Seconde 1 Exercices sur la géométrie dans l'espace : E4. page n ° 1 2007 2008
E4 Savoir prouver un parallélisme.
P 183 n ° 31.
1. ABD est un triangle.
I est le milieu de [ AB ].
L est le milieu de [ AD ].
D'après le théorème des milieux, ( IL ) // ( BD ).
BCD est un triangle.
J est le milieu de [ BC ].
K est le milieu de [ CD ].
D'après le théorème des milieux, ( JK ) // ( BD ).
Or deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
Donc ( IL ) // ( JK ).
De la même façon, I milieu de [ AB ] et J milieu de [ BC ] entraîne ( IJ ) // ( AC ).
K milieu de [ CD ] et L milieu de [ AD ] entraîne ( KL ) // ( AC ).
Donc ( IJ ) // ( KL ).
2. ( IL ) // ( JK ) et ( IJ ) // ( KL ).
Donc les droites ( IL ) et ( JK ) sont coplanaires et sans point commun.
Or si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
Donc IJKL est un parallélogramme.
P 183 n ° 33.
SABCD est une pyramide de sommet S et de base ABCD.
( MN ) // ( BC ).
( MNP ) est un plan contenant la droite ( MN ).
( ABCD ) est un plan contenant la droite ( BC ).
Le plan ( MNP ) coupe la droite ( CD ) en un point R.
P est un point de l'arête [ AB ].
Donc P appartient aux plans ( MNP ) et ( ABCD ).
Donc l'intersection des plans ( MNP ) et ( ABCD ) est la droite ( PR ).
D'après le théorème du toit, la droite ( PR ) est parallèle aux droites ( MN ) et ( BC ).
Seconde 1 Exercices sur la géométrie dans l'espace : E4. page n ° 2 2007 2008
P 183 n ° 34.
1.ABCD est un parallélogramme. Donc ( AD ) // ( BC ).
Or par hypothèse, ( MN ) // ( BC ).
Et si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc ( AD ) // ( MN ).
2.a ) P est sur la droite ( AN ).
A est un point du plan ( SAB ).
N est un point de l'arête [ SB ] donc N est un point du plan ( SAB ).
Donc la droite ( AN ) est une droite du plan ( SAB ).
Ainsi P est un point du plan ( SAB ).
P est sur la droite ( DM ).
D est un point du plan ( SDC ).
M est un point de l'arête [ CD ] donc M est un point du plan ( SDC ).
Donc la droite ( DM ) est une droite du plan ( SDC ).
Ainsi P est un point du plan ( SDC ).
b ) S appartient à l'intersection des plans ( SAB ) et ( SDC ).
P appartient à l'intersection des plans ( SAB ) et ( SDC ).
Donc l'intersection des plans ( SAB ) et ( SDC ) est la droite ( SP ).
c ) ABCD est un parallélogramme.
Donc ( AB ) // ( CD ).
SAB est un plan contenant la droite ( AB ).
SDC est un plan contenant la droite ( CD ).
SAB et SDC sont deux plans sécants.
D'après le théorème du toit, leur intersection est parallèle aux droite ( AB ) et ( CD ).
Donc ( SP ) // ( AB ) // ( CD ).
P 183 n ° 35.
1a ) Par M, on trace la parallèle à la droite ( CD ) qui coupe ( BD ) en J.
Donc ( MJ ) // ( CD ).
MIJ est un plan contenant ( MJ ).
( ACD ) est un plan contenant ( CD ).
I est un point du plan ( MIJ ).
I est un point de la droite ( AC ).
Donc I est un point du plan ( ACD ).
Le plan ( MIJ ) coupe ( AD ) en N.
Donc N est un point des plans ( MIJ ) et ( ACD ).
Ainsi la droite ( IN ) est l'intersection des plans ( ACD ) et ( MIJ ).
D'après le théorème du toit, la droite ( IN ) est parallèle aux droites ( MJ ) et ( CD ).
b ) Par M, on trace la parallèle à la droite ( AB ) qui coupe ( AC ) en I.
Donc ( MI ) // ( AB ).
MIJ est un plan contenant ( MI ).
( ABD ) est un plan contenant ( AB ).
J est un point du plan ( MIJ ).
J est un point de la droite ( BD ).
Donc J est un point du plan ( ABD ).
Le plan ( MIJ ) coupe ( AD ) en N.
Donc N est un point des plans ( MIJ ) et ( ABD ).
Ainsi la droite ( JN ) est l'intersection des plans ( ABD ) et ( MIJ ).
D'après le théorème du toit, la droite ( JN ) est parallèle aux droites ( IM ) et ( AB ).
2. Dans le quadrilatère IMJN, on a ( IN ) // ( MJ ) et ( JN ) // ( IM ).
Donc le quadrilatère ( IMJN est un parallélogramme.
