Construction d’une solution faible d’une E.D.S.R

Construction d’une solution faible d’une E.D.S.R

Nadira BOUCHEMELLA et Paul RAYNAUD DE FITTE

Universit´e de Rouen Laboratoire LMRS

03 mai 2010

Introduction

(Ω, F, (F

)

, P)

Y

= ξ + Z

t

f (s , X

, Y

, Z

) ds − Z

t

Z

dW

− (L

− L

) (1)

I

W = (W

)

un mouvement brownien (F

)-adapt´ e d´ efini sur R

I

Y , Z et L trois processus inconnus, tel que Y et L prenent valeurs dans H = R

et Z dans L l’espace des applications lin´ eaires de R

dans H

I

X = (X

)

est un processus (F

)-adapt´ e ` a valeurs dans un espace m´ etrique M .

I

ξ ∈ L

est la condition terminale.

Introduction

(Ω, F, (F

)

, P)

Y

= ξ + Z

t

f (s , X

, Y

, Z

) ds − Z

t

Z

dW

− (L

− L

) (1)

I

W = (W

)

un mouvement brownien (F

)-adapt´ e d´ efini sur R

I

Y , Z et L trois processus inconnus, tel que Y et L prenent valeurs dans H = R

et Z dans L l’espace des applications lin´ eaires de R

dans H

I

X = (X

)

est un processus (F

)-adapt´ e ` a valeurs dans un espace m´ etrique M .

I

ξ ∈ L

est la condition terminale.

Introduction

(Ω, F, (F

)

, P)

Y

= ξ + Z

t

f (s , X

, Y

, Z

) ds − Z

t

Z

dW

− (L

− L

) (1)

I

W = (W

)

un mouvement brownien (F

)-adapt´ e d´ efini sur R

I

Y , Z et L trois processus inconnus, tel que Y et L prenent valeurs dans H = R

et Z dans L l’espace des applications lin´ eaires de R

dans H

I

X = (X

)

est un processus (F

)-adapt´ e ` a valeurs dans un espace m´ etrique M .

I

ξ ∈ L

est la condition terminale.

Introduction

(Ω, F, (F

)

, P)

Y

= ξ + Z

t

f (s , X

, Y

, Z

) ds − Z

t

Z

dW

− (L

− L

) (1)

I

W = (W

)

un mouvement brownien (F

)-adapt´ e d´ efini sur R

I

Y , Z et L trois processus inconnus, tel que Y et L prenent valeurs dans H = R

et Z dans L l’espace des applications lin´ eaires de R

dans H

I

X = (X

)

est un processus (F

)-adapt´ e ` a valeurs dans un espace m´ etrique M .

I

ξ ∈ L

est la condition terminale.

I

E. Pardoux and S. Peng

I

J.P. Lepeltier and J. San Martin

I

K. Bahlali, B. Mezerdi, and Y. Ouknine

I

R. Buckdhahn, H.J. Engelbert and A. Rascanu

Hypoth` eses

I

l’application f : [0, T ] × M × H × L v´ erifie les deux conditions suivantes :

I

(H

)

Il existe C

≥ 0 tel que : ∀(t, x, y, z ) ∈ [0, T ] × M × H × L , kf (t , x, y , z )k ≤ C

(1 + kz k).

I

(H

)

(i) f (t, x , y , z) est continue en (x , y , z),

(ii) Pour tous x ∈ M , u ∈ C

[0, T ], v ∈ L

[0, T ] et t ∈ [0, T ],

n→∞

lim Z

t

(f (t, x, u(s ), v (s + 1/n)) − f (t, x , u(s), v (s))) ds = 0 p.p

tel que v est prolong´ ee [T , T + 1/n] par v (t) = 0 pour t > T .

Hypoth` eses

I

l’application f : [0, T ] × M × H × L v´ erifie les deux conditions suivantes :

I

(H

)

Il existe C

≥ 0 tel que : ∀(t, x, y, z ) ∈ [0, T ] × M × H × L , kf (t , x, y , z )k ≤ C

(1 + kz k).

I

(H

)

(i) f (t, x , y , z) est continue en (x , y , z),

(ii) Pour tous x ∈ M , u ∈ C

[0, T ], v ∈ L

[0, T ] et t ∈ [0, T ],

n→∞

lim Z

t

(f (t, x, u(s ), v (s + 1/n)) − f (t, x , u(s), v (s))) ds = 0 p.p

tel que v est prolong´ ee [T , T + 1/n] par v (t) = 0 pour t > T .

Hypoth` eses

I

l’application f : [0, T ] × M × H × L v´ erifie les deux conditions suivantes :

I

(H

)

Il existe C

≥ 0 tel que : ∀(t, x, y, z ) ∈ [0, T ] × M × H × L , kf (t , x, y , z )k ≤ C

(1 + kz k).

I

(H

)

(i) f (t, x , y , z) est continue en (x , y , z),

(ii) Pour tous x ∈ M , u ∈ C

[0, T ], v ∈ L

[0, T ] et t ∈ [0, T ],

n→∞

lim Z

t

(f (t, x, u(s ), v (s + 1/n)) − f (t, x , u(s), v (s))) ds = 0 p.p

tel que v est prolong´ ee [T , T + 1/n] par v (t) = 0 pour t > T .

I

D´ efinition

Une solution forte de l’equation (1) est une paire de processus (Y , Z ) F

-adapt´ ee ` a valeurs dans M × H × L

I

D´ efinition

On dit que (Y , Z ) est une solution faible de l’EDSR (1) s’il existe une base stochastique (Ω, F, (F

)

, µ) telle que :

I

Le processus (W

)

est un mouvement brownien sur F

I

Y , Z deux processus (F

)-adapt´ es tel que :

E Z

0

Z

ds

!

≤ +∞

I

l’´ equation (1) est v´ erifi´ ee.

I

D´ efinition

Une solution forte de l’equation (1) est une paire de processus (Y , Z ) F

-adapt´ ee ` a valeurs dans M × H × L

I

D´ efinition

On dit que (Y , Z ) est une solution faible de l’EDSR (1) s’il existe une base stochastique (Ω, F, (F

)

, µ) telle que :

I

Le processus (W

)

est un mouvement brownien sur F

I

Y , Z deux processus (F

)-adapt´ es tel que :

E Z

0

Z

ds

!

≤ +∞

I

l’´ equation (1) est v´ erifi´ ee.

R´ esultat principal

I

Th´ eor` eme

Sous les hypoth` eses (H

) et (H

) l’´ equation (1) admet une solution faible.

I

Remarque

L’´ equation (1) est ´ equivalente ` a donn´ ees par

Y

= E

ξ + Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

(2) Z

0

Z

dW

= E

ξ + Z

0

f (s, X

, Y

, Z

) ds

− E

ξ + Z

0

f (s , X

, Y

, Z

) ds

(3)

R´ esultat principal

I

Th´ eor` eme

Sous les hypoth` eses (H

) et (H

) l’´ equation (1) admet une solution faible.

I

Remarque

L’´ equation (1) est ´ equivalente ` a donn´ ees par

Y

= E

ξ + Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

(2) Z

0

Z

dW

= E

ξ + Z

0

f (s, X

, Y

, Z

) ds

− E

ξ + Z

0

f (s , X

, Y

, Z

) ds

(3)

1 ^ere ´ etape : suite approximante

En admettant que f (t, x, y, z ) = 0 pour t > T , on prolonge Z par Z e

= E

Z

, avec Z

= 0 pour t > T .

Y

= E

ξ + Z

t+1/n

f (s, X

, Y

, Z e

) ds

!

(4) Z

0

Z

dW

= E

ξ + Z

0

f (s, X

, Y

, Z e

) ds

− E

ξ + Z

0

f (s , X

, Y

, Z e

) ds

(5)

I

Proposition

le syst` eme (4)-(5) admet une unique solution forte (Y

, Z

).

I

Les equations (4) et (5) sont ´ equivalentes ` a

Y

= ξ + Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

Z

dW

− U

(6) avec

U

= E

Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds

!

.

I

Proposition

le syst` eme (4)-(5) admet une unique solution forte (Y

, Z

).

I

Les equations (4) et (5) sont ´ equivalentes ` a

Y

= ξ + Z

t

f (s, X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

Z

dW

− U

(6) avec

U

= E

Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds

!

.

I

La famille (Y

)

est tendue dans C

[0, T ].

I

∀ > 0, ∃R > 0, ∀n ≥ 1,

(A) P

sup

0≤t≤T

Y

≥ R

≤

I

∀ > 0, ∀η > 0, ∃δ > 0 : ∀n > 0,

(B) sup

0≤τ−σ≤δ

P

Y

− Y

≥ η

≤

I

La suite (Z

)

est tendue dans l’espace L

[0, T ], muni de

sa topologie faible.

2 ^eme ´ etape : construction de la solution

I

(Y

, Z

) converge vers

µ ∈ Y(Ω, F, P; C

[0, T ] × L

[0, T ]) i.e.

I

(Y

, Z

) converge en loi vers l’image de µ par la projection

canonique de Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ] ` a C

[0, T ] × L

[0, T ].

2 ^eme ´ etape : construction de la solution

I

(Y

, Z

) converge vers

µ ∈ Y(Ω, F, P; C

[0, T ] × L

[0, T ]) i.e.

I

(Y

, Z

) converge en loi vers l’image de µ par la projection

canonique de Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ] ` a C

[0, T ] × L

[0, T ].

I

(Ω, F, (F

)

, µ)

I

Ω = Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

F = F ⊗ C ⊗ L

I

F

= F

⊗ C

⊗ L

I

(Y , Z ) sur Ω par

Y (ω, u, v) = u, Z (ω, u, v) = v.

I

(Ω, F, (F

)

, µ)

I

Ω = Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

F = F ⊗ C ⊗ L

I

F

= F

⊗ C

⊗ L

I

(Y , Z ) sur Ω par

Y (ω, u, v) = u, Z (ω, u, v) = v.

I

(Ω, F, (F

)

, µ)

I

Ω = Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

F = F ⊗ C ⊗ L

I

F

= F

⊗ C

⊗ L

I

(Y , Z ) sur Ω par

Y (ω, u, v) = u, Z (ω, u, v) = v.

I

(Ω, F, (F

)

, µ)

I

Ω = Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

F = F ⊗ C ⊗ L

I

F

= F

⊗ C

⊗ L

I

(Y , Z ) sur Ω par

Y (ω, u, v) = u, Z (ω, u, v) = v.

I

(Ω, F, (F

)

, µ)

I

Ω = Ω × C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

F = F ⊗ C ⊗ L

I

F

= F

⊗ C

⊗ L

I

(Y , Z ) sur Ω par

Y (ω, u, v) = u, Z (ω, u, v) = v.

I

La loi de (Y , Z ) est la projection de µ sur C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

(Y , Z ) est (F

)-adapt´ e

I

Y

(ω, u, v ) := Y

(ω), Z

(ω, u, v) := Z

(ω) (n ≥ 1).

I

W (ω, u, v ) = W (ω)

I

Pour tout t ∈ [0, T ], la suite Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

converge vers 0 en probabilit´ e

I

(Y , Z ) v´ erifie (1).

I

La loi de (Y , Z ) est la projection de µ sur C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

(Y , Z ) est (F

)-adapt´ e

I

Y

(ω, u, v ) := Y

(ω), Z

(ω, u, v) := Z

(ω) (n ≥ 1).

I

W (ω, u, v ) = W (ω)

I

Pour tout t ∈ [0, T ], la suite Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

converge vers 0 en probabilit´ e

I

(Y , Z ) v´ erifie (1).

I

La loi de (Y , Z ) est la projection de µ sur C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

(Y , Z ) est (F

)-adapt´ e

I

Y

(ω, u, v ) := Y

(ω), Z

(ω, u, v) := Z

(ω) (n ≥ 1).

I

W (ω, u, v ) = W (ω)

I

Pour tout t ∈ [0, T ], la suite Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

converge vers 0 en probabilit´ e

I

(Y , Z ) v´ erifie (1).

I

La loi de (Y , Z ) est la projection de µ sur C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

(Y , Z ) est (F

)-adapt´ e

I

Y

(ω, u, v ) := Y

(ω), Z

(ω, u, v) := Z

(ω) (n ≥ 1).

I

W (ω, u, v) = W (ω)

I

Pour tout t ∈ [0, T ], la suite Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

converge vers 0 en probabilit´ e

I

(Y , Z ) v´ erifie (1).

I

La loi de (Y , Z ) est la projection de µ sur C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

(Y , Z ) est (F

)-adapt´ e

I

Y

(ω, u, v ) := Y

(ω), Z

(ω, u, v) := Z

(ω) (n ≥ 1).

I

W (ω, u, v) = W (ω)

I

Pour tout t ∈ [0, T ], la suite Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

converge vers 0 en probabilit´ e

I

(Y , Z ) v´ erifie (1).

I

La loi de (Y , Z ) est la projection de µ sur C

[0, T ] × L

[0, T ]

I

(Y , Z ) est (F

)-adapt´ e

I

Y

(ω, u, v ) := Y

(ω), Z

(ω, u, v) := Z

(ω) (n ≥ 1).

I

W (ω, u, v) = W (ω)

I

Pour tout t ∈ [0, T ], la suite Z

t

f (s , X

, Y

, Z e

) ds − Z

t

f (s, X

, Y

, Z

) ds

converge vers 0 en probabilit´ e

I

(Y , Z ) v´ erifie (1).