JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 – 12h00 FILIERE PC - Epreuve n° 1 MATHEMATIQUES (XEULC)

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2019

JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 – 12h00 FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XEULC)

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Les quatre parties sont indépendantes entre elles.

Dans l’ensemble du sujet, pour répondre à une question, on pourra admettre les résultats des questions précédentes.

Notations

Dans l’ensemble du sujetmetndésignent des entiers strictement positifs. L’ensembleCdésigne le corps des nombres complexes. Le module d’un nombre complexez est noté |z|et son conjugué est noté z. On noteD={z∈C:|z|61} le disque unité fermé, etS={z∈C:|z|= 1}.

On noteM_m,n(C) l’ensemble des matrices à mlignes et à ncolonnes à coefficients dans CetM_n(C) = M_n,n(C) l’ensemble des matrices à n lignes et à n colonnes à coefficients dans C. On note I_n la matrice identité de M_n(C). La matrice transposée d’une matrice A ∈ M_m,n(C) est notée A^|. Si A= (ai,j)_06i6m−1

06j6n−1

∈ M_m,n(C), on note A^|∈ M_n,m(C) la matrice (aj,i)_06i6n−1

06j6m−1

. On dit qu’une matriceU ∈ M_n(C) est unitaire si

U U^|=U^|U = I_n.

Les coefficients d’un vecteur x ∈ Cⁿ sont notés x0, . . . , xn−1. Un vecteur x ∈ Cⁿ sera vu comme un élément de M_n,1(C). Pour tous x ∈ Cⁿ et y ∈ Cⁿ, la matrice x^|y ∈ M₁(C) est identifiée au nombre complexe^Pn−1_i=0 x_iy_i. Nous munissons Cⁿ de la normek k₂ définie par

∀x∈Cⁿ, kxk₂=

n−1

X

i=0

|x_i|²

!1/2

.

SiA∈ M_m,n(C), on note

kAk= sup

x∈Cⁿ kxk₂=1

kAxk₂.

Par convention, pour A∈ M_n(C), on poseA⁰= I_n.

Dans tout le sujet, (Ω,A,P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes va- riables aléatoires du sujet. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera P(A) la probabilité d’un événement A ⊂ Ω et E[X] l’espérance d’une variable aléatoireX sur (Ω,A,P) à valeurs réelles.

∗ ∗ ∗

Préliminaires Les résultats démontrés ici seront utiles dans la première partie.

1. Lorsque x∈Cⁿ, vérifier quekxk²₂ =x^|x.

2. Soit U ∈ M_n(C) une matrice unitaire. Montrer quekU xk₂ =kxk₂ pour toutx∈Cⁿ.

3. SiD∈ M_n(C) est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sontd₀, . . . , dn−1, montrer quekDk= max_06i6n−1|d_i|.

4. Soient A, B ∈ M_n(C). On suppose qu’il existe une matrice unitaire U ∈ M_n(C) telle que B = U AU⁻¹. Montrer quekAk=kBk.

1

Première partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant.

Théorème 1. Soitf ∈C[X] un polynôme. Alors sup

z∈D

|f(z)|= sup

z∈S

|f(z)|.

Pour cela, on admet le résultat suivant, qui pourra être utilisé sans démonstration.

A) SiM ∈ M_m(C) est une matrice unitaire, il existe une matrice diagonaleD∈ M_m(C), dont tous les coefficients diagonaux ont module 1, et une matrice unitaireU ∈ M_m(C) telles queM =U DU⁻¹. Pour démontrer leThéorème 1, on fixe un polynômef ∈C[X] de degrén>1. On considère un nombre complexez∈Det on définit les matricesM ∈ M_n+1(C) et P ∈ M_n+1,1(C) par

M =























z 0 0 · · · 0 ^p1− |z|² p1− |z|² 0 0 · · · 0 −z

0 0 ... 0















1 0 · · · 0 0 1 . .. 0 0 . .. ... ...

0 0 · · · 1















0 0 ... 0























=

















z 0 0 · · · 0 ^p1− |z|² p1− |z|² 0 0 · · · 0 −z

0 ... 0

I_n−1

0 ... 0

















et

P =











 1 0 ... 0











 .

5. Montrer que M est une matrice unitaire.

6. Montrer que z^k =P^|M^kP pour tout entier 06k6n.

7. Montrer que |f(z)|6kf(M)k.

8. Démontrer leThéorème 1.

Deuxième partie

Le but de cette partie est de démontrer l’énoncé suivant (on pourra utiliser le Théorème 1).

Théorème 2.Soitn>1 un entier etA(z) =^Pn−1_k=0a_kz^kun polynôme non nul tel quea_k∈ {−1,0,1}

pour tout 06k6n−1. Alors pour tout entierL>1 on a sup

θ∈[−π L,π

L]

|A(e^iθ)|> 1 n^L−1·

Pour démontrer ce résultat, on fixe un entier n > 1 et A(z) = ^Pn−1_k=0a_kz^k un polynôme tel que a_k ∈ {−1,0,1} pour tout 06k6n−1. On fixe également un entier L>1.

9. Si z∈C vérifie|z|= 1, montrer que|A(z)|6n.

10. On suppose dans cette question que a0 = 1, et on pose, pour tout z∈C, F(z) =

L−1

Y

j=0

A

ze

2iπj L

.

a. Montrer qu’il existez0 ∈Ctel que |z₀|= 1 et|F(z0)|>1.

b. Montrer que |F(z₀)|6n^L−1· sup

θ∈[−π L,π

L]

|A(e^iθ)|.

11. Démontrer leThéorème 2.

Troisième partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant :

Théorème 3.On fixep, q∈[0,1]. Soitn>1 un entier et soitS_nune somme denvariables aléatoires à valeurs dans{0,1} mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètrep. Alors

P

S_n n −q

6

S_n n −p

6e^{−n(p−q)22} .

Pour démontrer ce résultat, on fixep, q∈[0,1] et (X_i)_16i6nune famille denvariables aléatoires à valeurs dans{0,1} mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètrep. On pose alorsS_n=^Pn_i=1X_i.

12. Soit g:R+ →R la fonction définie parg(x) = ln(1−p+pe^x) pour tout x>0.

a. Montrer que g est bien définie et de classe C² sur R+. Pour x > 0, exprimer g⁰⁰(x) sous la forme _(α+β)^αβ 2, où α etβ sont des réels positifs pouvant dépendre de x.

b. Montrer que g⁰⁰(x)6 ¹₄ pour tout x>0.

c. Montrer que

ln(1−p+pe^x)6px+x²

8 pour toutx>0.

13. On suppose dans cette question que p < q.

a. Justifier que

P

S_n n −q

6

S_n n −p

=P

S_n> ^p+q₂ n.

b. Soit Xune variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p. Pour u >0, calculerE(e^uX).

c. Montrer que pour toutu >0, P

S_n> ^p+q₂ n6e⁻ⁿ(^p+q₂ u−ln(1−p+pe^u)).

Indication. On pourra admettre que si (Z_i)_16i6n sont nvariables aléatoires réelles mutuelle- ment indépendantes et prenant un nombre fini de valeurs, alorsE(^Qn_i=1Z_i) =^Qn_i=1E(Z_i).

d. Montrer que P S_n> ^p+q₂ n6e^{−n(p−q)22} . 14. Démontrer leThéorème 3.

3

Quatrième partie

Dans cette partie, on s’intéresse à la reconstruction d’une suite de 0 ou 1 à partir d’un échantillon d’observations bruitées (on pourra utiliser leThéorème 2 et leThéorème 3).

Plus précisément, étant donné un élémentx= (x₀, . . . , xn−1)∈ {0,1}ⁿ, appelé la source, et un paramètre p∈]0,1[ fixé, on considère la variable aléatoireO(x) à valeurs dans {0,1}ⁿ construite comme suit :

– soient (B_i)_06i6n−1 des variables aléatoires à valeurs dans {0,1} mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètre p;

– on noteNla variable aléatoire définie par

N= Card({06i6n−1 :B_i = 1})

etI0 < I1 <· · ·< IN−1 les éléments de l’ensemble aléatoire{06i6n−1 :B_i= 1} rangés dans l’ordre croissant ;

– on pose enfin

O(x) = (O0(x),O₁(x), . . . ,On−1(x)) = (xI0, xI1, . . . , xIN−1,0,0, . . . ,0)∈ {0,1}ⁿ avec la convention O(x) = (0,0, . . . ,0)∈ {0,1}ⁿ siN= 0.

La variable aléatoire O(x) est appeléeobservation bruitée de source x. Ainsi, O(x) est obtenue à partir de x en gardant chaque coordonnée avec probabilitép, indépendamment les unes des autres (complétée par des 0 pour obtenir un vecteur de longueurn). Par exemple, si x= (x₀, x₁, x₂, x₃, x₄) = (1,0,1,1,1) et si B₀ = 0, B₁ = 1, B₂ = 0, B₃ = 1, B₄ = 1 (ce qui arrive avec probabilité p³(1−p)²), alors O(x) = (O0(x),O₁(x), . . . ,O₄(x)) = (x1, x3, x4,0,0) = (0,1,1,0,0).

15. Soit θ∈[−π, π].

a. Montrer que cos(θ)>1−^θ₂²· b. Montrer que

e^iθ−(1−p) p

6exp^1−p_2p2 ·θ². Indication.On pourra calculer

e^iθ−(1−p) p

2·

16. Soit x= (x₀, . . . , xn−1)∈ {0,1}ⁿ et considérons une observation bruitée O(x) = (O₀(x),O₁(x), . . . ,O_n−1(x)) de source x.

a. Si 06j6k6n−1, montrer queP(N>j+ 1 etIj =k) =p ^k_jp^j(1−p)^k−j. b. Montrer que, pour tout 06j6n−1,E[O_j(x)] =p^Pn−1_k=jx_k ^k_jp^j(1−p)^k−j.

c. Montrer que pour toutw∈C,

E





n−1

X

j=0

O_j(x)w^j



=p

n−1

X

k=0

x_k(pw+ 1−p)^k.

Dans la suite, on poseLn=bn^1/3c, où btcdésigne la partie entière d’un nombre réelt.

17. Soientx, y∈ {0,1}ⁿ tels quex6=y. Posons, pour z∈C,A_x,y(z) =

n−1

X

k=0

(x_k−y_k)z^k. a. Justifier l’existence de θ0 ∈[−_L^π

n,_L^π

n] tel que|A_x,y(e^iθ0)|> _nLn¹−1·

b. Démontrer que

n−1

X

j=0

E[O_j(x)]−E[O_j(y)]·

e^iθ0 −(1−p) p

j

> p n^Ln−1·

c. Justifier l’existence d’un entier jn(x, y) tel que 06jn(x, y)6n−1 et

E[O_jn(x,y)(x)]−E[O_jn(x,y)(y)]> p

n^Lnexp −1−p 2p² · π²

L²_nn

!

·

Dans la suite, on fixe une fois pour toutes un entiernqu’il faut considérer comme étant très grand. Pour chaque couple (x, y) ∈ ({0,1}ⁿ)² tel que x 6= y, on fixe un entier j_n(x, y) dont l’existence est prouvée dans la question 17c.

SoientT >1 et (E¹, E², . . . , E^T)∈({0,1}ⁿ)^T. Ainsi, pour 16i6T et 06j6n−1, on aE_jⁱ ∈ {0,1}.

On dit quex est meilleur que y compte tenu de E¹, E², . . . , E^T si

1 T

T

X

i=1

E_jⁱ_n(x,y)−E[O_jn(x,y)(x)]

<

1 T

T

X

i=1

E_jⁱ_n(x,y)−E[O_jn(x,y)(y)]

.

On pose alors Rn,T(E¹, E², . . . , E^T) = x si pour tout y 6= x, x est meilleur que y. Si l’on ne peut pas trouver de tel x on poseR_n,T(E¹, E², . . . , E^T) = (0,0, . . . ,0).

18. Démontrer que si Tn>e^{3 ln(n)n1/3} alors pour tout x∈ {0,1}ⁿ et toute suite O¹(x),O²(x), . . . ,O^Tn(x)

de T_n variables aléatoires à valeurs dans {0,1}ⁿ mutuellement indépendantes de même loi que O(x), on a

max

x∈{0,1}ⁿP

Rn,Tn

O¹(x),O²(x), . . . ,O^Tn(x)6=x6un

où (u_n)_n>1 est une suite tendant vers 0 lorsquen tend vers l’infini.

Indication.On pourra commencer par écrire, en le justifiant, que P

Rn,T(O¹(x),O²(x), . . . ,O^T(x))6=x

6 ^X

y∈{0,1}ⁿ y6=x

P

x n’est pas meilleur que y compte tenu de O¹(x),O²(x), . . . ,O^T(x).

On a donc démontré qu’en partant de x ∈ {0,1}ⁿ inconnu, on peut retrouver x à partir de la donnée d’une suite

O¹(x),O²(x), . . . ,O^T(x)

de T variables aléatoires à valeurs dans {0,1}ⁿ mutuellement indépendantes de même loi que O(x) (qui représentent la donnée deT échantillons bruités obtenus à partir d’une même source), avec grande probabilité à partir de e^{3 ln(n)n1/3} échantillons différents.

∗ ∗ ∗

5