EPFL 7 décembre 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 12
L'exercice 3 est à rendre le 14 décembre au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. SoitL:C3 →C5l'applicationC-linéaire dont la matrice par rapport aux bases canoniques est
A=
1 i 0
1 +i 1−i 2
−3−2i 0 1 + 2i
i −i 5
2 2 −1−i
.
1. Déterminer ker(L) etim(L).
2. L'application Lest-elle injective, surjective, bijective ? Exercice 2. Résoudre le système
x1 −3x3 +2x4 −x5 −5x6 =a
−x5 +x6 =b
−3x3 −6x6 =c 2x1 +2x2 +10x4 +4x6 =d x1 +2x2 −3x3 +8x4 +x5 −3x6 =e dans les trois cas suivants :
1. (a, b, c, d, e) = (0,0,0,0,0), 2. (a, b, c, d, e) = (−4,1,−6,−8,−1) 3. et (a, b, c, d, e) = (−6,0,−9,18,6). Exercice 3. Résoudre le système
AX =B siA=
1 +i 3−i i 1 −i 2−i 1−i −1−i 1−3i
etB=
a b 1
avec a, b∈Cxés.
Exercice 4. Résoudre le système
x1 − x2 = 1
− x1 + 2x2 − x3 = 0
− x2 + 2x3 − x4 = 0
− x3 + 2x4 − x5 = 0
... ... ... ...
− x98 + 2x99 − x100 = 0
− x99 + 2x100 = 0
Exercice 5. Déterminer le nombre de solutions de chacun des systèmes suivants (sans les résoudre).
(a)
x + y + z = −1
x + 2y + 3z = 7
x + 4y + 9z = 9
(b)
2x + y + 3z = 6
x + y + 2z = 4
3x + 2y + 5z = 10
(c)
x − 3y − 2z = −2
x + 2y + 3z = 3
3x + y + 4z = 5
