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Algèbre 4 : Formes quadratiques

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(1)

Université de Caen 2

e

semestre 2007-2008

UFR de Sciences Mathématiques

L2 MASS Algèbre

Algèbre 4 : Formes quadratiques

Exercice 1. Montrer que les applications ϕ suivantes sont des formes bilinéaires, dire si elles sont symétriques et calculer ϕ(x, x) :

1. ϕ ((x, y, z), (x

0

, y

0

, z

0

)) = xx

0

+ 2xy

0

+ zz

0

− 2yz

0

+ 2x

0

y 2. ϕ ((x, y), (x

0

, y

0

)) = 3xx

0

− x

0

y − xy

0

+ yy

0

Montrer que les applications q suivantes sont des formes quadratiques en calculant les formes bilinéaires associées : 1. q(x, y, z) = x

2

+ 4xy − 2yz + z

2

2. q(x, y) = 3x

2

− 2xy + y

2

3. q(x, y, z) = 2xy − y

2

+ 5yz + 3z

2

4. q(x, y, z) = xy + 2xz − yz 5. q(x, y, z) = x

2

+ 3y

2

+ 4z

2

− 2xy + 2xz − 6yz

Écrire les matrices correspondantes dans la base canonique.

Exercice 2. Les formes quadratiques suivantes sont-elles positives ? dénies-positives ? En donner des expressions développées.

1. q(x, y, z) = (x + 2y)

2

+ (z − y)

2

− 5y

2

2. q(x, y) = 2x

2

+ (y − x)

2

6. q(x, y, z) = −2(x + y − z)

2

+ (y − 2z)

2

+ (2x + y)

2

Inversement, en décomposant les formes quadratiques 3, 4 et 5 de l'exercice précédent en carrés de formes linéaires indépendantes, dire si elles sont positives ou pas.

Exercice 3. Décomposer les formes quadratiques suivantes en carrés de formes linéaires indépendantes.

q

1

: (x, y, z) 7→ x

2

+ y

2

+ z

2

− 4xy − 4xz − 4yz q

2

: (x, y, z) 7→ 2x

2

+ 3y

2

− z

2

− 8xz

q

3

: (x, y, z) 7→ x

2

− 3y

2

− 2xy + 4xz

q

4

: (x, y, z, t) 7→ xy + xz + xt + yz + yt + zt q

5

: (x, y, z, t) 7→ xy + xz + xt − yz + yt + 2zt

Exercice 4. Soit a un nombre réel, et soit q : R

3

→ R la forme quadratique dénie par

q(x, y, z) = a(x

2

+ y

2

+ z

2

) − 2xy + 2xz + 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ R

3

. a. On suppose que a = 0 . Soit D la droite de R

3

engendré par le vecteur v = (2, 2, 1) .

Trouver une base de D

⊥

. Les sous-espaces vectoriels D et D

⊥

sont-ils supplémentaires ? b. Montrer que la forme quadratique q est dénie positive si et seulement si a > 2 .

c. On suppose que a = 4 . Soit P le plan de R

3

d'équation 9x − y + 6z = 0 . Trouver une base de P

⊥

. Exercice 5. Pour tout nombre réel a on considère la forme quadratique q

a

: R

3

→ R dénie par

q

a

(x, y, z) = a(x

2

+ y

2

) + 2z

2

− 2xy − 2xz + 2yz.

a. On se place dans le cas a = 1 .

(i) Montrer que q

1

est positive mais pas dénie-positive.

(ii) Montrer que q

1

(x, y, z) ≥ z

2

pour tout (x, y, z) ∈ R

3

.

(iii) Trouver un vecteur v = (x, y, z) non nul tel que q

1

(x, y, z) = 0 . b. On reprend le cas général.

(i) En utilisant la question 1b, montrer que q

a

est dénie-positive lorsque a > 1 . (ii) Calculer q

a

(v) pour tout a , où v est le vecteur trouvé à la question 1c.

(iii) Pour quelles valeurs du paramètre a ∈ R la forme quadratique q

a

est-elle dénie-positive ? c. On se place dans le cas a = 2 .

La forme quadratique q

2

est dénie-positive, on munit R

3

du produit scalaire associé.

(i) Donner l'expression du produit scalaire u · u

0

pour u = (x, y, z) et u

0

= (x

0

, y

0

, z

0

) ∈ R

3

. On note (e

1

, e

2

, e

3

) la base canonique de R

3

, et P l'orthogonal de e

3

.

(ii) Écrire l'équation de P . Donner une base de P .

(iii) Déterminer une base orthonormale de P .

(iv) Déterminer le projeté orthogonal de e

1

sur P .

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