EPFL 22 janvier 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 12
L’exercice 6 est à rendre le 29 janvier au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Calculer les produits de matrices suivants : 1 2 3
4 3 1
.
1 1 0 2 2 0
;
1 1 0 2 2 0
.
1 2 3 4 3 1
.
PourA=
1 −1 0 2 0 −2
−1 2 3
etB =
0 1 −2 3 −1 4
les produitsA.B et B.A existent ils ? Si oui, les calculer.
Exercice 2 Soit A =
0 1 . . . 0 ... . .. ... ...
... . .. 1 0 . . . 0
∈ M at(n, n,R). En utilisant l’application linéaire
associée de L(Rn,Rn), calculer Ap pour p∈N.
Exercice 3 Soit P une matrice inversible de M at(n, n,F) et A une matrice de M at(n, n,F).
1. A t’on P−1AP =A?
2. Calculer (P−1AP)n pour n∈N.
Exercice 4 SoientA etB deux matrices de M at(n, n,F)telles que I−AB soit inversible (où I désigne la matrice identité de M at(n, n,F)). Montrer que I −BA est inversible.
(Indication : Calculer (I−BA)(I+B(I−AB)−1A).) Exercice 5 (Cours)
Soit E une matrice élémentaire, montrer que E est inversible et que E−1 est également une matrice élémentaire.
Exercice 6 Résoudre les systèmes suivants par le théorème de Gauss-Jordan en donnant à chaque étape la matrice élémentaire par laquelle on multiplie, à gauche, la matrice associée au système linéaire :
3x − y +2z = a
−x +2y −3z = b x +2y + z = c
x +y +2z = 5 x −y − z = 1
x + z = 3
Exercice 7 Soient A=
1 1 0 1
et Φ :M at(2,2,R)→M at(2,2,R) définie par Φ(M) =AM −M A.
Montrer que Φ est linéaire, déterminer sa matrice dans la base canonique et calculer Ker(Φ) et Im(Φ).
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