1 Patron.
Exemple 1 : dessinons un patron d'un cube de côté 3 cm.
2 Représentation en perspective cavalière.
Exemple 2 : Dessinons un cube de côté 4 cm appelé ABCDEFGH.
[ AB ] est un segment visible.
[ AD ] est un segment non visible.
Les droites ( AB ) et ( EF ) sont parallèles.
3 Règles d’incidence.
Dessin 1
Plans strictement parallèles
Exemple : le plafond et le sol de la salle de classe sont des plans strictement parallèles.
Plans parallèles et confondus
Plans sécants
On imagine que l'on ouvre la porte de la salle de classe.
On peut aussi imaginer un livre ouvert.
Positions relatives d'une droite et d'un plan de l'espace.
Droite et plan strictement parallèles
Droite et plan parallèles : cas où la droite est incluse dans le plan
Droites et plan sécants
A
La droite et le plan se coupent en un point appelé A.
Positions relatives de deux droites de l'espace.
Droites coplanaires ( incluses dans un même plan ).
Droites sécantes
Droites strictement parallèles
Droites confondues
Droites non coplanaires
d
d'
La droite d coupe le plan autre part que là où passe la droite d'.
4 Parallélisme.
Dessin 4
P
Q
Ce dessin illustre le théorème 2
Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan Q
alors les plans P et Q sont parallèles.
Exemple 3 : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu du segment [ FG ]. J est le milieu du segment [ BC ].
Démontrons que la droite ( AJ ) est parallèle au plan ( EFG ) et que le plan ( AEI ) est parallèle à la droite ( CG ).
ABCDEFGH est un cube.
Donc les plans ( ABC ) et ( EFG ) sont parallèles.
J ∈ [ BC ].
Donc la droite ( AJ ) est incluse dans le plan ( ABC ).
Or si deux plans sont parallèles alors, toute droite incluse dans l'un des plans est parallèle à l'autre plan.
Donc la droite ( AJ ) est parallèle au plan ( EFG ).
ABCDEFGH est un cube.
Donc la droite ( AE ) est parallèle à la droite ( CG ).
Or la droite ( AE ) est incluse dans le plan ( AEI ).
Or, si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui contient l'une des droites est parallèle à l'autre droite.
Donc le plan ( AEI ) est parallèle à la droite ( CG ).
Théorème du toit
∆∆∆∆
D ' D
Si deux droites parallèles D et D' sont incluses respectivement dans deux plans P et P ' sécants selon une droite
∆, alors la droite ∆ est parallèle aux droites d et d'.
5 Orthogonalité.
Exemple : traçons un cube ABCDEFGH.
Les droites ( EH ) et ( FG ) sont parallèles.
Les droites ( GC ) et ( FB ) sont parallèles.
Les droites ( FG ) et ( FB ) sont perpendiculaires.
Car elles sont coplanaires et se coupent à angle droit.
Les droites ( EH ) et ( GC ) sont orthogonales.
Car elles sont parallèles à deux droites perpendiculaires.
Droites et plans orthogonaux.
Théorème 8 :
Une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes de P.
D
P
Exemple : soit le cube ABCDEFGH ci dessus. Démontrons que la droite ( EA ) est orthogonale au plan ( ABC ).
La droite ( EA ) est orthogonale aux droites ( BC ) et ( CD ) qui sont incluses dans le plan ( ABC ).
Or une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes de P.
Donc la droite ( EA ) est orthogonale au plan ( ABC ).
Démontrons que la droite ( EA ) est perpendiculaire à la droite ( AC ).
La droite ( AC ) est incluse dans le plan ( ABC ).
Donc la droite ( EA ) est orthogonale à la droite ( AC ).
Et aussi les droites ( EA ) et ( AC ) sont toutes deux incluses dans le plan ( EACG ).
Donc les droites ( EA ) et ( AC ) sont perpendiculaires.
Théorèmes 10
Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une des deux droites est orthogonal à l'autre droite.
Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ces deux plans sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un des deux plans est orthogonale à l'autre plan.
D D'
P
D // D '
D ' // P D ⊥ P
Et D ⊥ P
D // D ' D ' ⊥ P
