Seconde 1 Feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Une nouvelle unité de mesure : le radian.
l = 2 π rad
l = π rad
l = π 2 rad
Rappel vocabulaire.
[ OA ] et [ OD ] sont deux rayons.
[ AB ] est un diamètre.
[ BC ] est une corde.
BC est un arc de cercle.
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2 Enroulement de la droite des réels sur un cercle trigonométrique.
+
Exemples
A ( 0 ) B ( π
2 ) A' ( π ) B' ( 3π
2 ) C ( π
4 )
D ( 3π 4 ) E ( 5π
4 )
F ( 7π 4 )
Seconde 1 Feuilles annexes. Page n ° 3 2007 2008
3 Cosinus et sinus d'un nombre réel.
a ) Déterminons les valeurs exactes de cos ( 0 ) et de sin ( 0 ).
Le point A est associé au réel x = 0.
Or, dans le repère ( O ; ÄOA , ÄOB ), le point A a pour coordonnées ( 1 ; 0 ).
Et cos ( 0 ) est l'abscisse de A donc cos ( 0 ) = 1.
Et sin ( 0 ) est l'ordonnée de A donc sin ( 0 ) = 0.
b ) Déterminons les valeurs exactes de cos ( π
2 ) et de sin ( π 2 ).
Le point B est associé au réel x = π 2 .
Or, dans le repère ( O ; ÄOA , ÄOB ), le point B a pour coordonnées ( 0 ; 1 ).
Et cos ( 0 ) est l'abscisse de A donc cos ( π 2 ) = 0.
Et sin ( 0 ) est l'ordonnée de A donc sin ( π 2 ) = 1.
c ) Déterminons les valeurs exactes de cos ( π ) et de sin ( π ).
Le point A' est associé au réel x = π.
Or, dans le repère ( O ; ÄOA , ÄOB ), le point A' a pour coordonnées ( − 1; 0 ).
Et cos ( 0 ) est l'abscisse de A donc cos ( π ) = − 1.
Et sin ( 0 ) est l'ordonnée de A donc sin ( π ) = 0.
4 Tableau des valeurs remarquables à savoir par cœur.
Voici un dessin pour le retenir.
Seconde 1 Feuilles annexes. Page n ° 4 2007 2008
5 Propriétés du cosinus et du sinus.
Pour tout réel x, cos² ( x ) + sin² ( x ) = 1.
Soit ( O ; ÄOA , ÄOB ) un repère orthonormé.
Soit C le cercle trigonométrique.
Soit M un point de C associé au réel x.
Soit H le projeté orthogonal de M sur ( OA ).
Alors OHM est un triangle rectangle en H.
D'après le théorème de Pythagore, OM² = OH² + HM².
Or OH = cos ( x ) et HM = sin ( x ) et OM = 1.
Donc cos² ( x ) + sin² ( x ) = 1.
Deuxième propriété : pour tout réel x , − 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1.
Avec les notations précédentes, le point M appartient au cercle trigonométrique donc chacune de ses coordonnées est comprise entre − 1 et 1.
D'où pour tout réel x, − 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1 et − 1 ≤ sin ( x ) ≤ 1.
Troisième propriété pour tout réel x, cos ( − x ) = cos ( x ) et sin ( − x ) = − sin ( x ) . Soit N le point du cercle trigonométrique associé au réel − x.
Alors N a pour coordonnées ( cos ( − x ) ; sin ( − x ) ).
Et les points M et N sont symétriques par rapport à l'axe ( OA ).
Donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées.
Autrement dit cos ( − x ) = cos ( x ) et sin ( − x ) = − sin ( x ).
Quatrième propriété cos ( x + 2π ) = cos ( x ) et sin ( x + 2π ) = sin (x ).
Soit P le point du cercle associé au réel x + 2π.
Alors P a pour coordonnées ( cos ( x + 2π ) ; sin ( x + 2π ) ).
Or en partant du point M, on obtient le point P en faisant un tour complet.
Donc les points M et P sont confondus.
D'où cos ( x + 2π ) = cos ( x ) et sin ( x + 2π ) = sin (x ).
Exemple d'exercice
x est un réel tel que cos ( x ) = − 1
3 et x ∈ [ − p ; 0 ].
Calculons sin ( x ).
D'après une propriété du cours, cos² ( x ) + sin² ( x ) = 1 Ainsi sin² ( x ) = 1 − cos² ( x ) = 1 − 1
9 = 8 9 Or x ∈ [ − p ; 0 ].
Donc sin ( x ) < 0. D'où sin ( x ) = − 8 3
