯) pNχ

( Y

p∈S(N⁰)

Q_p,f,¯χ(1))( Y

p∈S(N¯ ⁰)

Q_p,f,χψ(1))( ¯ψS¯χ¯²_S¯)(N_χ,S)w_S(f⊗χ)

Λ^[

ΣN0 −S(mχ)

(S(N0)−S(mχ))∩Σf, ^{ΣN0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯¯χ))∩Σf]

(f⊗χ,1)( ¯ψχ)(¯ N_S⁰_¯v NS¯

)χ(N_S⁰u N_S ), oùχparcourt les caractères de Dirichlet primitifs tels que mχ,Sm_ψχ,S¯|N⁰. La formule analogue pour ξ⁺_f (resp. ξ_f⁻) est obtenue en faisant disparaître les termes pour χ impair (resp. pair).

1.3 Interprétation arithmétique

La formule du théorème 1 est si peu aisément manipulable, si inapte à s'insérer dans le langage naturel, que le lecteur séduit par le point de vue exposé par Manin dans son essai Mathematics as Metaphor [12] pourrait penser qu'elle présente bien peu d'intérêt. Nous espérons que les conséquences qui suivent peuvent eacer cette impression.

Il procède d'un examen superciel du théorème 1 et de l'injectivité des applicationsf 7→ξ_f⁺ etf 7→ξ⁻_f l'énoncé suivant.

Corollaire 1. La forme modulaire f primitive de poids 2pour Γ1(N)est ca- ractérisée par les données suivantes, où on fait parcourir àχles caractères de Dirichlet pairs (resp. impairs) de conducteurs divisantN :

(i) le caractère de f,

(ii) les niveaux des formes primitivesf⊗χ, (iii) les pseudo-valeurs propresw_S(f ⊗χ),

(iv) les facteurs d'Euler Lp(f⊗χ, p^−s), pourp∈ΣN et (v) les nombres complexesΛ(f ⊗χ,1).

Nous sommes donc tentés de voir la fonctionξfcomme une façon commode de comprimer et de manipuler les données(i),(ii),(iii),(iv)et(v).

On pourrait rendre l'énoncé et la démonstration du théorème 1 plus agréables en employant le langage adélique. Les données (i), (ii) (iii) et (iv) sont équivalentes à celles issues des facteurs d'Euler et des facteursassociés aux représentations irréductibles de GL2(Qp) provenant de f après torsion par des caractères deQ^∗_p de conducteur≤vp(N), pourp∈ΣN.

On est tenté de rapprocher le corollaire 1 du théorème de Hecke-Weil [17] sur la caractérisation, par les prolongements analytiques et les équations fonctionnelles, des séries de Dirichlet qui proviennent des formes modulaires, voir la section 3.3. Nous avons à l'esprit tout spécialement la version précise due à W. C. W. Li [8] qui, comme le corollaire 1, ne fait intervenir que les tordues par les caractères de conducteur divisant le niveau N. On précisera dans la section 3.2, comment, à partir deξf, on peut retrouver les invariants (i),(ii),(iii),(iv)et(v)notamment lorsquef est de niveau minimal parmi ses tordues par des caractères de Dirichlet, auquel cas nous essaierons d'indiquer en quoi l'information contenue dansξf est optimale.

Notre travail ne semble pas présenter de lien avec le théorème de Luo et Ramakrishnan [9] qui caractérisef par les nombres complexesL(f⊗χ,1)où χparcourt une innité de caractères quadratiques.

Il résulte du théorème 1 un énoncé de théorie analytique des nombres.

Corollaire 2. Il existe des caractères de Dirichlet χ⁺ et χ⁻, pair et impair respectivement, de conducteurs divisant N et tels que L(f ⊗χ⁺,1) 6= 0 et L(f⊗χ⁻,1)6= 0.

En raison de la modularité des courbes elliptiques [3] et des résultats obte- nus par Kato [6] sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et ses variantes, on obtient des conséquences diophantiennes dont voici l'exemple type.

Corollaire 3. Soit E une courbe elliptique sur Q de conducteur N. Soit Q(µ_N) une extension cyclotomique deQ engendrée par une racine primitive N-ième de l'unité. NotonsQ(µ_N)⁺ le plus grand sous-corps totalement réel deQ(µ_N). La représentation régulière du groupe de Galois Gal(Q(µ_N)⁺/Q) n'intervient pas dans le Gal(Q(µ_N)⁺/Q)-moduleE(Q(µ_N)⁺).

Le lecteur pourra trouver des généralisations du corollaire 3 pour les groupes de Selmer p-adiques des motifs associés aux formes modulaires, en s'appuyant sur [6]. Nous nous demandons s'il existe une direction directe (i.e.

ne faisant pas appel aux formes modulaires) du corollaire 3.

1.4 Perspectives

Comme ξf détermine f, on peut, en principe, exprimer tout invariant associé àf en terme de ξ_f, puis en combinant avec le théorème 1, en terme des données (i), (ii), (iii), (iv)et (v). Ce principe appliqués aux valeurs de fonctionsLconstruites à partir def (via des puissances tensorielles, la torsion par des caractères etc) produirait alors des identités numériques entre valeurs de fonctionsL. Nous donnons un exemple de telles identités dans la section 4.

Dans sa thèse, F. Brunault exprimeL(f,2) en termes desξ_f [4], qu'on peut combiner avec le théorème 1. Y a-t-il une théorie systématique ?

2 Formulaire préliminaire

Cette section consiste en des mises au points concernant des questions es- sentiellement déjà connues. Elles concernent en 2.1 la suppression des facteurs d'Euler des fonctionsL, en 2.2 les opérateurs d'Atkin-Lehner, en 2.3 et 2.4 la torsion des formes modulaires par des caractères non nécessairement primitifs, en 2.5 la translation des formes modulaires par des nombres rationnels. Dans les sections 2.6 à 2.8, qui ne seront pas utiles avant la section 3.2, nous rap- pelons ce qui est connu sur le comportement aux mauvaises places des formes modulaires tordues. Pour tout cela nous avons trouvé une aide précieuse dans un article d'Atkin et Li [2].

2.1 Suppression des facteurs d'Euler

On note GL₂(Q)⁺ le sous-groupe de GL₂(Q) formé par les matrices de déterminant>0. On pose, pour

A B C D

∈GL₂(Q)⁺, etF forme primitive de poids ket de niveauM :

F

|

A B C D

(z) =(AD−BC)^k/2

(Cz+D)^k F(Az+B Cz+D).

Cette opération s'étend C-linéairement àC[GL₂(Q)⁺]; elle se factorise par C[PGL₂(Q)⁺]. Gardons à l'esprit la formule suivante

(2π)^−sΓ(s)L(F, s) = Z ∞

0

F(iy)y^sd y y .

On a, pourh=

A 0

0 D

∈GL2(Q)⁺, Z ∞

0

F_|h(iy)y^sd y y = (A

D)^k/2−s Z ∞

0

F(iy)y^sd y y = (A

D)^k/2−s(2π)^−sΓ(s)L(F, s).

SoientT⁺ et T⁻ deux ensembles de nombres premiers. On pose F^[T+,T−]=F

|Q

p∈T+L_p(F,p^−k/2

p 0 0 1

)⁻¹Q

p∈T−L_p( ¯F ,p^−k/2

1 0 0 p

)⁻¹

,

de telle sorte que Z ∞

0

F^[T+,T−](iy)y^sd y

y = (2π)^−sΓ(s)L(F, s) Q

p∈T⁺L_p(F, p^−s)Q

p∈T⁻L_p( ¯F , p^s−k)

=M^−s/2Λ^[T+,T−](F, s).

On pose, lorsqueR⁺ et R⁻ sont des sous-ensembles de T⁺ et T⁻ respec- tivement,

F^[T

+ R+,^T−

R−]

=F^{[T+−R+,T−−R−]}

|Q

p∈R+L_p(F,p^1−k/2

p 0 0 1

)⁻¹Q

p∈R−L_p( ¯F ,p^1−k/2

1 0 0 p

)⁻¹

si bien que Z ∞

0

F^[T

+ R+,^T−

R−]

(iy)y^sd y

y =M^−s/2Λ^[T

+ R+,^T−

R−]

(F, s).

2.2 Opérateurs d'Atkin-Lehner

Mettons au point les normalisations pour les opérateurs d'Atkin-Lehner.

Notons ψ⁰ le caractère de nebentypus de F. NotonsM⁰ le conducteur deψ⁰. Supposons queM soit à support dansΣN. SoitS un sous-ensemble deΣM. NotonsS¯=ΣM−S. PosonsM =MSMS¯etM⁰=M_S⁰M_S⁰_¯etψ⁰ =ψ_S⁰ψ⁰_S¯. Soit A B

C D

∈M₂(Z)telle que M_S|A, M_S|D, M|C, MS¯|B, AD−BC =M_S, A ≡M_S (modM⁰)et B ≡1 (mod M_S⁰); on pose alors, comme Atkin et Li dans [2],W_SF =F

|

A B C D

et il existe un nombre complexe w_S(F)de

module 1 tel queW_SF =w_S(F)F ⊗ψ¯_S⁰. Lorsque A B C D

∈ M₂(Z)avec MS|A,MS|D,M|C,MS¯|B etAD−BC=MS, on a de plus [2]

F

|

A B C D

=ψ⁰_S(B)ψ⁰S¯(A/MS)WSF.

Lorsque M|N N⁰, M⁰|N et lorsque A B C D

∈M2(Z) vérie les conditions NSN_S⁰|A,NSN_S⁰|D,N N⁰|C,NS¯N_S⁰_¯|B et AD−BC=NSN_S⁰, on a

F

|

A B C D

=wS(F) ¯ψ_S⁰(B) ¯ψS⁰¯(A/(NSN_S⁰))F

|

N_SN_S⁰/M_S 0

0 1

.

Lorsque S est égal au support deM, on posewS(F) =w(F). On a de plus [2] proposition 1.1,

w_S(F)w_S(F⊗ψ¯⁰_S) =ψ⁰_S(−1) ¯ψ⁰_S¯(M_S). (1) Mentionnons enn la formule, pourS1etS2deux sous-ensembles disjoints de ΣM,

WS2(WS1F) =ψ_S⁰₂(MS1)WS1∪S2F.

Cela permet de ramener le calcul dew_S(F)aux cas oùS est un singleton.

Ajoutons la formule suivante. Soitpun nombre premier tel queap(F)6= 0 (c'est le cas si et seulement sivp(M) =vp(mψ)ou sivp(M)≤1). On a

w_{p}(F) = p^{vp(N)(k/2−1)}τ(ψ_S⁰) a_p(F)^vp(N)

oùτ(ψ_S⁰)est la somme de Gauss du caractère (non nécessairement primitif) ψ⁰_S. Sipest spécial pourF, on aap(F)¯ap(F) =p^k−2.

2.3 Torsion des formes modulaires par des caractères quelconques Revenons maintenant sur la torsion des formes modulaires par des carac- tères. Soitαun caractère de Dirichlet de niveau m, de caractère de Dirichlet primitif associéω, lui-même de conducteurm_ω. Notonsf¯_αla forme modulaire (non nécessairement primitive) donnée par le développement

f¯α(z) =

∞

X

n=1

¯

anα(n)qⁿ.

Elle est liée à la forme primitivef¯⊗ω par la formule f¯_α= ( ¯f ⊗ω)^[Σm,∅].

Posons de plus

Sαf¯= X

amodm

¯ α(a) ¯f

|

1 a/m

0 1

.

On a, lorsqueαest primitif (et donc égal àω), S_ωf¯=τ(¯ω) ¯f_ω.

Soitpun nombre premier divisantm/mω. Notonsβ le caractère de Dirichlet de niveaum/pqui coïncide avec αsur les entiers premiers àp. On a

Sαf¯= ¯app^1−k/2(Sβf)¯

|

p 0 0 1

−β(p)S¯ βf .¯ Posons, dansC[X],

Rp(X) = (¯app^1−k/2X)^{vp(m/mω)−1}(¯app^1−k/2X−ω(p)).¯ (2) Par une application répétée de la formule 2, on obtient

Sαf¯=τ(¯ω)( ¯fω)

|Q

pRp(

p 0 0 1

)

,

où le produit porte sur les nombres premiers divisantm/m_ω.

Il est nécessaire maintenant de distinguer plusieurs cas. Siv_p(m/m_ω) = 0, on aR_p = 1. Siv_p(m/m_ω) = 1 et a_p = 0, on aR_p = 0. Siv_p(m/m_ω)>1 et ap= 0, on a Rp=−¯ω(p).

Or on a, lorsqueap6= 0et p|N non spécial pourf¯, ap¯ap =p^k−1 et donc, lorsque de plusp|mon a, dansC[PGL2(Q)⁺],

Rp( p 0

0 1

) = (¯app^1−k/2 p 0

0 1

)^vp(m/mω)(1−ω(p)a¯ pp^−k/2 1 0

0 p

).

Cette dernière formule est encore valable lorsquea_p= 0 etv_p(m)>1. Lorsque p|(m/m_ω) et p est spécial pour f¯, on a a_p¯a_p = p^k−2 (et donc a_p6= 0). On a donc

R_p( p 0

0 1

) = (¯a_pp^1−k/2 p 0

0 1

)^vp(m/mω)(1−ω(p)a¯ _pp^1−k/2 1 0

0 p

).

Lorsqueap= 0,vp(m) = 1 etvp(mω) = 0, on a R_p(

p 0 0 1

) =−¯ω(p).

On a donc

Sαf¯=τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σ_m, ^Σm/mω

Σm/mω∩Σf]

|Q

pPp(

p 0 0 1

)

, (3)

où le monômeP_p(X)vaut(¯a_pp^1−k/2X)^vp(m/mω)sauf sia_p= 0, v_p(m) = 1et vp(mχ) = 0, auquel cas on aPp(

p 0 0 1

) =−¯ω(p).

2.4 La torsion des formes modulaires par des caractères de niveaux divisantN

Reprenons la situation laissée en 2.3 en nous plaçant dans le cas oùN⁰=m est un diviseur deN.

Lemme 1. Soitpun nombre premier tel quep|mω etp|(N⁰/m_ω). On a ( ¯f ⊗ω)^[∅,p]

|P_p(

p 0 0 1

)

= ( ¯f⊗ω)

|Pp(

p 0 0 1

)

.

Démonstration Il sut de montrer que Pp = 0 ou que ap( ¯f ⊗ω) = 0 = ap,p( ¯f⊗ω). SupposonsPp6= 0. Siap= 0, on avp(mω) = 0etvp(N⁰) = 1, ce qui entraîneap( ¯f⊗ω) = 0 =ap,p( ¯f⊗ω). Restreignons maintenant notre attention au cas où ap6= 0. Rappelons d'abord que cela entraîne que le conducteur de ψ a pour valuation p-adique vp(N) (ce qui entraîne ap,p( ¯f ⊗ω) = 0) ou que vp(N) = 1. Les hypothèses excluent le cas vp(N) = 1. On a de plus ap( ¯f⊗ω)6= 0si et seulement siω est de conducteur premier àp(impossible par hypothèse) ou ψ/ω¯ est de conducteur premier à p; ce dernier cas est impossible, en eet on a p|(N⁰/m_ω), et donc p|(N/mω) et les valuations p- adiques des conducteurs de ψ et ψ/ω¯ sont égales et donc non nulles. On a bien a_p( ¯f⊗ω) = 0.

On a donc, par applications répétées du lemme 1 à la formule 3, Sαf¯=τ(¯ω)( ¯f ⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^{ΣN0 −Σmω}

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pPp(

p 0 0 1

)

, (4)

2.5 La torsion des formes modulaires par des caractères additifs Soitn∈Z. Récrivons la forme modulairef¯

|

1 n/N

0 1

comme combinai- son linéaire deFd 0

0 1

oùdparcourt les diviseurs de N et oùF parcourt les formes primitives de niveau divisantN²/d. Nous ne savons pas si un pareil calcul a déjà été rédigé. Notons n⁰ le nombre entier et N⁰ le diviseur >0 de N qui vérientn⁰/N⁰ =n/N. On a, par inversion de Fourier,

f¯

|

1 n⁰/N⁰

0 1

=X

α

α(n⁰) φ(N⁰)S_αf ,¯

oùαparcourt les caractères de Dirichlet de niveauN⁰. En combinant avec la formule 4, on obtient

f¯

|

1 n/N

0 1

=X

ω

ω(n⁰)

φ(N⁰)τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^{ΣN0 −Σmω}

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pPp(

p 0 0 1

)

(5)

oùωparcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteurmω divisant N⁰, le produit portant sur les nombres premiers divisantN⁰/mω.

2.6 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, première analyse

On reprend les notations de 2.1 et 2.2. Soientnun entier>0. Supposons mχ et NS premiers entre eux. On aan(f⊗χ) =anχ(n)et

wS(f ⊗χ) = ¯χ(mχ)wS(f).

De plus siNest premier àm_χ, le caractère def⊗χestψχ²et on aN_χ=N m²_χ. Nous allons maintenant étudier les cas oùm_χ,N_Setnne sont pas premiers entre eux.

Soitpun nombre premier. On dit quef estp-primitive par torsion si pour tout caractère de Dirichletχ de conducteur une puissance dep, le niveau de f ⊗χ est ≥ N. C'est évidemment une propriété locale, qui serait peut-être davantage mise en valeur par le langage adélique. On suppose quemχ,NS et nsont des puissances depet quef estp-primitive par torsion.

Notons(ψχ)0 le caractère primitif associé àψχ. On a L_p(f ⊗χ, X)⁻¹= 1−a¯_p(ψχ)₀(p)

p X.

Comme on a

f_χ=f⊗χ

|Lp(f⊗χ,

p 0 0 1

)⁻¹

.

On a donc, puisqueχest primitif, f⊗χ=fχ

|(1−^{ap¯ (ψχ)(p)}_p

p 0 0 1

)⁻¹

.

Pour progresser dans l'étude des invariants de f⊗χ, il faut distinguer deux cas [2],

on aap(f)6= 0(cas de série principale), cela assure quef est primitive par torsion, ou

on a ap(f) = 0et le conducteur du caractère de Dirichlet primitif associé à ψest de valuationp-adique≤vp(N)/2 (cas supercuspidal). (Cette dernière condition n'entraîne pas quef est p-primitive, voir [2].)

2.7 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, cas de série principale

Reprenons la situation laissée en 2.6 en supposantap 6= 0. On supposeχ non trivial. Le niveauN_χ def⊗χest donné par la recette suivante [2]. On a

v_p(N_χ) =v_p(m_χm_ψχ).

On a [2] théorème 4.1,

w_S(f ⊗χ) = ¯ψS¯(m_χ)χ(−1)τ(ψ_Sχ) τ( ¯χ)

sivp(mχ)≥vp(N)etvp(mχψ) =vp(mχ). On a de plus, [2] théorème 4.2, wS(f⊗χ) = ¯ψS¯(mχ)χ(−1)(NS

mχ

)^k/2−1 τ(ψSχ) a_NS/mχ(f)τ( ¯χ) siv_p(m_χ)< v_p(N). On a enn, [2] corollaire 4.2,

wS(f ⊗χ) = ¯ψS¯(mχ)χ(−1)τ(ψSχ) τ( ¯χ)

sivp(mχ) =vp(N)etvp(mχψ)< vp(mχ).

2.8 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, cas supercuspidal

Reprenons la situation laissée en 2.6 en supposanta_p= 0. On a v_p(N_χ) = max(v_p(m²_χ), v_p(m_ψm_χ), v_p(N))

Posons au préalable, pour tout caractère de Dirichlet primitifω m⁰_ω=mω si ω(p)6= 0 etm⁰_ω=pmω siω(p) = 0On a, [2] théorème 4.1,

w_S(f ⊗χ) = ¯ψS¯(m_χ)χ(−1)τ(ψSχ) τ( ¯χ) sivp(mχ)≥vp(N). On a enn, [2] théorème 4.5, wS(f⊗χ) =wS(f)ψS¯(NS/mχ)χ(−1)ψS(−1)

(N_χ,S⁰⁰ /NS)φ(NS/mχ) 1 τ( ¯χ)

X

ω

τ(ω)τ(χψSω)w_f⊗ψ¯_Sω¯. sivp(mχ)< vp(N), oùN_χ,S⁰⁰ = max(NS, NSmψ/mχ, N_S²/m²_χ)et oùωparcourt les caractères de Dirichlet tels quem⁰_ω=NS/mχetmχψ_Sω=N_χ,S⁰⁰ mχ/NS. En particulier, lorsque vp(mχ)> vp(N)/2, wS(f ⊗χ)se déduit de la collection des wS(f ⊗ω), pour ω caractère vériant m²_ω|NS; en particulier, lorsque vp(mχ)> vp(N)/2, wS(f⊗χ)se déduit de la collection deswS(f⊗ω)pour N_ω,S=N_S.

2.9 Invariants locaux des tordues de formes primitives par torsion, conclusion

Supposonsfprimitive par torsion (c'est-à-direp-primitive par torsion pour tout nombre premierp). La donnée dea_p(f)et dew_S(f⊗ω)(p∈Σ_N,S⊂Σ_N, etωcaractère primitif tel queNω=Netar(f) = 0(r∈Setr|mχ)) détermine Nχ,ap(f⊗χ), wS(f⊗χ)(p∈ΣN,S⊂ΣN).

3 Le théorème 1 et ses corollaires

3.1 La démonstration du théorème 1 Soit g =

a b c d

∈ SL2(Z) telle que la classe modulo N de (c, d) soit égale à(u, v).

On peut comprendre notre démarche ainsi. La fonctionf_|g est une forme modulaire pour le groupe de congruence Γ(N), si bien que la fonction f

|g

N 0 0 1

est modulaire pour le groupe de congruence Γ1(N)∩Γ0(N²). Cette dernière forme modulaire s'écrit donc comme combinaison linéaire de fonctions du typeF

|

d 0 0 1

, où F parcourt les formes primitives de niveau M divisantN² et d les entiers divisant N²/M. Nous allons montrer que les formes primitives qui interviennent dans cette écriture sont de la formef⊗χ, oùχ parcourt les caractères de Dirichlet de niveau divisantN et donner ex- plicitement les coecients de cette combinaison linéaire.

Lorsque k= 2, on aξf(u, v) =R∞

0 f_|g(iy)dy. Lorsque, de plus,s = 1 et hest une matrice diagonale dePGL2(Q)⁺, etχest un caractère de Dirichlet de conducteur divisantN, on a

Z ∞

0

(f⊗χ)_|h(iy)d y= 1

2πL(f⊗χ,1) = 1 pNχ

Λ(f ⊗χ,1).

C'est pourquoi le théorème 1 se déduit de la proposition 1 suivante, par in- tégration de chaque membre de l'égalité ci-dessous le long de la géodésique reliant0 à∞dans le demi-plan de Poincaré.

Remarquons que la proposition 1 permet de démontrer des analogues du théorème 1 pour les formes modulaires de poids 6= 2. (Voir par exemple la thèse de F. Martin lorsquek= 1[13].)

Proposition 1. On a f_|g = w(f)

φ(N⁰) X

χ

χS¯(mχ,S)( ¯ψSχ¯S)(m_ψχ,S¯)(ψSχS)(−1)τ⁰(χS)τ⁰( ¯ψS¯χ¯S¯)

( ¯ψS¯χ¯²_S¯)(N_χ,S)w_S(f ⊗χ)( ¯ψχ)(¯ N_S⁰_¯v NS¯

)χ(N_S⁰u N_S ) (f⊗χ)

[ ^{ΣN0 −S(mχ)}

(S(N0)−S(mχ))∩Σf, ^{ΣN0 −}

S(m¯ ψ¯χ¯) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯χ¯))∩Σf]

|

N⁰_¯

S

N_χ,SNS¯m_ψχ,S¯ 0 0 _N^NS0

Sm_χ,S¯

!

(∗∗)

,

oùχparcourt les caractères de Dirichlet primitifs tel quemχ,Sm_ψχ,S¯|N⁰ et où

∗∗= Y

p∈S(N⁰)

Qp,f,¯χ

1 0 0 p

Y

p∈S(N¯ ⁰)

Qp,f,χψ

p 0 0 1

.

Démonstration.- Considérons A B C D

∈M2(Z)telle queNSN_S⁰|A,NSN_S⁰|D, N N⁰|C,NS¯N_S⁰_¯|B, AD−BC =NSN_S⁰, A ≡uN_S⁰ (modNS¯) et B ≡v/NS¯

(mod NS). Soit k∈ Ztel que n ≡uv (mod NS¯)et n≡ −uv (mod NS). Notre point de départ réside dans l'identité

Γ1(N)g=Γ1(N)

0 −1

N 0

1 n/N

0 1

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

−1

,

que le lecteur vériera grâce au lemme chinois. Commew(f) ¯f =f

|

0 1

−N 0 , on a la formule

f_|g=w(f) ¯f

|

1 n/N

0 1

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

⁻¹,

et donc, d'après la formule 5,

f_|g=w(f)X

ω

ω(n⁰)

φ(N⁰)τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^{ΣN0 −Σmω}

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pP_p(

p 0 0 1

)

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

⁻¹

oùωparcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteurmω divisant(6) N⁰, le produit portant sur les nombres premiers divisantN⁰.

Appliquons les formules de 2.2 àF = ¯f⊗ω : on aM =Nω,ψ⁰ = ¯ψω² et F⊗ψ¯⁰_S = ¯f ⊗ωψSω¯_S² = ¯f⊗ψSω¯SωS¯=f⊗ψ¯S¯ω¯SωS¯.

Soitp∈ΣN. Soitrun entier≥0. On a ( ¯f ⊗ω)

|

p^r 0 0 1

A B C D

= ( ¯f ⊗ω)

|

p^rA B C D/p^r

1 0 0 p^r

sip∈S et

( ¯f⊗ω)

|

p^r 0 0 1

A B C D

= ( ¯f⊗ω)

|

A p^rB C/p^r D

p^r 0 0 1

sip∈S¯. On a de plus les formules

( ¯f⊗ω)

|

p^rA B C D/p^r

= (ψ_Sω¯²_S)(B)(ψS¯ω¯²_S¯)(p^rA/(N_SN_S⁰)) wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

lorsquep^r|(NSN_S⁰/N_ω,S)et

( ¯f⊗ω)

|

A p^rB C/p^r D

= (ψSω¯²_S)(p^rB)(ψS¯ω¯S²¯)(A/(NSN_S⁰)) wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

|

N_SN_S⁰/N_ω,S¯ 0

0 1

lorsquep^r|(NS¯N_S⁰_¯/N_ω,S¯). SoitP∈C[X]. On a alors

( ¯f⊗ω)

|P

p 0 0 1

A B C D

= (ψSω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²S¯)(A/(NSN_S⁰))wS( ¯f⊗ω) ( ¯f ⊗ωS¯ω¯SψS)

|P((ψS¯ω¯²_¯

S)(p)

1 0 0 p

)

_NSN⁰

S

Nω,S¯ 0

0 1

.

sip∈S et P de degré≤vp(NSN_S⁰/Nω,S)et on a

( ¯f⊗ω)

|P

p 0 0 1

A B C D

= (ψ_Sω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²_S¯)(A/(N_SN_S⁰))w_S( ¯f⊗ω) ( ¯f ⊗ωS¯ω¯_Sψ_S)

|P((ψSω¯²_S)(p)

p 0 0 1

)

_NSN⁰

S

N_ω,S¯ 0

0 1

.

sip∈S¯ etP de degré≤vp(NS¯N_S⁰_¯/N_ω,S¯). On en déduit que

( ¯f ⊗ω)^[{p},∅]

|

A B C D

= (ψSω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²S¯)(A/(NSN_S⁰))

wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)^[∅,{p}]

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

si et p∈S et ( ¯f⊗ω)^[{p},∅]|

A B C D

= (ψSω¯²_S)(B)(ψS¯ω¯S²¯)(A/(NSN_S⁰)) wS( ¯f ⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)^[{p},∅]

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

sip∈S¯. Un calcul analogue donne les formules ( ¯f ⊗ω)^[∅,{p}]

|

A B C D

= (ψSω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²S¯)(A/(NSN_S⁰))

wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)^[{p},∅]

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

si et p∈S et ( ¯f⊗ω)^[∅,{p}]|

A B C D

= (ψSω¯²_S)(B)(ψS¯ω¯S²¯)(A/(NSN_S⁰)) wS( ¯f ⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)^[∅,{p}]

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

sip∈S¯.

Dans les quatre formules qui précèdent, on peut remplacer, partout où il intervient, le symbole {p}par _{p}∩Σ^{p}_f.

Remarquons qu'on a, dansC(X),Q_p,f,ω(X) =X^{−vp(N0/mχ)}P_p(X). On a Y

p∈S(N⁰)

P_p((ψS¯ω¯_S²_¯)(p) 1 0

0 p

) Y

p∈S(N¯ ⁰)

P_p((ψ_Sω¯_S²)(p) p 0

0 1

) =

(ψS¯ω¯S²¯)(N_S⁰/mω,S)(ψSω¯_S²)(NS⁰¯/m_ω,S¯)

N_S⁰_¯/mω,S 0 0 N_S⁰/m_ω,S¯

Y

p∈S(N⁰)

Qp,f,ω((ψS¯ω¯S²¯)(p) 1 0

0 p

) Y

p∈S(N¯ ⁰)

Qp,f,ω((ψSω¯_S²)(p) p 0

0 1

).

Revenons à la formule 6. On a ( ¯f⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^{ΣN0 −Σmω}

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pP_p(

p 0 0 1

)

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

⁻¹ =

(ψ_Sω¯_S²)(N_S⁰_¯B m_ω,S¯

)(ψS¯ω¯S²¯)( A N_Sm_ω,S)

w_S( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯_Sψ_S)

[_(S(N^Σ₀^{N0 −S(mχ)}

)−S(mχ))∩Σf, ^{ΣN0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯χ¯))∩Σf]

|

N_S⁰_¯

Nω,S¯ NS¯m_ω,S¯ 0

0 ^N

0 S

NSmω,S

!

(∗∗)

, (7)

où

∗∗= Y

p∈S(N⁰)

Qp,f,ω((ψS¯ω¯²S¯)(p) 1 0

0 p

) Y

p∈S(N¯ ⁰)

Qp,f,ω((ψSω¯²_S)(p) p 0

0 1

) Par ailleurs, on a les formules

(ψSω¯²_S)(NS⁰¯B) = (ψSω¯²_S)(NS⁰¯v/NS¯),(ψS¯ω¯²S¯)(A/NS) = (ψS¯ω¯²S¯)(uN_S⁰/NS) et

ω(n⁰) =ω(nN⁰/N) =ωS(nN⁰/N)ωS¯(nN⁰/N) =ωS(−uvN⁰/N)ωS¯(uvN⁰/N) et donc

ω(n⁰) =ω_S(−1)ω(uN_S⁰/N_S)ω(vN_S⁰_¯/NS¯).

On a donc la simplication ω(n⁰)(ψSω¯_S²)(NS⁰¯B)(ψS¯ω¯²S¯)( A

N_S) =ωS(−1)ψSω¯SωS¯(N_S⁰_¯v NS¯

)ψS¯ω¯S¯ωS(N_S⁰u N_S ).

De plus on a

Q_p,f,ω((ψS¯ω¯_S²_¯)(p) 1 0

0 p

) =Q_{p,f,¯ωS¯ωSψS¯}( 1 0

0 p

) sip∈S et

Qp,f,ω((ψSω¯_S²)(p) p 0

0 1

) =Qp,f,ωS¯ω¯_Sψ_S( p 0

0 1

) sip∈S¯.

En combinant avec la formule 7, on obtient f_|g= w(f)

φ(N⁰) X

ω

( ¯ψS¯ωS²¯)(mω,S)( ¯ψSω_S²)(m_ω,S¯)(ψSω¯SωS¯)(N_S⁰_¯v NS¯

)(ψS¯ω¯S¯ωS)(N_S⁰u NS

)

τ(¯ω)ωS(−1)wS( ¯f⊗ω)( ¯f ⊗ωS¯ω¯SψS)

[ ^{ΣN0 −S(mχ)}

(S(N0)−S(mχ))∩Σf, ^{ΣN0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯¯χ))∩Σf]

|

N_S⁰_¯

Nω,S¯ NS¯m_ω,S¯ 0 0 _N^NS0

Smω,S

!

(∗∗)

, (8)

oùω parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur divisant N⁰ et où

∗∗= Y

p∈S(N⁰)

Q_{p,f,¯ωS¯ωSψS¯} 1 0

0 p

Y

p∈S(N¯ ⁰)

Q_{p,f,ωS¯ω¯SψS} p 0

0 1

.

Simplions encore cette formule. On a la relation entre sommes de Gauss τ(¯ω) = ¯ω_S(m_ω,¯S¯)¯ωS¯(m_ω,S¯ )τ(¯ω_S)τ(¯ωS¯).

Cela donne

τ(¯ω)( ¯ψS¯ω_S²_¯)(m_ω,S)( ¯ψ_Sω²_S)(m_ω,S¯) =τ(¯ω_S)τ(¯ωS¯)( ¯ψS¯ωS¯)(m_ω,S)( ¯ψ_Sω_S)(m_ω,S¯).

Récrivons 8 en notantχle caractère de Dirichlet primitif associé àωS¯ω¯Sψ¯S¯. On a donc χS = ¯ωS et χS¯ = ωS¯ψ¯S¯, S(mω) = S(mχ), S(m¯ ω) = ¯S(mψχ), Nω,S¯ =Nχ,S etωS(−1) =χS(−1).

On obtient f_|g= w(f)

φ(N⁰) X

χ

τ⁰(χS)τ⁰( ¯ψS¯χ¯S¯)χS(−1)χS¯)χS¯(mχ,S)( ¯ψSχ¯S)(m_ψχ,S¯)

( ¯ψχ)(¯ N_S⁰_¯v NS¯

)χ(N_S⁰u NS

)w_S(f⊗ψ¯_Sχ¯_SχS¯)(f⊗χ)

[_(S(N^Σ₀^{N0 −S(mχ)}

)−S(mχ))∩Σf, ^{ΣN0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯¯χ))∩Σf]

|

N_S⁰_¯

Nχ,SNS¯m_ψχ,S¯ 0

0 ^N

0 S

NSmχ,S¯

!

(∗∗)

,

oùχparcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur divisant(9)N⁰ et où

∗∗= Y

p∈S(N⁰)

Qp,f,¯χ

1 0 0 p

Y

p∈S(N¯ ⁰)

Qp,f,χψ

p 0 0 1

.

Appliquons la relation 1 pourF =f⊗χ(et doncψ⁰=ψχ²). On obtient wS(f⊗χ)wS(f⊗ψ¯Sχ¯SχS¯) =ψS(−1)( ¯ψS¯χ¯²S¯)(Nχ,S).

Cela permet de substituerwS(f⊗ψ¯Sχ¯SχS¯)dans 9 pour obtenir la proposition 1.

3.2 Réciproque du corollaire 1 et observations algorithmiques sur les aspects locaux

Le lecteur vériera sans peine que les termes qui apparaissent dans la formule du théorème 1 se déduisent des invariants dont la liste est donnée dans le corollaire 1.

Nous nous proposons dans cette section d'étudier la réciproque : comment la fonction ξf permet de retrouver les données(i),(ii), (iii), (iv)et (v). La procédure à suivre pour cette étude nous paraît plus agréable lorsqueξf est primitive par torsion.