Chapitre 4: Formes diff´erentielles

Chapitre 4: Formes diff´ erentielles

Le poly se trouve ici

www.math.u-bordeaux.fr/~pmounoud/

Alg`ebre tensorielle.

Alg` ebre tensorielle.

SoitE un espace vectoriel r´eel de dimensionnetk ∈N^∗ .

On rappelle qu’une applicationL:E^k →Rest appel´ee une formek-lin´eaire si pour touti ∈ {1, . . . ,k}, on a

L(v₁, . . . ,av_i+bw_i, . . . ,v_k) =a L(v₁, . . . ,v_i, . . . ,v_k) +b L(v₁, . . . ,w_i, . . . ,v_k), pour tout (a,b)∈R²,v_i etw_i∈E.

D´ efinition 1

SoitLune formek-lin´eaire surE. On dira queLest altern´ee si, pour toute permutationσde {1, . . .k}et tout (v₁, . . . ,v_k)∈E^k, on a

L(v1, . . .vk) =ε(σ)L(v_σ(1), . . . ,v_σ(k)) o`uε(σ) d´esigne la signature deσ.

On noteraVk

E^∗ l’espace vectoriel desk-formes lin´eaires altern´ees. On poseV0

E^∗=R, une 0-forme lin´eaire altern´ee est une constante.

Alg`ebre tensorielle.

Alg` ebre tensorielle.

SoitE un espace vectoriel r´eel de dimensionnetk ∈N^∗ .

On rappelle qu’une applicationL:E^k →Rest appel´ee une formek-lin´eaire si pour touti ∈ {1, . . . ,k}, on a

L(v₁, . . . ,av_i+bw_i, . . . ,v_k) =a L(v₁, . . . ,v_i, . . . ,v_k) +b L(v₁, . . . ,w_i, . . . ,v_k), pour tout (a,b)∈R²,v_i etw_i∈E.

D´ efinition 1

SoitLune formek-lin´eaire surE. On dira queLest altern´ee si, pour toute permutationσde {1, . . .k}et tout (v₁, . . . ,v_k)∈E^k, on a

L(v1, . . .vk) =ε(σ)L(v_σ(1), . . . ,v_σ(k)) o`uε(σ) d´esigne la signature deσ.

On noteraVk

E^∗ l’espace vectoriel desk-formes lin´eaires altern´ees. On poseV0

E^∗=R, une 0-forme lin´eaire altern´ee est une constante.

Alg`ebre tensorielle.

Alg` ebre tensorielle.

SoitE un espace vectoriel r´eel de dimensionnetk ∈N^∗ .

On rappelle qu’une applicationL:E^k →Rest appel´ee une formek-lin´eaire si pour touti ∈ {1, . . . ,k}, on a

L(v₁, . . . ,av_i+bw_i, . . . ,v_k) =a L(v₁, . . . ,v_i, . . . ,v_k) +b L(v₁, . . . ,w_i, . . . ,v_k), pour tout (a,b)∈R²,v_i etw_i∈E.

D´ efinition 1

SoitLune formek-lin´eaire surE. On dira queLest altern´ee si,

pour toute permutationσde {1, . . .k}et tout (v₁, . . . ,v_k)∈E^k, on a

L(v1, . . .vk) =ε(σ)L(v_σ(1), . . . ,v_σ(k)) o`uε(σ) d´esigne la signature deσ.

On noteraVk

E^∗ l’espace vectoriel desk-formes lin´eaires altern´ees. On poseV0

E^∗=R, une 0-forme lin´eaire altern´ee est une constante.

Alg`ebre tensorielle.

Alg` ebre tensorielle.

SoitE un espace vectoriel r´eel de dimensionnetk ∈N^∗ .

On rappelle qu’une applicationL:E^k →Rest appel´ee une formek-lin´eaire si pour touti ∈ {1, . . . ,k}, on a

L(v₁, . . . ,av_i+bw_i, . . . ,v_k) =a L(v₁, . . . ,v_i, . . . ,v_k) +b L(v₁, . . . ,w_i, . . . ,v_k), pour tout (a,b)∈R²,v_i etw_i∈E.

D´ efinition 1

SoitLune formek-lin´eaire surE. On dira queLest altern´ee si, pour toute permutationσde {1, . . .k}et tout (v₁, . . . ,v_k)∈E^k, on a

L(v₁, . . .v_k) =ε(σ)L(v_σ(1), . . . ,v_σ(k)) o`uε(σ) d´esigne la signature de σ.

On noteraVk

E^∗ l’espace vectoriel desk-formes lin´eaires altern´ees. On poseV0

E^∗=R, une 0-forme lin´eaire altern´ee est une constante.

Alg`ebre tensorielle.

Alg` ebre tensorielle.

SoitE un espace vectoriel r´eel de dimensionnetk ∈N^∗ .

On rappelle qu’une applicationL:E^k →Rest appel´ee une formek-lin´eaire si pour touti ∈ {1, . . . ,k}, on a

L(v₁, . . . ,av_i+bw_i, . . . ,v_k) =a L(v₁, . . . ,v_i, . . . ,v_k) +b L(v₁, . . . ,w_i, . . . ,v_k), pour tout (a,b)∈R²,v_i etw_i∈E.

D´ efinition 1

SoitLune formek-lin´eaire surE. On dira queLest altern´ee si, pour toute permutationσde {1, . . .k}et tout (v₁, . . . ,v_k)∈E^k, on a

L(v₁, . . .v_k) =ε(σ)L(v_σ(1), . . . ,v_σ(k)) o`uε(σ) d´esigne la signature de σ.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗.

Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v1, . . .vk) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v1, . . .vk) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗.

C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner.

Pour cela, on se donne une projectionp sur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F deF. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionpsur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F de F.

Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Exemples

Lorsquek = 1,Lest simplement une forme lin´eaire etV1

E^∗=E^∗. Lorsquek = 2, cela signifieL(v,w) =−L(w,v).

Exercice 1

Montrer qu’une formek-lin´eaireLest altern´ee si et seulement si{v₁, . . .v_k} lin´eairement d´ependants implique L(v₁, . . .v_k) = 0.

SoitB= (e1, . . . ,en) une base de E (donc dimE =n).

L’application det_B:Eⁿ→Rqui `anvecteurs (v1, . . . ,vn) deE associe leur d´eterminant dans la baseBappartient `aVn

E^∗. C’est l’exemple de base `a avoir en tˆete.

On peut le d´ecliner. Pour cela, on se donne une projectionpsur un sous-espace vectorielF deE de dimensionk et une baseB_F de F. Ainsi l’application :

(v1, . . . ,vk)7→det_BF(p(v1), . . . ,p(vk)) appartient `a

k

^E^∗.

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k.

L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L₁∧ · · · ∧L_k(v₁, . . .v_k) = det((L_i(v_j))_i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v , . . . ,v tels que L(v) = 1 sii=j et 0 sinon.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Proposition 2

Soit (L1, . . . ,Lk)∈(E^∗)^k. L’application not´ee L1∧ · · · ∧Lk et d´efinie par L1∧ · · · ∧Lk(v1, . . .vk) = det((Li(vj))i,j),

est une formek-lin´eaire altern´ee ie un ´el´ement deVk

E^∗.

De plus, cette forme est nulle si et seulement si la famille{L1, . . . ,L_k}est li´ee et pour toutσ∈S_k, on a

L_σ(1)∧ · · · ∧L_σ(k)=ε(σ)L₁∧ · · · ∧L_k.

PreuveOn d´eduit directement des propri´et´es du d´eterminant queL1∧ · · · ∧Lk est k-lin´eaire et altern´e.

Si lesLi sont li´es, alors quels que soient lesvj, les vecteurs colonnes de la matrice (Li(vj))i,j sont li´es.

R´eciproquement, si elles forment une famille libre, on peut trouver des vecteurs v1, . . . ,vk tels que Li(vj) = 1 sii=j et 0 sinon.

On a alorsL1∧ · · · ∧Lk(v1, . . . ,vk) = 16= 0.

Appliquer une permutationσaux lignes d’une matrice multiplie son d´eterminant parε(σ). Donc pour toutv₁, . . . ,v_k, det(L_σ(i)(v_j)_i,j) =ε(σ) det(L_i(v_j)_i,j).

Alg`ebre tensorielle.

Exemple 3

Soient (e1, . . . ,en) une base de E de base duale (e₁^∗, . . . ,e_n^∗), 1≤i1<· · ·<ik ≤net 1≤j1<· · ·<jk ≤ndes entiers.

On ae_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 1 si et seulement si (i1, . . . ,ik) = (j1, . . .jk) et e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 0 sinon. Ainsi la famille{e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k|1≤i1<· · ·<ik ≤n}est libre.

Th´ eor` eme 4

Soit L∈Vk

E^∗. Si(e1, . . . ,en)est une base de E de base duale(e₁^∗, . . . ,e_n^∗)alors

L= X

1≤i1<···<ik≤n

L(ei1, . . . ,ei_k)e_i^∗₁∧ · · · ∧e_i^∗_k.

Alg`ebre tensorielle.

Exemple 3

Soient (e1, . . . ,en) une base de E de base duale (e₁^∗, . . . ,e_n^∗), 1≤i1<· · ·<ik ≤net 1≤j1<· · ·<jk ≤ndes entiers.

On ae_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 1 si et seulement si (i1, . . . ,ik) = (j1, . . .jk) et e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 0 sinon.

Ainsi la famille{e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k|1≤i1<· · ·<ik ≤n}est libre.

Th´ eor` eme 4

Soit L∈Vk

E^∗. Si(e1, . . . ,en)est une base de E de base duale(e₁^∗, . . . ,e_n^∗)alors

L= X

1≤i1<···<ik≤n

L(ei1, . . . ,ei_k)e_i^∗₁∧ · · · ∧e_i^∗_k.

Alg`ebre tensorielle.

Exemple 3

Soient (e1, . . . ,en) une base de E de base duale (e₁^∗, . . . ,e_n^∗), 1≤i1<· · ·<ik ≤net 1≤j1<· · ·<jk ≤ndes entiers.

On ae_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 1 si et seulement si (i1, . . . ,ik) = (j1, . . .jk) et e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 0 sinon.

Ainsi la famille{e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k|1≤i1<· · ·<ik ≤n}est libre.

Th´ eor` eme 4

Soit L∈Vk

E^∗. Si(e1, . . . ,en)est une base de E de base duale(e₁^∗, . . . ,e_n^∗)alors

L= X

1≤i1<···<ik≤n

L(ei1, . . . ,ei_k)e_i^∗₁∧ · · · ∧e_i^∗_k.

Alg`ebre tensorielle.

Exemple 3

Soient (e1, . . . ,en) une base de E de base duale (e₁^∗, . . . ,e_n^∗), 1≤i1<· · ·<ik ≤net 1≤j1<· · ·<jk ≤ndes entiers.

On ae_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 1 si et seulement si (i1, . . . ,ik) = (j1, . . .jk) et e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(ej₁, . . . ,ej_k) = 0 sinon.

Ainsi la famille{e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k|1≤i1<· · ·<ik ≤n}est libre.

Th´ eor` eme 4

Soit L∈Vk

E^∗. Si(e1, . . . ,en)est une base de E de base duale(e₁^∗, . . . ,e_n^∗)alors

L= X

1≤i1<···<ik≤n

L(ei1, . . . ,ei_k)e_i^∗₁∧ · · · ∧e_i^∗_k.

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn i=1v_jⁱe_i.

Comme Lest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0.

S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k).

On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)).

D’o`u L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i1<···<ik

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))

= X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik)e_i^∗

1∧ · · · ∧e_i^∗

k(v₁, . . . ,v_k).

Alg`ebre tensorielle.

Preuve

On notev_j =Pn

i=1v_jⁱe_i. CommeLest multilin´eaire on a L(v1, . . . ,vk) = X

i1,...,ik

v₁ⁱ¹. . .v_k^ikL(ei1, . . . ,ei_k).

Si lesi1, . . . ,ik ne sont pas tous distincts alorsL(ei₁, . . . ,ei_k) = 0. S’ils sont tous distincts il existe une unique permutationσtelle queiσ(1)<· · ·<iσ(k). On a alorsL(ei1, . . . ,ei_k) =ε(σ)L(ei_σ(1), . . . ,ei_σ(k)). D’o`u

L(v₁, . . . ,v_k) = X

i₁<···<ik

L(e_i1, . . . ,e_ik) X

σ∈Sk

ε(σ)v₁^iσ(1). . .v_k^iσ(k)

= X

i₁<···<i_k

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈Sk

ε(σ)v_σ(1)ⁱ¹ . . .v_σ(k^ik ₎

= X

i<···<i

L(ei₁, . . . ,ei_k) X

σ∈S

ε(σ)e_i^∗₁(v_σ(1)). . .e_i^∗_k(v_σ(k))