Vega [BV08, BV09, BV12, BV13, BV13-a, BV15] `a propos de l’´equation du flot par courbure binormale

LE FLOT BINORMAL, L’´EQUATION DE SCHR ¨ODINGER ET LES TOURBILLONS FILAMENTAIRES

[d’apr`es Valeria Banica et Luis Vega]

par Evelyne MIOT

INTRODUCTION

Le but de cet expos´e est de pr´esenter un ensemble de travaux de V. Banica et L.

Vega [BV08, BV09, BV12, BV13, BV13-a, BV15] `a propos de l’´equation du flot par courbure binormale. Cette ´equation, issue de la m´ecanique des fluides, d´ecrit l’´evolution des tourbillons filamentaires – ´ecoulements de fluides pour lesquels le tourbillon se concentre le long d’une courbe de l’espace. Il existe une famille remarquable de solutions auto-similaires de ce flot, qui d´eveloppent une singularit´e ponctuelle `a temps ´egal `a z´ero. Ce sont les questions d’existence et de stabilit´e de cette dynamique singuli`ere qui constituent le cœur des r´esultats expliqu´es ici. L’approche repose de fa¸con essentielle sur le lien qui unit le flot binormal et l’´equation de Schr¨odinger.

1. LE FLOT PAR COURBURE BINORMALE 1.1. Une br`eve pr´esentation

L’objet d’´etude de cet expos´e est l’´equation du flot par courbure binormale⁽¹⁾

(B) ∂_tχ=∂_xχ∧∂_xxχ.

Ici, χ :R+×R → R³, (t, x)7→ χ(t, x) d´esigne une courbe param´etr´ee par la longueur d’arc x ∈ R au temps t ∈ R+. L’´equation (B) est un mod`ele asymptotique r´egissant l’´evolution des tourbillons filamentaires – ´ecoulements de fluides o`u le tourbillon se concentre pour tout temps t ∈R+ le long d’une courbe de l’espace. Il a ´et´e obtenu de fa¸con formelle, `a partir des ´equations de la m´ecanique des fluides, par Da Rios [DR1906], puis red´ecouvert par Arms et Hama [AH65]. On mentionne ´egalement l’article r´ecent de Jerrard et Seis [JS16] pour une d´erivation rigoureuse sous des hypoth`eses plus faibles de concentration du tourbillon. Bien que certaines des caract´eristiques physiques des filaments ne soient pas retrouv´ees au travers de ce mod`ele, l’´equation (B) pr´esente des propri´et´es math´ematiques riches et permet de pr´edire certaines dynamiques singuli`eres, notamment celles des solutions auto-similaires.

1. Dans toute cette note, ∂y d´esigne la d´eriv´ee partielle ∂/∂y par rapport `a y et ∂yy la d´eriv´ee partielle d’ordre deux∂²/∂y².

En notant c(t,·) la courbure, τ(t,·) la torsion, et (T(t,·), n(t,·), b(t,·)) le rep`ere de Serret-Frenet associ´es `a la courbe χ(t,·)⁽²⁾, de sorte que T(t,·) = ∂_xχ(t,·) : R → S², on remarque que ∂_xχ∧∂_xxχ = T ∧∂_xT = cT ∧n. Ainsi, (B) admet une forme plus condens´ee qui explique son appellation :

∂_tχ=cb.

Par ailleurs, en d´erivant chacun des termes de (B) par rapport `a x, on obtient une

´equation pour le vecteur tangent uniquement, nomm´ee ´equation pour les applications de Schr¨odinger⁽³⁾.

(1) ∂_tT =T ∧∂_xxT.

1.2. Quelques r´esultats d’existence de solutions

Le flot binormal admet plusieurs solutions explicites et simples :

• Les droites de R³ (qui forment des solutions stationnaires) ;

• Les courbes qui forment des cercles se propageant en translation uniforme dans la direction perpendiculaire `a celle du cercle, `a vitesse ´egale `a l’inverse du rayon du cercle ;

• Les courbes qui forment des h´elices.

Il s’agit dans ces exemples de solutions r´eguli`eres ; il existe aussi une th´eorie pour des solutions non n´ecessairement deux fois d´erivables. Par exemple, on peut donner une formulation de (B) au sens des distributions pour des courbes appartenant `aL^∞(H^3/2).

De plus, d’apr`es le paragraphe pr´ec´edent, les probl`emes de Cauchy pour (B) et pour (1) peuvent se traiter en parall`ele. Ceci permet d’obtenir le caract`ere globalement bien pos´e dans L^∞(H³) pour (B), par combinaison des articles de Ding et Wang [DW01]

et Chang, Shatah et Uhlenbeck [CSU00] ou d’apr`es Nahmod, Shatah, Vega et Zeng [NSVZ06]. Plus r´ecemment, Jerrard et Smets [JS12] (voir aussi [S13]) ont ´etabli des r´esultats de stabilit´e pour (B) et (1) dans des espaces de r´egularit´e plus faible.

L’´evolution de courbes trop singuli`eres pour entrer dans le cadre pr´ec´edent a ´et´e consid´er´ee par diff´erents auteurs. Jerrard et Smets [JS15] ont introduit une formu- lation faible permettant de traiter des filaments avec des auto-intersections. Le cas de filaments en forme de polygones r´eguliers, comportant donc plusieurs singularit´es de type coin, a ´et´e ´etudi´e par De la Hoz et Vega [DLHV15] grˆace `a des tech- niques alg´ebriques. Ceci fait ´egalement l’objet d’un travail en cours de Banica et Vega [BV16]. Des simulations num´eriques pour la dynamique de ces filaments polygonaux ont ´egalement ´et´e r´ealis´ees par Smets [S13].

Enfin, les filaments qui forment des courbes r´eguli`eres sauf en un point (t, x) en lequel le filament forme un coin, ainsi que leurs perturbations, constituent l’objet central des travaux de V. Banica et L. Vega et b´en´eficieront d’un traitement `a part dans la suite de cet expos´e.

2. Voir (4) ci-apr`es pour un rappel de la d´efinition pr´ecise.

3. Schr¨odinger map equation, dans la terminologie anglo-saxonne.

1.3. Les solutions auto-similaires

Comme mentionn´e plus haut, des solutions remarquables de (B) sont donn´ees par des courbes auto-similaires. On les recherche sous la forme suivante :

(2) χ(t, x) = √

tG x

√t

, t >0, x∈R,

o`u G est une fonction lisse d´efinie sur R. En effet, la variable auto-similaire x/√ t est la seule compatible avec les ´echelles de l’´equation. De telles solutions sont r´eguli`eres `a t >0 et d´eveloppent une singularit´e `at = 0. Celle-ci est n´ecessairement de type coin

`

a l’origine, au sens que χ(0, x) est la r´eunion de deux demi-droites formant un angle non nul `ax= 0 :

(3) χ(0, x) = A₊x1R+(x) +A−x1R⁻(x),

avec A₊ et A− deux vecteurs non colin´eaires de R³. Les filaments de la forme (2) apparaissent dans diff´erents contextes en physique, et leur comportement est illustr´e par les figures 1 et 2 : dans les fluides, comme expliqu´e pr´ec´edemment, dans les superfluides [S85, LI02, LI03] et en ferromagn´etisme [LD81, LRT76, B88].

D’un point de vue math´ematique, des calculs simples, connus depuis longtemps, per- mettent de voir que les solutions auto-similaires (2) forment une famille `a un param`etre a, dont la courbure et la torsion en (t, x) valent a/√

t et x/2t respectivement (voir l’annexe 1 de [GRV03]).

L’analyse approfondie de telles solutions, comportant une description pr´ecise de leur comportement au voisinage de la singularit´e, a ´et´e r´ealis´ee par Guti´errez, Rivas et Vega [GRV03]. Nous donnons ici une version partielle de leur principal r´esultat.

Th´eor`eme 1.1 (Existence et description des solutions auto-similaires, [GRV03]) Soient A₊ et A− deux vecteurs de R³ non colin´eaires. Soit a >0 d´etermin´e par la formule sin

(A\₊, A−)/2

=e^−πa

2 2 .

Il existe une unique solution, not´ee χ_a, `a l’´equation (B) de la forme (2) sur R<sup>∗</sup>+×R, o`u G est de classeC^∞, et qui se comporte comme (3) `a t= 0 au sens que

sup

x∈R

χ_a(t, x)−A₊x1R+(x)−A₋x1R−(x) ≤a√

t.

De plus, pour t >0, la courbure de la courbe χ_a(t,·) est constante, ´egale `a a/√

t, et sa torsion au point x est ´egale `a x/2t.

Enfin, il existe deux vecteurs B₊ et B− de C³, qui sont orthogonaux `a A₊ et A−

respectivement, tels que B±= lim

t→0(n+ib)(t, x)e^ix

2 4te^ia2ln

_|x|

√ t

, pour ±x >0.

]

Figure 1. Tourbillons filamentaires dans un fluide rencontrant un obstacle triangulaire de type aile delta, H. Werl´e, ONERA 1963.

Figure 2. Tourbillons filamentaires apr`es une reconnexion de lignes de tour- billon quantique dans du h´elium superfluide, E. Fonda et al., Proc. Nat. Acad.

Sci. (2014), 4707-4710.

Mentionnons qu’une ´etude semblable a ´et´e men´ee r´ecemment par Guti´errez et De Laire [GDL15] pour une version dissipative de l’´equation (1), l’´equation de Landau- Lifshitz-Gilbert r´egissant l’´evolution de mat´eriaux ferromagn´etiques avec aimantation T ∈S² :

∂_tT =T ∧∂_xxT −αT ∧(T ∧∂_xxT),

o`uα >0. Dans ce cadre, les solutions auto-similaires de [GDL15] d´eveloppent le mˆeme type de singularit´e coin `a t = 0 et leur torsion a la mˆeme expression que dans le Th´eor`eme 1.1 pr´ec´edent. Toutefois le caract`ere dissipatif se retrouve au niveau de la courbure, donn´ee par c(t, x) = ae^−αx

2 4t /√

t.

2. STABILIT´E ET EXISTENCE AUTOUR DE LA DYNAMIQUE SINGULI`ERE : ´ENONC´ES DES R´ESULTATS

Le programme des articles [BV08, BV09, BV12, BV13] vise `a analyser les probl´ematiques de stabilit´e et d’existence autour de la solution auto-similaire χ<sub>a</sub> d´ecrite au Th´eor`eme 1.1. Plus pr´ecis´ement, la notion de stabilit´e qui a motiv´e ces travaux est celle de la stabilit´e de la formation de la singularit´e de type coin `a t = 0.

En partant d’un filament proche - en un sens `a d´efinir - de χ_a(1) et en le laissant

´evoluer par le flot par courbure binormale, y-a-t-il encore formation d’un coin `a t = 0 ? Le cas ´ech´eant, quelles en sont les principales caract´eristiques g´eom´etriques ? Des r´eponses abouties dans ce sens sont apport´ees par [BV15] `a l’aide du panel de

r´esultats des articles pr´ec´edents [BV08, BV09, BV12, BV13]. Nous en donnons ici des formulations simplifi´ees. Le premier d’entre eux⁽⁴⁾ concerne lastabilit´e de la formation de la singularit´e `a t = 0.

Th´eor`eme 2.1 (Stabilit´e de la formation de la singularit´e coin, [BV15])

Soit a > 0. Soit χin une courbe appartenant `a C<sup>4</sup>(R,R<sup>3</sup>) qui est proche de χa(1) dans un sens d´efini au paragraphe 4 (voir (19)) ci-apr`es. Il existe une unique solution χ∈C([0,1],Lip(R,R³))∩C((0,1], C⁴(R,R³)) `a l’´equation (B)telle que χ(1) =χin. De plus, cette solution v´erifie les propri´et´es suivantes.

• Il existe une courbeχ₀ ∈Lip(R,R³)∩C¹(R^∗,R³) telle que χ(t,·)converge vers χ₀ et T(t,·) vers T₀ = ∂_xχ₀ lorsque t tend vers z´ero au sens suivant : il existe C₁ > 0 et pour tout α <1/6, pour tout ε >0, il existe C(ε, α)>0 tel que

sup

x∈R

|χ(t, x)−χ0(x)| ≤C1

√

t, sup

|x|≥ε

|T(t, x)−T0(x)| ≤C(ε, α)t^α.

• Il existe T_±^∞ ∈S², N_±^∞ ∈C³ et C₂ >0 tels que sup

t∈(0,1]

T(t, x)−T_±^∞

≤ C₂

p|x|, ∀x∈R^∗, sup

t∈(0,1]

(n+ib)(t, x)e^ix

2 4t e^ia2ln

_|x|

√ t

−N_±^∞

≤ C₂

p|x|, ∀ ±x >0.

• A translation et rotation pr`` es, la courbe χ exhibe en (t, x) = (0,0)une singularit´e de mˆeme structure que celle de χ_a, au sens que⁽⁵⁾

lim

x→0^±T₀(x) = A±, lim

x→0^±lim

t→0

(n+ib)(t, x)e^{iR0xτ(t,y)dy}e^ia2ln

_|x|

√ t

=B±.

Le r´esultat suivant permet d’´etendre la solution au del`a de la formation de la singu- larit´e pour des temps strictement n´egatifs :

Th´eor`eme 2.2 (Continuation de la solution apr`es le temps de singularit´e,[BV15]) Sous les mˆemes hypoth`eses qu’au Th´eor`eme 2.1, il existe une courbe

χe∈C([−1,1],Lip(R,R³))∩C([−1,1]\ {0}, C⁴(R,R³))

telle que χe = χ sur (0,1] ×R et qui v´erifie l’´equation par courbure binormale sur [−1,0)×R∪(0,1]×R. Cette solution est unique parmi les courbes de telle r´egularit´e et telles que χ(−1) est une perturbation de χ_a(1) au sens du paragraphe 4.

De plus, le vecteur tangent Te(t, x) = ∂_xχ(t, x)e v´erifie les propri´et´es et estimations du Th´eor`eme 2.1, en rempla¸cant t par |t|.

4. L’ordre que nous choisissons ici est diff´erent de celui de [BV15], pour des raisons de pr´esentation.

5. On rappelle queτ(t, y) d´esigne la torsion deχ(t,·) eny.

Remarque 2.3. — Il est possible de formuler l’´equation (B) dans un sens faible pour le vecteur tangent sur tout l’ensemble [−1,1]×R (voir (19) dans [BV15]), en remarquant queTe∧∂_xxTe=∂_x(Te∧∂_xTe) et queTe∧∂_xTeest une mesure de Radon ; plus exactement, Te∧∂xTe−δ(t,x)=(0,0) ∈L¹([−1,1]×R).

Comme ´etape suivante se pose la question naturelle du caract`ere bien pos´e de (B) avec donn´ee initiale singuli`ere de mˆeme nature que les prototypes de tourbillons donn´es par (2).

Th´eor`eme 2.4 (Le probl`eme aux donn´ees initiales singuli`eres)

Soit χ₀ une courbe appartenant `a C<sup>4</sup>(R\ {0},R<sup>3</sup>) et qui est singuli`ere en x= 0 au sens suivant : il existe deux vecteurs non colin´eaires A₊ et A− tels que

lim

x→0^±∂_xχ₀(x) = A_±. Soit a > 0 d´efini par sin

(A\₊, A−)/2

=e^−πa2/2. On suppose que la courbure c de χ₀, d´efinie sur(−∞,0)∪(0,+∞), v´erifie des hypoth`eses de petitesse par rapport `aa : pour tout 0< γ <1/2, il existe C(a, γ)>0 tel que

k(1 +|x|⁴)ck_L²_(−∞,0)+k(1 +|x|⁴)ck_L²_(0,+∞)+ sup

x∈(0,1]

|x|^γc(x) + sup

x∈[−1,0)

|x|^γc(x)≤C(a, γ).

Alors il existe une unique courbe

χ∈C([−1,1],Lip(R,R³))∩C([−1,1]\ {0}, C⁴(R,R³))

solution r´eguli`ere de (B) sur [−1,0)× R∪ (0,1] × R, qui v´erifie les propri´et´es des Th´eor`emes 2.1 et 2.2 avec cette courbe χ₀.

Remarque 2.5. — Le Th´eor`eme 2.4 autorise bien les prototypes de filaments avec un coin, `a savoir les χ₀ =χ_a(0) donn´es par (3) pour tout a > 0. En effet, la courbure est alors nulle pourx6= 0. Il permet de consid´erer ´egalement des perturbations (en termes de la courbure) de ces filaments `a coin.

Remarque 2.6. — La notion de proximit´e entre courbes mise en jeu aux Th´eor`emes 2.1 et 2.4 est d´efinie de fa¸con locale, au voisinage de la singularit´e, et s’appuie sur la correspondance avec l’´equation de Schr¨odinger d´ecrite ci-dessous. Elle ne signifie pas n´ecessairement une proximit´e g´eom´etrique en tout point.

3. VERS L’´EQUATION DE SCHR ¨ODINGER

3.1. Transformation de Hasimoto, une correspondance formelle

Nous introduisons `a pr´esent une nouvelle ´ecriture de l’´equation du flot par courbure binormale qui fait appel `a une transformation due `a Hasimoto [H72]. Dans ce para- graphe, toutes les fonctions en jeu sont suppos´ees assez r´eguli`eres pour que les calculs

puissent ˆetre effectu´es. Rappelons que (T, n, b) d´esigne le rep`ere de Serret-Frenet associ´e

`

a la courbe, et notonscetτ la courbure et la torsion, d´efinies par les formules de Frenet

(4) ∂_x



 T n b



=





0 c 0

−c 0 τ 0 −τ 0







 T n b



.

Hasimoto d´emontre alors que si la courbure ne s’annule pas, la fonction suivante, appel´ee fonction filament

(5) ψ(t, x) =c(t, x) exp

i

Z x 0

τ(t, y)dy

, v´erifie l’´equation de Schr¨odinger non-lin´eaire cubique

(S) i∂_tψ+∂_xxψ+ψ

2 |ψ|²−A(t)

= 0,

o`uA(t) est d´efinie explicitement en fonction dec(t,0) etτ(t,0). Plus exactement, on a A(t) =

2∂_xxc²−cτ² c +c²

(t,0).

Notons ici qu’en posant

Ψ(t,·) = ψ(t,·) exp i

2 Z t

0

A(s)ds

on est ramen´e `a l’´equation de Schr¨odinger cubique classique

(6) i∂_tΨ +∂_xxΨ + 1

2Ψ|Ψ|² = 0.

L’id´ee de preuve dans [H72] consiste `a utiliser les ´equations de Frenet en diff´erentiant deux fois le vecteur normal complexe

(7) N(t, x) = (n+ib)(t, x) exp

i Z x

0

τ(t, y)dy

,

puis en identifiant les d´eriv´ees partielles ∂_txN et ∂_xtN. Ainsi que l’a remarqu´e Koiso [K95], il est possible de s’affranchir de l’hypoth`ese de non annulation de la courbure en consid´erant, au lieu du rep`ere de Serret-Frenet, un rep`ere orthonormal parall`ele (T(t,·), e₁(t,·), e₂(t,·)) qui v´erifie

(8) ∂x



 T e₁ e₂



(t,·) =





0 α β

−α 0 0

−β −0 0







 T e₁ e₂



(t,·);

alors ψ(t,·) = α(t,·) +iβ(t,·) est solution de l’´equation (S) pour une certaine autre fonction A(t). On renvoie le lecteur `a l’annexe A de l’article de revue [P06] pour le d´etail des calculs.

L’op´eration r´eciproque, qui consiste `a retrouver le flot par courbure binormale depuis l’´equation de Schr¨odinger, s’effectue formellement de la fa¸con suivante (voir par exemple la section 2 dans [BV13]). Soitψ une solution suffisamment r´eguli`ere de (S). Soient

α= Reψ, β = Imψ.

Un rep`ere orthonorm´e initial (T, e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>)(0,0) ´etant fix´e, on d´etermine d’abord (T, e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>)(t,0) pour tout t ≥0 via le syst`eme

(9) ∂_t



 T e₁ e₂



(t,0) =





0 −∂_xβ ∂_xα

∂_xβ 0 −¹₂(|ψ|²−A(t))

−∂_xα ¹₂(|ψ|²−A(t)) 0



(t,0).

Puis, on cherche (T, e₁, e₂)(t,·) comme l’unique solution correspondante de (8). En posant

N =e₁+ie₂

et en utilisant le fait queψ satisfait (S), on v´erifie d’une part que (10)







∂_xT = Re (ψN), ∂_xN =−ψT

∂_tT = Im (ψN), ∂_tN =−i∂_xT − i

2 |ψ|²−A(t) N, et d’autre part que

∂_tT =T ∧∂_xxT.

Le syst`eme (10) interviendra au paragraphe 5.2 dans la preuve du Th´eor`eme 2.1.

Finalement, il suffit de fixer (t₀, x₀)∈ R+×R et un point M₀ ∈R³, puis de d´efinir χ(t, x) par la formule

(11) χ(t, x) = M₀+ Z x

x0

T(t, y)dy+ Z t

t0

(T ∧∂_xT)(s, x₀)ds

qui est alors bien une solution du flot par courbure binormale tel que χ(t₀, x₀) =M₀. Remarque 3.1 ([BV13]). — Les quantit´es d´efinies ci-dessus sont li´ees par les formules (lorsque ψ ne s’annule pas)

c=|ψ|, τ = Im ∂_xψ

ψ

,

N(t, x) = (e₁+ie₂)(t, x) = (n+ib)(t, x) exp

i Z x

0

τ(t, y)dy

. 3.2. D’autres connections avec l’´equation de Schr¨odinger

Il existe un autre passage c´el`ebre entre le domaine de la m´ecanique des fluides et celui des ´equations de Schr¨odinger, mis en lumi`ere par Madelung [M27]. La transformation de Madelung associe `a une solution ψ de l’´equation de Gross-Pitaevskii

(12) i∂_tψ+1

2∆ψ+ψ(1− |ψ|²) = 0, ψ :R×R^d→C, d∈ {2,3}

une densit´e ρ = |ψ|² et un vecteur v = ∇arg(ψ). Alors les variables ρ et v satisfont `a un syst`eme de type Euler compressible avec pression quantique, appel´eforme hydrody- namique de (12)

(13)







∂_tρ+∇ ·(ρv) = 0

∂_tv+ (v· ∇)v+∇(1−ρ) = ∇ ∆√

ρ 2√

ρ

.

On pourra consulter l’article de revue de Carles, Danchin et Saut [CDS12] pour davan- tage de d´etails `a ce sujet. Ainsi, la transformation de Hasimoto peut ˆetre vue comme la transformation inverse `a celle de Madelung, en posant ρ=c² etv = 2τ.

Lorsque le module |ψ| de la solution de l’´equation de Gross-Pitaevskii est proche de un, la forme hydrodynamique (13) s’identifie `a l’´equation d’Euler incompressible. Or, c’est de cette derni`ere que provient le flot par courbure binormale dans les fluides com- portant des filaments. Il est en fait conjectur´e que le flot binormal est un mod`ele limite pertinent dans certains r´egimes asymptotiques de l’´equation de Gross-Pitaevskii⁽⁶⁾. Ceci a ´et´e ´etabli rigoureusement, pour le cas du cercle en translation uniforme, par Jerrard [J02].

Enfin, mentionnons l’apparition desyst`emesd’´equations de Schr¨odinger non lin´eaires r´egissant l’interaction de plusieurs filaments tourbillonnaires. Lorsque ces derniers sont suppos´es ˆetre de petites perturbations deN filaments droits et tous parall`eles au mˆeme axe, leurs positions peuvent ˆetre d´ecrites `a l’aide de fonctions Ψj : R×R → C qui

´evoluent selon un mod`ele obtenu par Klein, Majda and Damodaran [KMD95] : i∂_tΨ_j+ Γ_j∂_xxΨ_j +X

k6=j

Γ_k Ψ_j −Ψ_k

|Ψ_j −Ψ_k|² = 0, 1≤j ≤N,

o`u les Γ<sub>j</sub> ∈R sont les circulations des filaments. Notons que ce syst`eme se r´eduit `a un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires (syst`eme des tourbillons ponctuels) pour des filaments droits c’est-`a-dire lorsque Ψj(t, x) = Ψj(t).

3.3. Fonctions filaments des solutions particuli`eres

En calculant les courbures et torsions des solutions particuli`eres ´enum´er´ees pr´ec´edemment, nous pouvons donner les formules explicites des fonctions filament correspondantes :

• Pour les lignes droites, la courbure cest identiquement nulle, donc ψ ≡0, A≡0 ;

• Pour les anneaux en translation uniforme, la courbure c = c₀ est constante, la torsionτ est identiquement nulle, donc ψ(t, x) = ψ0 est constante et A(t) =A0 =c²₀;

• Pour les h´elices, c = c₀ et τ = τ₀ sont constantes, donc ψ(t, x) = c₀exp(iτ₀x) et A(t) = −2τ₀²+c²₀;

6. Apr`es changement d’´echelle en temps et en espace.

• Venons-en aux solutions auto-similaires. Pour χ_a d´efinie au Th´eor`eme 1.1, nous avons vu que c_a(t, x) =a/√

t et τ_a(t, x) =x/2t. Donc

(14) ψ_a(t, x) = a

√texp ix²

4t

, de sorte que A(t) = a²/t etψ_a est solution de l’´equation

(15) i∂tψ+∂xxψ+ ψ

2

|ψ|²− a² t

= 0.

Dans le formalisme de Hasimoto, les singularit´es de type coin pour le filament se tra- duisent par une masse de Dirac pour la fonction filament. Plus pr´ecis´ement, la fonction filament du filament constitu´e de deux demi-droites de directionsA₋ etA₊, c’est-`a-dire la limite χ_a(0, x) de χ_a(t, x) lorsquet tend vers z´ero, est la mesure de Dirac

ψ_a(0, x) = aδ_x=0.

De fa¸con r´eciproque, la proc´edure pr´esent´ee plus haut permet de construire, `a partir de solutions explicites pour (S), de nouvelles solutions explicites mais plus complexes pour l’´equation (B). C’est le cas par exemple de la solution en forme de filament avec propagation de soliton trouv´ee dans [H72] :

ψ(t, x) = 1 2√

2

1

cosh(x−2N t)exp −iN²t+iN x

, A(t) = −1, o`u N ∈R.

4. FORMULATION DES PROBL`EMES DE STABILIT´E ET

D’EXISTENCE AUTOUR DE LA DYNAMIQUE SINGULI`ERE La cl´e des d´emonstrations des Th´eor`emes 2.1, 2.2 et 2.4 tient dans la reformulation syst´ematique des probl´ematiques envisag´ees en termes de fonction filament et d’´equation de Schr¨odinger. La difficult´e majeure r´eside dans le fait que l’on consid`ere des donn´ees - initiales ou finales, selon le point de vue - de type mesure de Dirac, qui n’appartiennent pas aux espaces de r´esolution usuels pour l’´equation de Schr¨odinger non lin´eaire : pour tout s≥0, le probl`eme de Cauchy est globalement bien pos´e dansH^s (voir les articles [GV79, CW90]) et mal pos´e lorsque s <0 [KPV01]. Plus exactement, le probl`eme est mal pos´e lorsque la donn´ee initiale est la mesure de Diracaδ0 : sinon, l’unique solution serait e^ia2lntψa(t, x) qui n’a pas de limite en t= 0.

Latransformation pseudo-conforme est un moyen d’ˆoter la mesure de Dirac dans la donn´ee initiale ψ_a(0, x) et de se ramener `a l’´etude de la solution lorsque t tend vers l’infini. Elle consiste `a poser, pour une solution ψ de (15),

(16) ψ(t, x) =Tv(t, x) = e^ix

2

√4t

t v 1

t,x t

.

Alors la fonction v est solution de

(17) i∂_tv+∂_xxv+ v

2t |v|²−a²

= 0.

De plus, lorsque ψ =ψ_a, on av =a.

Finalement, le probl`eme de stabilit´e pour les solutions χ du flot par courbure bi- normale, autour des solutions auto-similaires χ<sub>a</sub> au voisinage de la formation de la singularit´e, c’est-`a-dire lorsque t tend vers z´ero, peut ainsi se reformuler en les termes suivants.Analyser le comportement des solutions de (17) de la forme v =a+u lorsque t tend vers l’infini, lorsque la perturbation u appartient `a un espace fonctionnel appro- pri´e, a une petite norme dans cet espace - au moins initialement, c’est-`a-dire `a t= 1, et v´erifie l’´equation

(18) i∂_tu+∂_xxu+ a+u

2t |a+u|²−a²

= 0,

compl´et´ee ´eventuellement de la donn´ee initiale u(1) = u_in. Dans ce dernier cas, la fonction filament de la courbe correspondante χ_in `a t= 1 est donn´ee par

(19) ψ_in(x) = ψ(1, x) = ae^ix

2

4 +u_ine^ix

2 4 .

On convient de dire que la courbe χ_in est proche de χ_a(1) si u_in, ainsi que ses quatre premi`eres d´eriv´ees, sont assez petites dans un espace fonctionnel appropri´e, d´efini dans (21) ci-dessous.

L’analyse de (18) comporte plusieurs volets, ´etudi´es dans les diff´erents articles [BV08, BV09, BV12, BV13, BV15] que nous rapportons ci-dessous. Les propri´et´es dites de

scattering⁽⁷⁾ - op´erateurs d’ondes, compl´etude asymptotique - li´ees au caract`ere dispersif de l’´equation jouent un rˆole central dans la d´emonstration du Th´eor`eme 2.4, comme nous l’expliquerons au paragraphe 5.3 ci-apr`es.

• L’existence globale d’une solution de (18) dansC([1,+∞), H¹), pour toute donn´ee initiale u_in ∈ H¹, est ´etablie dans [BV08]. Ce r´esultat repose sur l’´energie associ´ee `a (17),

E(t) = 1 2

Z

R

|∂_xv|²dx+ 1 4t

Z

R

|v|²−a²2

dx, qui v´erifie l’estimation de d´ecroissance

d

dtE(t) =− 1 4t²

Z

R

|v|²−a²2

dx≤0.

• La construction d’op´erateurs d’ondes fait l’objet de [BV09] sous des hypoth`eses de petitesse dea. Plus pr´ecis´ement, sis∈N, soitu₊ petit dans l’espace ˙H⁻²∩H^s∩W^s,1.

7. Diffusion en fran¸cais, mais ce terme est davantage utilis´e en anglais.

Alors il existe une unique solution u ∈ C([1,+∞, H^s) de (18) telle que pour tout 1≤k ≤s,

sup

t≥1

√ t

u(t)−e^ia2ln

√

te^{i(t−1)∂xx}u_{+ L2} + sup

t≥1

t

u(t)−e^ia2ln

√

te^{i(t−1)∂xx}u_{+ ˙}

H^k

≤C(a, u₊).

On appelle u₊ ´etat final. On parle de ph´enom`ene longue port´ee car la solution ainsi construite se comporte de fa¸con asymptotique comme la solution de l’´equation lin´earis´ee de (18) avec donn´ee initiale u<sub>+</sub> `a un facteur e^ia2ln

√t pr`es.

En particulier, ceci signifie que la fonction filament ψ(t, x) se comporte comme

(20) a

√te^ix

2

4t +e^ia2ln

√t

√4πi uc₊

−x 2

lorsque t tend vers z´ero. Nous verrons plus loin qu’en d´epit de cette divergence, la courbe χ(t, x), ainsi que ses vecteurs tangent et normal, ont quant `a eux une limite lorsque t tend vers z´ero.

• La compl´etude asymptotique est ´etablie dans [BV12] au sens suivant. Pour un certain 0< γ <1/2, les auteurs introduisent l’espace

(21) X^γ =n

f ∈L²|ξ7→ |ξ|^γf(ξ)ˆ ∈L^∞([−1,1])o .

Soits∈Net soitu_intel queu^(k)_in soit petit dansX^γ, pour tout 0≤k≤s. Alors il existe une unique solution globaleu de (18) telle que u(1) =u_in et∂_x^ku∈L^∞((1,+∞), X^γ)∩ L⁴((1,+∞), L^∞). De plus, il existeu₊ ∈H^s, avec u^(k)₊ ∈X^γ, tel que

sup

t≥1

t^α

u(t)−e^ia2ln

√t

e^{i(t−1)∂xx}u₊

H^s ≤C(a, u_in, α),

pour tout α <1/2−γ. En termes g´eom´etriques, ce r´esultat implique que toute courbe χin qui est proche de la courbe χa - au sens o`u la perturbationuin a une norme petite dans X<sup>γ</sup>, ainsi que ses d´eriv´ees - donne lieu `a une solution r´eguli`ere `at >0 du flot par courbure binormale et qui d´eveloppe une singularit´e de type coin `a t = 0. Il s’agit l`a d’un premier r´esultat important de stabilit´e de la formation de la singularit´e, dont les caract´eristiques g´eom´etriques ne sont `a ce stade pas encore totalement pr´ecis´ees.

• L’existence d’op´erateurs d’ondes est `a nouveau ´etudi´ee dans [BV12], dans lequel les hypoth`eses d’appartenance `a ˙H⁻² et de petitesse deade [BV09] sont lev´ees. Il y est

´etabli que si u₊ est tel queu^(k)₊ est petit dans X^γ pour 0≤ k≤s, il existe une unique solution globale u de (18) telle que ∂_x^ku ∈ L^∞((1,+∞), X^γ)∩L⁴((1,+∞), L^∞) et qui v´erifie

sup

t≥1

t^α

u(t)−e^ia2ln

√te^{i(t−1)∂xx}u₊ H^s

≤C(a, u₊, α), pour toutα <1/2−γ.

• Une description g´eom´etrique pouss´ee de la formation de la singularit´e est fournie dans [BV13, Theorem 1.1]. Sous des hypoth`eses suppl´ementaires pour la perturbation u<sub>in</sub> (appartenance `a des espaces de Sobolev `a poids), le comportement de la solution du flot binormal χ, construite `a partir de la courbe χ_in dont la fonction filament `a t = 1 est donn´ee par (19), est d´ecrit de fa¸con quantitative via des estimations pour les vecteurs tangentT et normal complexe N semblables `a celles du Th´eor`eme 2.1. En particulier, on retrouve la formation du mˆeme coin que pour χ<sub>a</sub> `a t = 0, pour toute perturbation initiale de χ_a(1). Ceci d´emontre donc que la dynamique singuli`ere des solutions auto-similaires χ_a est stable.

5. ESQUISSES DE PREUVE

Le but de cette section est d’apporter des ´el´ements de preuve des diff´erents r´esultats pr´esent´es plus haut.

5.1. Scattering pour (18)

Ce paragraphe est d´edi´e `a la construction d’op´erateurs d’ondes pour (18) : ´etant donn´e un certain profil asymptotique w, il s’agit de construire une solution u globale qui en est proche lorsque ttend vers l’infini. La strat´egie usuelle, pour les ´equations de type Schr¨odinger non lin´eaires, consiste `a chercher un point fixe `a l’infini, autrement dit un point fixe u pour l’application r´esultant de la formule de Duhamel

(22) u7→w−i Z +∞

t

e^{i(t−s)∂xx}

a+u

2s |a+u|²−a²

−(i∂tw+∂xxw)(s)

ds.

Si l’on cherche comme profil asymptotique une solution de l’´equation de Schr¨odinger lin´eaire

w(t) =e^it∂xxu₊,

les termes lin´eaires du terme source - qui sont les plus d´elicats `a contrˆoler - dans l’int´egrale du membre de droite se comportent, lorsque t tend vers l’infini, comme

F₁(t, e^it∂xxu₊) = a² Z +∞

t

e^{i(t−s)∂xx}

e^is∂xxu+

2s

ds, F₂(t, e^it∂xxu₊) = a²

Z +∞

t

e^{i(t−s)∂xx} e^is∂xxu₊ 2s

! ds.

A l’inverse du second terme, le premier terme lin´` eaireF₁est a priori source de difficult´es, puisque d´epourvu d’oscillations :

Z +∞

t

e^{i(t−s)∂xx}

e^is∂xxu₊ 2s

H^s

ds=ku₊k_Hs

Z +∞

t

1

2sds= +∞.

Ceci sugg`ere de consid´erer le cas longue port´ee, en rempla¸cant u par ue^−ia2ln

√t, ce qui ram`ene `a l’´equation

(23) i∂_tu+∂_xxu+ a²

2t^1+ia2u=F(t, u).

Ici, F est une fonction non lin´eaire en u qui n’implique que des termes cubiques et quadratiques. L’analyse des propri´et´es de scattering comporte dans un premier temps l’´etude de l’´equation lin´eaire correspondante

(24) i∂_tu+∂_xxu+ a²

2t^1+ia2u= 0.

• Premi`eres estimations pour l’´equation lin´eaire (24).

On commence par des estimations ´etablies dans [BV12, Lemme 2.1, Lemme 2.2], puis am´elior´ees dans [BV13, Lemma 6.1], concernant la croissance des modes de Fourier pour l’´equation lin´eaire.

Lemme 5.1. — Soit u une solution de (24). Pour tout δ >0, il existe C(δ) tel que

|bu(t, ξ)| ≤C(δ)t^δ(|bu(1, ξ)|+|u(1,b −ξ)|), ∀ξ∈R, ∀t≥1,

|bu(t, ξ)| ≤

1 + C(δ)

|ξ|^δ

(|u(1, ξ)|b +|bu(1,−ξ)|), ∀ξ∈R^∗, ∀t ≥1.

Preuve (esquisse) — La transform´ee de Fourier de (24) donne i∂_tu(t, ξ)b −ξ²u(t, ξ) +b a²

t^1+ia2bu(t, ξ) = i∂_tu(t, ξ)ˆ −ξ²u(t, ξ) +b a²

t^1+ia2u(t,b −ξ) = 0.

En multipliant paru(t, ξ), puis en prenant la partie imaginaire, cette identit´b e m`ene `a 1

2∂_t|bu(t, ξ)|² =−a²Im 1

t^1+ia2u(t,b −ξ)bu(t, ξ)

. Ainsi,

(25) ∂_t|u(t, ξ)| ≤b a²

t |u(t,b −ξ)|,

et il en va de mˆeme en rempla¸cantξ par−ξ. D’o`u, en appliquant le Lemme de Gronwall

`

a la fonction t7→ |bu(t, ξ)|+|bu(t,−ξ)|,

|u(t, ξ)| ≤b t^a2(|bu(1, ξ)|+|u(1,b −ξ)|).

Le fait qu’il soit possible d’obtenir une croissance polynomiale en t ind´ependante de a est d´emontr´e dans [BV13, Lemma 6.1], `a l’aide de calculs de nature tr`es technique portant sur les quantit´esRedu etImdu. Nous les omettons ici.

Dans l’optique d’´etablir la propri´et´e de compl´etude asymptotique, on d´eduit du Lemme 5.1 une estimation pour le terme de DuhamelF₂(t, u) correspondant `a lapartie oscillante du lin´earis´e de (18). D´efinissons, pourt₂ ≥t₁ ≥1,

A_t1,t2(ξ) =F e^−it1∂xxF₂(t₁, u)−e^−it2∂xxF₂(t₂, u)

(ξ) =a² Z t2

t1

e^{−i(t−s)ξ2}u(s,ˆ −ξ) s^1+ia2 ds.

Le Lemme 2.5 dans [BV12] stipule alors que

Lemme 5.2. — Soit u une solution de (24). Pour tout δ > 0, il existe C(δ) tel que pour ξ6= 0,

|A_t1,t2(ξ)| ≤C(δ) 1 +|ξ|^−δ|bu(1, ξ)|+|u(1,b −ξ)|

t₁ξ² . Preuve (esquisse) — Par int´egration par parties,

A_t1,t2(ξ) = e^it2ξ2u(tˆ ₂,−ξ)

iξ²t^1+ia₂ ² −e^it1ξ2u(tˆ ₁,−ξ) iξ²t^1+ia₁ ²

− Z t2

t1

e^isξ2 iξ²

∂su(s,ˆ −ξ)

s^1+ia2 −(1 +ia²)u(s,ˆ −ξ) s^2+ia2

! ds.

D’apr`es (25) et la seconde estimation du Lemme 5.1, ceci implique que

|A_t1,t2(ξ)| ≤C

1 + C(δ)

|ξ|^δ

|u(1, ξ)|b +|bu(1,−ξ)|

ξ²

1 t₁ + 1

t₂ + Z t2

t1

ds s²

et la conclusion s’ensuit.

• Scattering pour l’´equation lin´eaire

L’estimation du Lemme 5.2 sugg`ere un traitement s´epar´e des basses fr´equences|ξ| ≤1 et hautes fr´equences|ξ| ≥1. Ceci explique l’introduction de l’espaceX^γ dans (21) ainsi que de son pendant pour les fonctions d´ependant du temps

Y^γ =

f ∈L^∞([1,+∞), L²)| kfk_Yγ = sup

t≥1

kf(t)k_L2 +t^−γ

|ξ|^γf(t, ξ)ˆ

L^∞([−1,1])

<+∞

. Soit u_in ∈ X^γ. Nous savons d´ej`a qu’il existe une solution globale unique u de (24) dans l’espace C([1,+∞), L<sup>2</sup>) telle que u(1) = u<sub>in</sub>. D’une part, la premi`ere estimation du Lemme 5.1, avec δ=γ, implique que

t^−γk|ξ|^γbu(t, ξ)k_L∞([−1,1])≤C(γ)k|ξ|^γu(1)kb _L∞([−1,1]) ≤C(γ)ku_ink_Xγ.

D’autre part, d’apr`es la seconde estimation de ce mˆeme lemme, en rappelant que 0<

γ <1/2,

kbu(t)k_L2 =kbu(t)k_L2([−1,1])+ku(t)kb _L2(R\[−1,1])

≤C(γ)

|ξ|^−γ

L²([−1,1])k|ξ|^γu(1)kb _L∞([−1,1])+ 2ku(1)kb _L2 ≤C(γ)ku_ink_Xγ. Il en r´esulte que u∈Y^γ et que

(26) kuk_Yγ ≤C(γ)ku_ink_Xγ.

On en vient ensuite `a la propri´et´e de compl´etude asymptotique, ´equivalente au fait quee<sup>−it∂xx</sup>u(t) admet une limite lorsque t tend vers l’infini, soit encore `a

t1,tlim2→+∞

e^−it2∂xxu(t₂)−e^−it1∂xxu(t₁) = 0,

o`u la norme k·k d´esigne la norme L<sup>2</sup> ou H<sup>s</sup>. D’apr`es la formule de Duhamel, u est donn´ee par

u(t) =e^it∂xxu₊−ia² Z +∞

t

e^{i(t−s)∂xx}u(s) 2s^1+ia2 ds,

et il s’ensuit que la transform´ee de Fourier dee^−it2∂xxu(t₂)−e^−it1∂xxu(t₁) est pr´ecis´ement A_t1,t2.

En vertu du Lemme 5.2, on a d’une part

kA_t1,t2k_L2(R\[−1,1])≤Ckbu(1)k_L2

t₁ ≤Ckuink_Xγ

t₁ et d’autre part

kA_t1,t2k_L2(1/t1≤ξ²≤1) ≤ k|ξ|^γu(1)kb _L∞([−1,1])

t1

|ξ|^{−2−γ−δ}

L²(1/t1≤ξ²≤1) ≤C ku_ink_Xγ

t1/4−(γ+δ)/2 1

. Les autres r´egions 1/t₂ ≤ ξ² ≤ 1/t₁ et ξ² ≤ 1/t₂ sont trait´ees par des d´ecoupages judicieux utilisant `a nouveau les estimations des Lemmes 5.1 et 5.2. Finalement, on obtient effectivement que

t1lim→+∞kA_t1,t2k_L2 = 0,

et la compl´etude asymptotique - ainsi que les taux de convergence ´enonc´es plus haut - en d´ecoulent. On renvoie au paragraphe 2 de [BV12] pour les d´etails.

• Scattering pour l’´equation non lin´eaire (23).

Afin d’´etablir les propri´et´es de scattering pour l’´equation non lin´eaire, on consid`ere cette derni`ere comme une perturbation de l’´equation lin´eaire en cherchant la solution sous la forme

u(t) =S(t,1)u_in+ Z t

1

S(t, s)F(s, u(s))ds,

o`uS(t, t<sub>0</sub>)f d´esigne la solution de (24) issue def `at=t₀. Cette analyse est effectu´ee au paragraphe 3 de [BV12] `a l’aide des estimations pr´ec´edentes pourS(t,1). En particulier, le Corollaire 3.3 ´etablit que si la norme deu<sup>(k)</sup><sub>in</sub> dansX<sup>γ</sup> est petite pour 0≤k ≤s, alors la solution u v´erifie l’estimation analogue `a (26) dans le cas lin´eaire pours= 0 : (27)

s

X

k=0

∂_x^ku

Y^γ∩L⁴([1,+∞),L^∞)≤C(a)

s

X

k=0

u^(k)_in

X^γ.

5.2. Comportement asymptotique des vecteurs tangent et normal : preuve du Th´eor`eme 2.1

Soit χ_in une courbe de R³ comme dans le Th´eor`eme 2.1, c’est-`a-dire telle que la fonction filament associ´ee v´erifie (19) pour une fonctionu_intelle queu^(k)_in soit assez petite dans X^γ pour tout 0 ≤ k ≤ 4. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il existe une solution globale u∈Y^γ correspondante, et il existeu₊ ∈X^γ tel queusoit proche de e^ia2ln

√

te^it∂xxu₊(x)

lorsque t tend vers l’infini. Soit v = a +u, puis d´efinissons ψ pour t ∈ (0,1] par la transformation pseudo-conforme (16), soit par

(28) ψ(t, x) = e^ix

2

√4t

t (a+u) 1

t,x t

.

Enfin, construisons des vecteurs tangent et normal en r´esolvant le syst`eme (10) pour t∈(0,1] avec comme donn´ee initiale (T, N)(1,0) = (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>+ie<sub>3</sub>), o`u (e₁, e₂, e₃) d´esigne la base canonique de R³. Puis, posons M₀ = 0 et on d´efinissons χ(t,·) pour t ∈ (0,1]

par la formule (11) ; ainsi, on a χ(0,0) = 0.

• Comportement asymptotique de T(t,·) et N(t,·).

Le but de ce paragraphe est d’obtenir les estimations du Th´eor`eme 2.1 pour T(t, x) etN(t, x) lorsquet ∈(0,1] est fix´e et|x|tend vers l’infini. En int´egrant le syst`eme (10) par rapport `a x, avec ψ donn´e par (28), on a par int´egration par parties

T(t, x₂)−T(t, x₁)

= Re Z x2

x1

e^−iy

2

√4t

t (a+u) 1

t,y t

N(t, y)dy

!

= Re 2i√ t

Z x2

x1

∂_y

e^−iy

2 4t

a+u ¹_t,^y_t

y N(t, y)dy

!

=−Re

2i√ t

Z x2

x1

e^−iy

2 4t 1

t∂_yu 1

t,y t

N(t, y) y dy

−Re

2it Z x2

x1

ψ(t, y)−N(t, y) y² dy

−Re

2it Z x2

x1

ψ(t, y)

y ∂_yN(t, y)dy

−Im

2tψ(t, x₂) x₂

+ Im

2tψ(t, x₁) x₁

. En utilisant `a nouveau (10) pour N, on obtient

T(t, x₂)−T(t, x₁)

= Im 2

√t Z x2

x1

e^−iy

2 4t∂_yu

1 t,y

t

N(t, y) y dy

+ Im

2t

Z x2

x1

ψ(t, y)−N(t, y) y² dy

−Im

2tψ(t, x₂) x₂

+ Im

2tψ(t, x₁) x₁

.

Puisque H¹(R)⊂L^∞(R), on akψk_L∞ ≤C(a+ku(1/t)k_H1)/√

t, ainsi

T(t, x₂)−T(t, x₁)−Im 2

√t Z x2

x1

e^−iy

2 4t∂_yu

1 t,y

t

N(t, y) y dy

≤C

√t

x₁(a+ku(1/t)k_H1).

Puisque ∂_xu(1/t)∈L², l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz implique que

Z x2

x1

e^−iy

2 4t∂_yu

1 t,y

t

N(t, y) y dy

≤ Ck∂_xu(1/t)k_L2

p|x₁| .

En faisant tendrex₂ vers l’infini, on obtient donc l’existence de vecteursT₊^∞(t) etT₋^∞(t) qui v´erifient les estimations du Th´eor`eme 2.1. Le fait qu’ils s’av`erent ind´ependant de t

est d´emontr´e au paragraphe 3.2 de [BV13]. Les comportements asymptotiques pour N sont d´etermin´es au paragraphe 3 de [BV13] par des arguments similaires.

• Comportement de T(·, x) et de N(·, x) pour x6= 0 lorsque t tend vers z´ero.

L’existence de T₀ ∈ L^∞ tel que T(t, x) converge vers T₀(x) pour x 6= 0 selon les estimations du Th´eor`eme 2.1 fait l’objet de [BV15, Proposition 3.6] (voir aussi [BV13-a, Par. 3.2.2]). Dans [BV13, Par. 4], il est ´egalement ´etabli que

(29) |T(t, x)−T₀(x)| ≤C(

D^ku X^γ)P

√ t

|x|

, o`uP(z) est une combinaison lin´eaire dez^k, 1≤k ≤4.

De plus, le comportement du rep`ere parall`ele (N, T) peut ˆetre pr´ecis´e. Posons N(t, x) =e N(t, x) exp(ia²ln

|x|

√t

.

Alors d’apr`es [BV15, Par. 3.2], il existe une limite de Ne(t, x) lorsque t tend vers z´ero, et de plus, `a rotation pr`es :

(30)











Ne0(x) = N^∞+ Z ∞

x

uc+

y 2

e^ia2ln|y|T0(y)dy, T₀(x) =T^∞−Re

Z ∞ x uc₊y

2

e^−ia2ln|y|Nb₀(y)dy

, ∀x >0,

et les formules analogues ont lieu pour x < 0. Ces ´egalit´es sont bas´ees sur le r´esultat de compl´etude asymptotique d´ecrit par (20).

• Comportement de χ lorsque t tend vers z´ero.

Rappelons que c(t) = |ψ(t)|, donc kc(t)k_L∞ ≤ C(kDuk_Xγ)/√

t. Puisque ∂_tχ = cb, ceci implique queχ(t) a bien une limite χ₀ lorsque t tend vers z´ero, et de plus

sup

x∈R

|χ(t, x)−χ₀(x)| ≤ Z t

0

kc(s)k_L∞ ds≤C(kDuk_Xγ)√ t.

• Formation de l’angle de T0

On ´ebauche la preuve du dernier point du Th´eor`eme 2.1, `a savoir la formation de l’angle `a t = 0 et x = 0. On renvoie `a la d´emonstration de la Proposition 5.1 dans [BV13] pour les d´etails. Puisque u ∈ L⁴([1,+∞), L^∞) (voir (27)), il existe une suite (t_n) qui tend vers z´ero telle que ku(1/t_n)k_L∞ tend vers z´ero. Introduisons les fonctions d’une variable

T_n(x) =T(t_n,√

t_nx), N_n(x) =N(t_n,√

t_nx), x6= 0,

o`ut<sub>n</sub> tend vers z´ero lorsquentend vers l’infini. On se focalise ainsi sur la limite en (0,0) selon une direction bien particuli`ere. En ins´erant l’expression (28) dans le syst`eme (10),

on a

T_n⁰(x) = √

t_nRe ψ(t_n,√

t_nx)N_n(x)

= Re ae^−ix

2

4 N_n(x) + Re

e^ix

2 4 u

1 t_n, x

√t_n

N_n(x)

, N_n⁰(x) = −√

t_nψ(t_n,√

t_nx)T_n(x) = −ae^ix42T_n(x)−e^ix

2 4 u

1 t_n, x

√t_n

T_n(x).

Comme|T_n(x)|= 1 et|N_n(x)|= 2, le th´eor`eme d’Ascoli-Arzela assure l’existence d’une sous-suite telle que (T<sub>nk</sub>)<sub>k∈N</sub> et (N<sub>nk</sub>)<sub>k∈N</sub> convergent uniform´ement sur les compacts de R<sup>∗</sup> vers une solution (T<sub>∗</sub>, N<sub>∗</sub>) du syst`eme







T_∗⁰(x) = Re ae^−ix

2

4 N∗(x)

N_∗⁰(x) =−ae^ix42T_∗(x), pour x6= 0.

Ainsi,

T∗(x),Re

e^−ix

2 4 N∗(x)

,Im

e^−ix

2 4 N∗(x)

est le rep`ere de Serret-Frenet d’une courbe dont la courbure et la torsion sont donn´ees par a et x/2 respectivement pour x 6= 0. D’une part, l’´etude r´ealis´ee par [GRV03] pour un tel syst`eme impliquent qu’`a rotation et translation pr`es, on a le comportement asymptotique lorsque x tend vers l’infini :

x→±∞lim T∗(x) =A±; D’autre part, on a pourx6= 0

T∗(x) = lim

n→+∞ T(t_n,√

t_nx)−T₀(√ t_nx)

+ lim

n→+∞T₀(√ t_nx), o`u

sup

n∈N

|T(t_n,√

t_nx)−T₀(√

t_nx)| ≤ C

|x|

d’apr`es (29). Il s’ensuit que

x→0lim^±T0(x) = A±. 5.3. Preuve du Th´eor`eme 2.4

Consid´erons la solution auto-similaire χa du Th´eor`eme 1.1, dont l’asymptotique en t = 0 est le filament (3) dont l’angle est donn´e par celui de χ0, c’est-`a-dire par les directions des vecteursA+ etA−. Par ailleurs, les vecteurs B± d´esignent les limites des vecteurs normaux complexes :

B±= lim

x→0^±lim

t→0 Ne(t, x).

L’argument central de [BV15] consiste `a consid´erer la courbe χ<sub>0</sub> comme un ´etat final pour une courbe construite par le Th´eor`eme 2.1 comme perturbation de χ_a, `a partir d’une solution globale u de l’´equation (18). L’´etat final u<sub>+</sub> v´erifie n´ecessairement le syst`eme (30). Ceci am`ene `a raisonner selon les ´etapes d´ecrites bri`evement ci-dessous.

• Construction de l’´etat final