VENDREDI 24 AVRIL 2020 - 8h00 – 12h00 FILIERE MP - Epreuve n° 9 MATHEMATIQUES C (ULCR)

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2020

VENDREDI 24 AVRIL 2020 - 8h00 – 12h00 FILIERE MP - Epreuve n° 9

MATHEMATIQUES C (ULCR)

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 6 pages num´erot´ees de 1 `a 6.

? ? ?

L’objet de ce probl`eme est la minimisation sur un sous-domaine K ⇢ Rⁿ d’une fonction f d´efinie sur Rⁿ. Nous proposons plusieurs approches pour trouver des conditions n´ecessaires d’opti- malit´e, et obtenir des approximations des minimiseurs de f dans des cas particuliers.

Les d´ependances entre les parties du probl`eme sont donn´ees par le sch´ema suivant :

I %

&

II

III ! IV

Notations et d´efinitions

Pour tout entier k 2 N^?, on d´esignera le produit scalaire usuel sur R^k par h·,·i, et la norme euclidienne sur R^k par k·k.

Dans tout le sujet, on se place sur Rⁿ, o`un2N^?.

– On dit qu’une fonction f :Rⁿ!R estconvexe si pour tous x, y2Rⁿ et tout 2[0,1], f((1 )x+ y) 6 (1 )f(x) + f(y).

– On dit qu’une fonction f :Rⁿ!R estcoercive si lim

kxk!+1f(x) = +1, autrement dit : 8M >0, 9R >0, 8x2Rⁿ, kxk> R)f(x)> M.

I - Pr´eliminaires

Fonctions convexes

I.1.On consid`ere une fonction f :Rⁿ!R.

a. Pour tous x, y2Rⁿ, soit 'x,y :R!R la fonction d´efinie par 'x,y(t) =f(x+t(y x)) pour toutt2R. Montrer quef est convexe si et seulement si pour tousx, y2Rⁿ,'_x,yest convexe.

b. On suppose quef est di↵´erentiable surRⁿ. Montrer que pour tousx, y2Rⁿ, la fonction'_x,y est d´erivable, et montrer que pour tout t2R,'⁰_x,y(t) =hrf(x+t(y x)), y xi.

c. En d´eduire que si f est di↵´erentiable surRⁿ, alorsf est convexe si et seulement si pour tous x, y2Rⁿ,

f(y) > f(x) +hrf(x), y xi.

d. Montrer que si f : Rⁿ ! R est di↵´erentiable sur Rⁿ, alors f est convexe si et seulement si pour tousx, y2Rⁿ,

hrf(y) rf(x), y xi > 0.

I.2.Soient f :Rⁿ !Rune fonction convexe et di↵´erentiable surRⁿ, et x^? 2Rⁿ. Montrer que si rf(x^?) = 0 alorsf admet un minimum global en x^?.

D´efinition. Soit↵2R^?+. On dit qu’une fonctionf :Rⁿ!R di↵´erentiable surRⁿ est↵-convexe si pour tous x, y2Rⁿ,

f(y) > f(x) +hrf(x), y xi+↵

2ky xk².

I.3.On consid`ere un r´eel ↵2R^?+ et une fonctionf :Rⁿ!Rdi↵´erentiable sur Rⁿ.

a. On consid`ere la fonction g_↵ :Rⁿ ! R d´efinie par g_↵(x) = f(x) ^↵₂kxk² pour tout x 2Rⁿ. Calculer rg_↵(x) pour tout x 2 Rⁿ, et montrer que f est ↵-convexe si et seulement g_↵ est convexe.

b. En d´eduire quef est↵-convexe si et seulement si pour tousx, y2Rⁿ, hrf(y) rf(x), y xi > ↵ky xk². Fonctions coercives

I.4. Soitf :Rⁿ!R une fonction continue et coercive. Montrer que siK est un ferm´e non vide de Rⁿ, alors il existe x^? 2K tel quef(x^?) = inf

x2Kf(x).

I.5.Soit f :Rⁿ!Rune fonction di↵´erentiable surRⁿ et↵-convexe, o`u↵ 2R^?+. Montrer que si K est un convexe ferm´e non vide deRⁿ, alorsf admet un unique minimum surK.

Projection sur un convexe ferm´e

I.6.Soient C un convexe ferm´e non vide deRⁿ etx2Rⁿ.

a. Montrer qu’il existe un unique point P_C(x)2C tel quekP_C(x) xk= inf

y2Cky xk. b. Soit ¯x2C. Montrer que ¯x=PC(x) si et seulement si

hx x, y¯ x¯i 6 0 pour touty2C.

Indication : on pourra consid´erer la fonction _y :t2R7! kx (¯x+t(y x))¯ k², o`u y2C.

c. En d´eduire que si x, y2Rⁿ, alorskP_C(y) P_C(x)k6ky xk. Une premi`ere condition n´ecessaire d’optimalit´e

Soit K ⇢Rⁿ. On dit qu’un vecteur h2Rⁿ estK-admissible au point x2K s’il existe – une suite (t_k)_k2N de r´eels strictement positifs v´erifiant lim

k!1t_k= 0, – une suite (h_k)_k2N de vecteurs deRⁿ v´erifiant lim

k!1h_k=h, telles que pour tout k2N,

x+t_kh_k2K.

On appelle cˆone K-admissible au pointx2K l’ensemble

AK(x) :={h2Rⁿ, h est un vecteurK-admissible au point x}. I.7.D´ecrireAK(x) dans le cas o`u x est dans l’int´erieur deK.

I.8. Montrer que si f :Rⁿ! R est di↵´erentiable en x^? 2K et admet un minimum local sur K en x^?, alors

8h2AK(x^?), hrf(x^?), hi > 0.

Qu’exprime ce r´esultat dans le cas particulier o`u x^? est dans l’int´erieur deK?

II - P´enalisation

Dans le but d’approcher un minimum d’une fonction f sur K ⇢Rⁿ, on cherche `a se ramener

`

a la minimisation d’une fonction sur Rⁿ tout entier. Pour ce faire, on propose d’ajouter `a f un terme de “p´enalisation”, qui prend de grandes valeurs en dehors de K, et de minimiser la nouvelle fonction p´enalis´ee sur Rⁿ tout entier. Cette partie a pour but de justifier cette approche dans un cas particulier.

Dans toute cette partie, on consid`ere une fonctionf :R<sup>n</sup>!Rdi↵´erentiable surR<sup>n</sup>et↵-convexe, o`u ↵2R^?+. On pose

K ={x2Rⁿ, g₁(x)60, . . . , g_p(x)60},

o`up2N^?etg₁, . . . , g_p sont des fonctions convexes deRⁿdansR, di↵´erentiables surRⁿ. On suppose de plus que l’ensemble K est non vide.

II.1.Montrer qu’il existe un unique ´el´ement x^? 2K tel quef(x^?) = inf

x2Kf(x).

Pour tout k2N, on introduit la fonctionf_k:Rⁿ!R d´efinie par f_k(x) = f(x) +k (x) pour tout x2Rⁿ, o`u :Rⁿ!R est la fonction d´efinie par (x) =

Xp i=1

max(0, g_i(x))² pour tout x2Rⁿ. II.2.Pour toutx2Rⁿ, calculer lim

k!1f_k(x).

II.3.Montrer que pour toutk2N, il existe un uniquex_k2Rⁿ tel quef_k(x_k) = inf

x2Rⁿf_k(x).

Indication : on pourra commencer par montrer que si g : Rⁿ ! R est une fonction convexe, et h:R!R est une fonction convexe croissante, alors h g est convexe.

II.4.Montrer que pour toutk2N,f(x_k)6f(x^?).

II.5.On consid`ere une sous-suite (x_'(k))

k2N de (x_k)_k2N qui converge vers ¯x2Rⁿ. a. Montrer que ¯x2K.

b. En d´eduire que ¯x=x^?.

II.6.En d´eduire que la suite (x_k)_k2N converge versx^?. II.7.Montrer que la suite (f_k(x_k))_k2N converge versf(x^?).

III - Th´eor`eme de Karush-Kuhn-Tucker

Le but de cette partie est d’´etablir une condition n´ecessaire d’optimalit´e dans le cas o`u le domaine K est d´ecrit par des contraintes de type in´egalit´e.

Lemme de Farkas

Soient m2N^? et (u₁, . . . , u_m) une famille de vecteurs de Rⁿ. On note C=

( _m X

i=1

µ_iu_i, µ_i >0 8i2J1, mK )

. On cherche `a d´emontrer le r´esultat suivant.

Lemme 1. Si v2Rⁿ, alors une et une seule des deux assertions suivantes est v´erifi´ee : (i) v2C,

(ii) il existe w2Rⁿ tel que hv, wi<0 et hu_i, wi>0 pour tout i2J1, mK.

III.1. Le but de cette question est de montrer queC est un convexe ferm´e de Rⁿ. a. Montrer que C est convexe.

b. Montrer que si (u1, . . . , um) est une famille libre, alors C est ferm´e.

c. Pour toutI ⇢J1, mK, on pose CI = P

i2Iµiui, µi >0 8i2I . Montrer que C=[

I

C_I,

o`u l’union est prise sur les ensembles I ⇢ J1, mK tels que (u_i)_i2I est une famille libre. En d´eduire que C est ferm´e.

III.2. On consid`ere un vecteurv2Rⁿ\C.

a. Montrer que hP_C(v), P_C(v) vi= 0.

b. On pose w=P_C(v) v. Montrer quehv, wi<0 ethu_i, wi>0 pour tout i2J1, mK. III.3. Conclure la preuve du lemme 1.

Condition n´ecessaire d’optimalit´e

Soit p2N^?. Dans toute la suite de cette partie, on suppose que f, g₁, . . . , g_p sont des fonctions de Rⁿ dansR di↵´erentiables sur Rⁿ, et que

K ={x2Rⁿ, g₁(x)60, . . . , g_p(x)60} est non vide. Pour tout x2K, on note

Ix={i2J1, pK, gi(x) = 0}. III.4. Montrer que pour toutx2K,

AK(x)⇢{h2Rⁿ, 8i2I_x, hrg_i(x), hi60}. III.5. On consid`erex<sup>?</sup> 2K et on fait l’hypoth`ese suivante :

il existev2Rⁿ tel que pour tout i2Ix^?,hrgi(x^?), vi<0. (H) Montrer queAK(x^?) ={h2Rⁿ, 8i2I_x^?, hrg_i(x^?), hi60}.

III.6.Montrer que si x^? 2K est tel que (rg_i(x^?))_i2I

x? forme une famille libre, alors l’hypoth`ese (H) est v´erifi´ee.

III.7. On suppose quef atteint enx^? 2K un minimum local sur K, et que l’hypoth`ese (H) est v´erifi´ee. Montrer qu’il existe des r´eels positifsµ^?₁, . . . , µ^?_p tels que

8>

<

>:

rf(x^?) + Xp

i=1

µ^?_irg_i(x^?) = 0, µ^?_ig_i(x^?) = 0 pour tout i2J1, pK.

(1)

III.8. On suppose dans cette question que les fonctionsf, g1, . . . , gp sont convexes. Soientx^?2K etµ^?₁, . . . , µ^?_p 2R+ tels que (1) soit v´erifi´e. Montrer que f admet en x^? un minimum global surK.

IV - ´Etude du probl`eme dual

Le but de cette partie est d’aborder la minimisation d’une fonction f sur un sous-domaine K deRⁿ en consid´erant le probl`eme “dual” associ´e. Dans un cas particulier, on propose une approche bas´ee sur l’´etude du probl`eme dual pour obtenir une approximation du minimum de f sur K.

Soitp2J1, nK. On suppose dans toute cette partie quef, g1, . . . , gp sont des fonctions deRⁿdans R di↵´erentiables. On fait l’hypoth`ese suppl´ementaire quef est ↵-convexe pour un certain ↵2R^?+, et que les fonctionsg₁, . . . , g_p sont convexes. On suppose par ailleurs que

K ={x2Rⁿ, g₁(x)60, . . . , g_p(x)60}

est non vide. Dans toute la suite, on note g(x) =

0 BB BB BB

@

g1(x) ... g_p(x)

1 CC CC CC A

pour tout x2Rⁿ.

On introduit la fonction L:Rⁿ⇥R^p+!Rd´efinie par L(x, µ) = f(x) +

Xp i=1

µ_ig_i(x),

pour tout x 2 Rⁿ et tout µ= (µ1, . . . , µp) 2R^p+. On s’int´eresse au probl`eme : trouver x^? 2K tel que

f(x^?) = inf

x2Kf(x). (P)

IV.1.Montrer que inf

x2Kf(x) = inf

x2Rⁿ sup

µ2R^p₊L(x, µ).

IV.2.Montrer que pour toutµ2R^p+, il existe un uniquex_µ2Rⁿv´erifiantL(x_µ, µ) = inf

x2RⁿL(x, µ).

Pour tout µ2R^p+, on noteG(µ) := inf_x2RⁿL(x, µ) =L(x_µ, µ). On va s’int´eresser au probl`eme dit dual : trouver µ^?2R^p+ tel que

G(µ^?) = sup

µ2R^p+

G(µ) = sup

µ2R^p+

xinf2RⁿL(x, µ). (Q)

On dit que (¯x,µ)¯ 2Rⁿ⇥R^p+ est un point selle de L si L(¯x,µ) = inf¯

x2RⁿL(x,µ)¯ et L(¯x,µ) = sup¯

µ2R^p+

L(¯x, µ),

IV.3.On suppose dans cette question que (¯x,µ)¯ 2Rⁿ⇥R^p+ est un point selle de L. a. Montrer que ¯x est solution de (P).

b. Montrer que ¯µest solution de (Q).

c. Montrer que inf

x2Rⁿ sup

µ2R^p+

L(x, µ) = sup

µ2R^p+

xinf2RⁿL(x, µ).

IV.4. On consid`erex<sup>?</sup>2Kune solution de (P) satisfaisant l’hypoth`ese (H). Soitµ^? = (µ^?₁, . . . , µ^?_p) comme dans la question III.7. Montrer que µ^? est solution de (Q).

IV.5. On suppose dans toute cette question que la fonction µ 2 R^p+ 7! x_µ est continue. On consid`ere une solution ¯µ2R^p+ de (Q).

a. Soient µ2R^p+ et⇠ 2R^p tels que µ+⇠2R^p+. Montrer que pour tout t2[0,1], µ+t⇠2R^p+, et

limt!0 t>0

G(µ+t⇠) G(µ)

t = hg(x_µ),⇠i. En d´eduire que pour toutµ2R^p+,hg(xµ¯), µ µ¯i60.

b. Montrer que x_µ¯ est solution de (P).

IV.6. (Th´eor`eme d’Uzawa). SoientA 2Mp,n(R) une matrice de rang p et b2R^p. On suppose que la fonction g est de la forme

g:x7!Ax+b.

a. Montrer que pour tout µ2R^p+,rf(x_µ) = ^tAµ, et en d´eduire que la fonction µ7!x_µ est continue sur R^p+.

b. Montrer que (P) admet une unique solution x^? 2K, et que (Q) admet une unique solution µ^?2R^p+.

Soit ⇢>0. On d´efinit la suite (µ^k)_k2N par r´ecurrence de la mani`ere suivante : – on fixe µ⁰2R^p+,

– pour tout k2N, on pose µ^k+1 = P_R^p

+(µ^k+⇢g(x_µk)), o`u P_R^p

+ :R^p !R^p+ d´esigne la projection sur le convexe ferm´e R^p+ de R^p. c. Montrer que µ^? =P_R^p

+(µ^?+⇢g(xµ^?)).

On suppose d´esormais que kAxk6q_↵

⇢kxk pour tout x2Rⁿ. d. Montrer que la suite (x_µk)_k2N converge vers x^?.

e. Montrer que la suite (µ^k)_k2N converge vers µ^?.

? ? ? Fin du sujet.