LUNDI20AVRIL 2020-8h00 –12h00FILIERE PC -Epreuve n° 1MATHEMATIQUES(XEULC)

(1)

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020 - 8h00 – 12h00 FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XEULC)

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

(2)

Notations

Dans tout le probl`eme, pour tout pa, bq P N

²

tel que a ď b, on notera va, bw “ ti P N | a ď i ď bu l’ensemble des entiers compris entre a et b.

Soient p, q P N

^˚

deux entiers strictement positifs. On note M

_p,q

p R q l’ensemble des matrices ` a coefficients r´eels de taille pˆq (p lignes et q colonnes). Lorsque p “ q, on notera M

_p

p R q l’ensemble des matrices carr´ees de taille p ˆ p.

Pour tout A P M

_p,q

p R q, A

^T

P M

_q,p

p R q d´esignera la transpos´ee de A. Un vecteur u P R

^p

pourra être identifié à un vecteur colonne de M

_p,1

p R q et u

^T

sera le vecteur ligne associ´e de M

_1,p

p R q.

Pour tous A, B P M

_p,q

p R q, on note A d B la matrice de M

_p,q

p R q d´efinie pour tous 1 ď i ď p et 1 ď j ď q par :

pA d Bq

ij

“ A

ij

B

ij

o` u pour toute matrice M P M

p,q

p R q, M

ij

d´esigne le coefficient de la ligne i et de la colonne j.

Pour tout A P M

p,q

p R q, on d´efinit A

^p0q

P M

p,q

p R q la matrice telle que A

^p0q_ij

“ 1 pour tous 1 ď i ď p et 1 ď j ď q puis par r´ecurrence, A

^pn`1q

“ A

^pnq

d A pour tout n P N .

Enfin, on dira qu’une matrice A P M

p

p R q est sym´etrique positive si A

^T

“ A et u

^T

Au ě 0 pour tout u P M

_p,1

p R q. L’ensemble des matrices sym´etriques positives de M

_p

p R q sera not´e Sym

^`

ppq.

D´ ependances des parties

Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II et la partie V dépend des parties précédentes.

Partie I

(1) Montrer que pour toutes matrices A et B dans Sym

^`

ppq et tous r´eels positifs a et b, on a aA ` bB P Sym

^`

ppq

(2) Montrer que si v P R

^p

alors la matrice A “ pA

ij

q

_pi,jqPv_1,pw2

d´efinie par A “ vv

^T

est dans Sym

^`

ppq.

(3) (a) Montrer que pour tous u, v P R

^p

, on a puu

^T

q d pvv

^T

q “ pu d vqpu d vq

^T

.

(b) Soit A P Sym

^`

ppq. On note λ

1

, ¨ ¨ ¨ , λ

p

les valeurs propres (avec multiplicit´e) de A et pu

1

,¨ ¨ ¨ , u

p

q une famille orthonormale de vecteurs propres associ´es. Montrer que λ

k

ě 0 pour tout k P v1, pw et que A “ ř

p

k“1

λ

k

u

k

u

^T_k

. (c) En d´eduire que si A, B P Sym

^`

ppq alors A d B P Sym

^`

ppq.

Partie II

Pour f : R Ñ R et A P M

_p

p R q, on note f rAs P M

_p

p R q la matrice d´efinie par f rAs

ij

“ fpA

ij

q pour tout pi, jq P v1, pw

²

.

(4) Soient n P N et P : R Ñ R d´efini par P pxq “ ř

n

k“0

a

k

x

^k

o` u a

k

ě 0 pour tout k P v0, nw un polynˆ ome ` a coefficients positifs.

(a) V´erifier que P rAs “ ř

n

k“0

a

k

A

^pkq

pour toute matrice A P M

p

p R q.

(b) Montrer que si A P Sym

^`

ppq alors P rAs P Sym

^`

ppq.

(3)

On pose, pour tout n ě 0 et tout x P R , P

n

pxq “ ř

n k“0x^k

k!

o` u k! d´esigne la factorielle de k.

(5) Soit A P Sym

^`

ppq.

(a) Montrer que pour tout pi, jq P v1, pw

²

, on a

nÑ8

lim P

n

rAs

ij

“ exppA

ij

q . (b) Montrer que exprAs P Sym

^`

ppq.

(c) Soit u P R

^p

. Montrer que exprAs d puu

^T

q P Sym

^`

ppq.

(6) Soit d P N

^˚

. On consid`ere un p-uplet px

i

q

1ďiďp

d’´el´ements de R

^d

et la matrice A “ pxx

i

, x

j

yq

_pi,jqPv_1,pw2

o` u xa, by d´esigne le produit scalaire usuel entre deux vecteurs a et b de R

^d

. On notera

|a| “ a

xa, ay la norme de a.

(a) Montrer que A P Sym

^`

ppq.

(b) On note u P R

^p

le vecteur de coordonn´ees pexpp´

^|x¹₂^|²

q,¨ ¨ ¨ ,expp´

^|x₂^p^|²

qq. Montrer que pexprAs d puu

^T

qq

ij

“ expp´

^|xⁱ^´x₂^j^|²

q pour tout pi, jq P v1, pw

²

.

(c) Soient λ ą 0 et K P M

_p

p R q la matrice d´efinie par K

ij

“ expp´

^|xⁱ^´x_2λ^j^|²

q pour tout pi, jq P v1, pw

²

. Montrer que K P Sym

^`

ppq.

Partie III

Soit λ ą 0 fixé. On considère ici l’espace C p R , R q des fonctions continues de R dans R . Dans toute la suite, on désigne par E le sous-espace vectoriel de C p R , R q (on ne demande pas de vérifier ce fait) défini par

E “ t f P C p R , R q | Dpa, Aq P p R

^˚_`

q

²

tel que @y P R |fpyq| ď A expp´y

²

{aq u .

Pour tout x P R , on note τ

x

: C p R , R q Ñ C p R , R q l’application d´efinie pour tout f P C p R , R q par

τ

x

pfqpyq “ f py ´ xq

pour tout y P R . Enfin on d´efinit la fonction γ

λ

: R Ñ R par γ

λ

pyq “ expp´y

²

{λq . (7) Pour tout pf, gq P E

²

, montrer que f g est int´egrable sur R . Pour tous f, g P E , on d´efinit

pf | gq “ ż

`8

´8

f pyqgpyqdy .

(8) (a) Montrer que pour tout f P E , on a pf | fq ě 0 avec ´egalit´e si et seulement si f “ 0.

(b) Montrer que pour tout x P R , τ

x

pγ

λ

q appartient ` a E .

(9) (a) Soit a ą 0. Montrer qu’il existe c ě 0 tel que pour tout x P R on a ż

`8

´8

exp ˆ

´ py ´ xq

²

λ

˙ exp

ˆ

´ y

²

a

˙

dy “ cexp ˆ

´ x

²

a ` λ

˙ .

Indication : On pourra montrer l’´egalit´e py ´ xq

²

λ ` y

²

a “ a ` λ

aλ py ´ ax

a ` λ q

²

` x

²

a ` λ .

(4)

(b) Soit g P E . On consid`ere Cpgq : R Ñ R d´efinie pour tout x P R par Cpgqpxq “ pτ

x

pγ

λ

q | gq .

Montrer que Cpgq P E .

(c) Montrer que C : E Ñ E d´efinit un endomorphisme de E .

Partie IV

Soit λ ą 0 fixé. On considère maintenant l’ensemble G des fonctions g s’écrivant sous la forme g “ ř

n

i“1

α

i

τ

xi

pγ

λ

q o` u n est un entier strictement positif et ppx

i

, α

i

qq

1ďiďn

est une famille d’´el´ements de R

²

:

G “ t

n

ÿ

i“1

α

i

τ

xi

pγ

λ

q | n P N

^˚

, @i P v1, nw px

i

, α

i

q P R ˆ R u.

On notera H “ C p G q l’image de G par l’endomorphisme C introduit dans la question (9b).

(10) Montrer que G est un sous-espace vectoriel de E et que c’est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient toutes les fonctions τ

x

pγ

λ

q pour x P R arbitraire.

(11) (a) Montrer qu’il existe c

λ

ą 0 telle que pour tout px, x

¹

q P R ˆ R on a pτ

x

pγ

λ

q | τ

x¹

pγ

λ

qq “ c

λ

γ

2λ

px ´ x

¹

q .

Indication : On pourra remarquer que

¹_λ

ppy ´ xq

²

` py ´ x

¹

q

²

q “

²_λ

py ´ px ` x

¹

q{2q

²

`

1

2λ

px

¹

´ xq

²

.

(b) En d´eduire que pour tout x P R

Cpτ

x

pγ

λ

qq “ c

λ

τ

x

pγ

2λ

q et que

H “ t

n

ÿ

i“1

α

i

τ

xi

pγ

2λ

q | n P N

^˚

, @i P v1, nw px

i

, α

i

q P R ˆ R u .

(12) (a) Soient n P N

^˚

et px

i

q

1ďiďn

une famille de r´eels telle que pour tous i, j P v1, nw on a x

i

‰ x

j

lorsque i ‰ j. Montrer que la fonction ř

n

i“1

α

i

τ

xi

pγ

2λ

q est nulle si et seulement si α

i

“ 0 pour tout 1 ď i ď n (Indication : On pourra proc´eder par r´ecurrence sur n).

(b) En d´eduire qu’il existe une unique application lin´eaire D de H dans G telle que D ˝ Cpgq “ g pour tout g P G et C ˝ Dphq “ h pour tout h P H .

(c) Montrer que pour tout h P H, on a pour tout x P R que hpxq “ pτ

x

pγ

λ

q | Dphqq.

(13) Pour tout ph

1

, h

2

q P H ˆ H, on note ph

1

| h

2

q

H

“ c

λ

pDph

1

q | Dph

2

qq o` u c

λ

est introduit dans la question (11a).

(a) V´erifier que p | q

H

d´efinit un produit scalaire sur H.

(b) Montrer que pour tous x P R et h P H on a hpxq “ pτ

x

pγ

2λ

q | hq

H

. (c) Montrer que pour tout h P H on a

}h}

8

ď }h}

H

o` u on a pos´e }h}

8

“ sup

_xPR

|hpxq| et }h}

H

“ ph | hq

^1{2H

.

(5)

Partie V

On fixe dans cette partie deux p-uplets px

i

q

iPv1,pw

et pa

i

q

iPv1,pw

de r´eels. On suppose que les x

i

sont deux `a deux distincts. On note S “ t h P H | hpx

i

q “ a

i

u l’ensemble des h P H qui valent a

i

en x

i

pour tout i P v1, pw (on dira qu’une telle fonction est une interpolante). On note J : H Ñ R d´efini par Jphq “

¹₂

}h}

²H

et J

_˚

“ inft J phq | h P S u.

On veut montrer dans cette partie qu’il existe une unique interpolante h

_˚

P S qui atteint le minimum de J c’est-`a-dire telle que J ph

˚

q “ J

_˚

. On notera S

_˚

“ t h P S | J phq “ J

_˚

u.

(14) Montrer S

_˚

a au plus un ´el´ement.

(15) Soient H

0

“ t h P H | hpx

i

q “ 0 @i P v1, pw u et ˜ h P S

_˚

(on suppose ici S

_˚

non vide).

Montrer que p ˜ h | h

0

q

H

“ 0 pour tout h

0

P H

0

.

(16) On note H

^K₀

“ t h P H | @h

0

P H

0

ph | h

0

q

H

“ 0 u le sous-espace orthogonal ` a H

0

dans H.

(a) Montrer que S

_˚

“ S X H

^K₀

.

(b) Montrer que H

^K₀

contient le sous-espace vectoriel de H engendr´e par les fonctions τ

x_i

pγ

2λ

q pour i P v1, pw.

(17) Soient α P R

^p

(resp. a P R

^p

) le vecteur de coordonn´ees pα

i

q

iPv1,pw

(resp. pa

i

q

iPv1,pw

) et h

α

“ ř

p

i“1

α

i

τ

xi

pγ

2λ

q.

(a) Montrer que h

α